تطبيقات المشتقة: المماس والتزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى

تطبيقات المشتقة: المماس والتزايد والتناقص والقيم العظمى والصغرى

دور المشتقة

المشتقة تقيس معدل تغير الدالة، وتمثل ميل المماس للمنحنى عند نقطة معينة. لذلك تستخدم في إيجاد معادلة المماس، تحديد فترات التزايد والتناقص، ومعرفة القيم العظمى والصغرى المحلية والمطلقة. باختصار: المشتقة تخبرنا كيف تتحرك الدالة، لا أين تقف فقط.

معادلة المماس

إذا أردنا معادلة المماس للدالة f(x) عند x=a، نحسب أولًا f(a) للحصول على نقطة التماس، ثم نحسب \(f'(a)\) للحصول على الميل. بعد ذلك نستخدم صيغة النقطة والميل: y-y₁=m(x-x₁).

مثال المماس

أوجد معادلة المماس للدالة f(x)=x²+1 عند x=2. لدينا f(2)=5، إذن نقطة التماس (2,5). المشتقة \(f'(x)=2x\)، ومنه \(f'(2)=4\). إذن المعادلة: y-5=4(x-2)، أي y=4x-3.

التزايد والتناقص

إذا كانت \(f'(x)>0\) على فترة، فالدالة متزايدة على تلك الفترة. وإذا كانت \(f'(x)