قسمة الأعداد العشرية وتقدير ناتج القسمة
القسمة العشرية هي العملية العكسية للضرب. ويجب التمييز بين المقسوم، والمقسوم عليه، وخارج القسمة: \(a\div b=c\) يعني أن bc=a، بشرط \(b\ne0\).
القسمة على عدد صحيح
نقسم بالطريقة المعتادة ونرفع الفاصلة من المقسوم مباشرة إلى خارج القسمة. مثال: \(7.5\div3=2.5\)، لأن \(2.5\times3=7.5\).
القسمة على عدد عشري
نحوّل المقسوم عليه إلى عدد صحيح بضرب المقسوم والمقسوم عليه في القوة نفسها من 10.
مثال: \(8.424\div0.36\). نضرب العددين في 100: \(842.4\div36=23.4\).
مثال: \(0.0063\div0.007\). نضرب في 1000: \(6.3\div7=0.9\).
تقدير خارج القسمة
نستخدم أعدادًا متوافقة؛ أي أعدادًا قريبة يسهل قسمتها.
- \(49.3\div7\approx49\div7=7\).
- \(98.1\div25\approx100\div25=4\).
- \(76.2\div18.4\approx80\div20=4\).
تفسير الباقي
في المسائل التي تطلب عدد قطع كاملة، نأخذ الجزء الصحيح فقط. فإذا توفر 5.75 ياردة وتحتاج البطانية 1.85 ياردة، فإن \(5.75\div1.85\approx3.1\)، أي يمكن صنع ثلاث بطانيات كاملة.
خطوات الحل
- قدّر الخارج.
- إن كان المقسوم عليه عشريًا، حرّك الفاصلة حتى يصبح صحيحًا، وحرّك فاصلة المقسوم العدد نفسه من المنازل.
- اقسم، وأضف أصفارًا إلى يمين المقسوم عند الحاجة.
- قرّب فقط إلى المنزلة المطلوبة.
- تحقق بضرب الخارج في المقسوم عليه.
أخطاء شائعة
- تحريك فاصلة المقسوم عليه وحده.
- القسمة على صفر؛ وهي غير معرّفة.
- إهمال الصفر قبل الفاصلة في ناتج أصغر من واحد.
- التقريب مبكرًا، مما يغيّر الجواب النهائي.
تحقق سريع
\(96.6\div0.42=230\)، لأن \(230\times0.42=96.6\). كما أن \(100\div0.5\approx200\)، فالحجم معقول.
لماذا نحرك الفاصلة في العددين معًا؟
ضرب المقسوم والمقسوم عليه في العدد نفسه لا يغير خارج القسمة، لأنه يكوّن كسرًا مكافئًا:
\(8.424\div0.36=\frac{8.424}{0.36}=\frac{842.4}{36}\).
أمثلة متدرجة محلولة
مثال 1: \(3.49\div4\).
نقسم 3.49 على 4: 34 أعشارًا تعطي 8 أعشار والباقي 2 أعشار، ثم تصبح النتيجة 0.8725. التحقق: \(0.8725\times4=3.49\).
مثال 2: \(2.943\div2.7\).
نضرب العددين في 10: \(29.43\div27=1.09\)، لأن \(1.09\times2.7=2.943\).
مثال 3: \(0.12\div0.15\).
نضرب في 100: \(12\div15=\frac45=0.8\).
القسمة التي ينتج عنها عدد دوري
قد لا تنتهي القسمة. في \(7.24\div7=1.034285\ldots\)، إذا طُلب التقريب إلى أقرب عُشر ننظر إلى منزلة الجزء من مئة: الناتج 1.0. يجب عدم حذف الرقم التالي قبل اتخاذ قرار التقريب.
استخدام الوحدات في تفسير الخارج
- الثمن الكلي ÷ عدد القطع = ثمن القطعة.
- المسافة ÷ الزمن = السرعة.
- الكتلة الكلية ÷ عدد العبوات = كتلة العبوة.
- الطول المتاح ÷ طول القطعة = عدد القطع الممكنة.
تقدير مناسب بحسب المسألة
في \(984.76\div38.1\)، يمكن استعمال \(1000\div40=25\). وفي \(35.7\div11.4\)، العددان المتوافقان 36 و12 يعطيان 3. لا يلزم تقريب كل عدد إلى أقرب عدد صحيح إذا كان ذلك يجعل القسمة أصعب.
تحليل معقولية الناتج
- القسمة على عدد أكبر من 1 تصغّر العدد إذا كان المقسوم موجبًا.
- القسمة على عدد موجب بين 0 و1 تكبّر العدد.
- إذا كان المقسوم أصغر من المقسوم عليه وكلاهما موجب، فالخارج بين 0 و1.
تدريبات قصيرة
- \(55.08\div17=3.24\).
- \(1.44\div0.4=3.6\).
- \(13.5\div0.03=450\).
- \(0.6\div0.0024=250\).