ضرب الأعداد العشرية وتقدير ناتج الضرب
يُستعمل ضرب الأعداد العشرية في حساب الأسعار والمسافات والكتل والمعدلات. وتقوم الفكرة على إجراء الضرب كما لو كانت العوامل أعدادًا صحيحة، ثم إعادة الفاصلة العشرية إلى موضعها الصحيح.
قاعدة موضع الفاصلة
إذا كان في العامل الأول m منازل عشرية، وفي العامل الثاني n منازل عشرية، فإن الناتج يحتوي m+n منازل عشرية.
مثال: \(5.7\times2.8\). نحسب \(57\times28=1596\)، وفي العاملين منزلتان عشريتان، إذن \(5.7\times2.8=15.96\).
مثال: \(0.04\times0.32\). الناتج الصحيح لـ \(4\times32\) هو 128، ومجموع المنازل أربع، لذا 0.0128.
الضرب في عدد صحيح
نطبق القاعدة نفسها. مثلًا \(0.065\times18=1.170=1.17\). ويمكن التحقق بالتوزيع: 0.065(20-2)=1.30-0.13=1.17.
تقدير ناتج الضرب
التقدير يعطي قيمة قريبة تساعدنا على اختبار معقولية الجواب. نقرّب كل عامل إلى منزلة مناسبة أو نستبدله بعدد متوافق يسهل ضربه.
- \(9.6\times1.8\approx10\times2=20\).
- \(68.4\times21.3\approx70\times20=1400\).
- \(28.21\times8.02\approx30\times8=240\).
مسائل حياتية
إذا كان سعر الكيلوجرام 3.85 درهم واشترينا 4 كيلوجرامات، فالتكلفة \(3.85\times4=15.40\) درهم. وللتقدير: \(4\times4=16\) درهم تقريبًا.
إذا تحرك جسم بسرعة 16.6 مترًا في الثانية مدة 1.8 ثانية، فالمسافة \(16.6\times1.8=29.88\) مترًا.
خطوات حل منظمة
- قدّر الناتج أولًا.
- اضرب دون فواصل.
- اجمع عدد المنازل العشرية في العوامل.
- ضع الفاصلة في الناتج.
- احذف الأصفار غير اللازمة، ثم قارن بالتقدير.
أخطاء شائعة
- محاذاة الفواصل كما في الجمع؛ هذا غير مطلوب في الضرب.
- نسيان المنازل العشرية أو عدّ الأصفار الأولية بطريقة خاطئة.
- قبول ناتج بعيد عن التقدير؛ مثل كتابة \(0.6\times0.5=3\) رغم أن حاصل عددين أصغر من واحد يجب أن يكون أصغر من كل منهما.
- التقريب في أثناء الحل بدل التقريب في النهاية عندما يُطلب ناتج دقيق.
تحقق سريع
\(0.28\times0.08=0.0224\). والتقدير \(0.3\times0.1=0.03\)، لذا الناتج معقول.
لماذا نجمع المنازل العشرية؟
يمكن تفسير القاعدة باستعمال الكسور العشرية. فالعدد \(0.24=\frac{24}{100}\)، والعدد \(0.6=\frac{6}{10}\)، لذلك:
\(0.24\times0.6=\frac{24}{100}\times\frac{6}{10}=\frac{144}{1000}=0.144\).
ظهر في المقام ثلاث أصفار، وهو مجموع منزلتين عشريتين في العامل الأول ومنزلة واحدة في العامل الثاني.
أمثلة متدرجة محلولة
مثال 1: \(4.12\times0.05\).
- نحسب \(412\times5=2060\).
- مجموع المنازل 2+2=4.
- نكتب 0.2060=0.206.
- التحقق: \(4\times0.05=0.2\)، فالناتج قريب.
مثال 2: \(25.04\times3.005\).
نحسب \(2504\times3005=7{,}524{,}520\)، ثم نضع خمس منازل عشرية: 75.24520=75.2452.
مثال 3: تحتاج كل وجبة إلى 1.2 كجم من الحبوب، ونريد خمس وجبات. الكمية المطلوبة \(1.2\times5=6\) كجم. إذا توفر 2.2 كجم فالنقص 6-2.2=3.8 كجم.
التقدير الأعلى والتقدير الأدنى
لا يكفي أحيانًا إعطاء تقدير واحد؛ يمكن حصر الناتج. بما أن \(3.8