الضرب القياسي للمتجهات والزوايا بينها
الفكرة
الضرب القياسي يحول متجهين إلى عدد. هذا العدد يكشف العلاقة بين اتجاهي المتجهين، ويساعد في حساب الزاوية بينهما ومعرفة هل هما متعامدان.
الصيغة الجبرية
إذا كان \(\vec a=\langle a_1,a_2,a_3\rangle\) و \(\vec b=\langle b_1,b_2,b_3\rangle\)، فإن \(\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\).
الصيغة الهندسية
الصيغة الهندسية هي \(\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta\). ومنها نحسب الزاوية: \(\cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}\).
مثال محلول 1
إذا كان \(\vec a=\langle2,3\rangle\) و \(\vec b=\langle4,-1\rangle\)، فإن \(\vec a\cdot\vec b=2(4)+3(-1)=5\).
مثال محلول 2
إذا كان حاصل الضرب القياسي لمتجهين يساوي صفرًا، وكان المتجهان غير صفريين، فإنهما متعامدان. مثلًا \(\langle1,2\rangle\cdot\langle2,-1\rangle=2-2=0\)، إذن المتجهان متعامدان.
تنبيه
الضرب القياسي ليس متجهًا؛ نتيجته عدد. لذلك لا تضع أقواس متجه حول الناتج.
خلاصة سريعة
هذا المقال يركز على الفهم العملي للمهارة، مع ربط القاعدة بطريقة الحل في أسئلة الاختيار من متعدد والأسئلة المقالية القصيرة. الأفضل أن يقرأ الطالب المثال ثم يعيد حله دون النظر إلى الخطوات، لأن القراءة وحدها في الرياضيات تشبه مشاهدة شخص يتمرن نيابة عنك.