المتطابقات المثلثية المتقدمة
ما المتطابقة؟
المتطابقة المثلثية هي مساواة صحيحة لكل القيم المسموح بها للزاوية. ليست معادلة نبحث عن حلولها، بل علاقة نستخدمها للتبسيط أو الإثبات أو حل المعادلات. المتطابقات الأساسية مثل sin2 x+cos2 x=1 هي نقطة البداية، أما المتطابقات المتقدمة فتشمل المجموع والفرق والضعف ونصف الزاوية.
متطابقات المجموع والفرق
من أهم المتطابقات: sin(a+b)=sin acos b+cos asin b، و cos(a+b)=cos acos b-sin asin b. أما للفرق: sin(a-b)=sin acos b-cos asin b، و cos(a-b)=cos acos b+sin asin b. الإشارة هنا هي الفخ الأشهر؛ لا تعامل الجيب وجيب التمام بالطريقة نفسها.
متطابقات الضعف
متطابقة ضعف الزاوية للجيب هي sin(2x)=2sin xcos x. أما جيب التمام فله أكثر من صورة: cos(2x)=cos2 x-sin2 x، أو 1-2sin2 x، أو 2cos2 x-1. اختيار الصيغة المناسبة يعتمد على المعطيات في السؤال.
متطابقات نصف الزاوية
تستخدم متطابقات نصف الزاوية عندما نريد قيمة مثل \(\sin 15^\circ\) أو \(\cos \frac{x}{2}\). من الصيغ المشهورة: \(\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}\)، و \(\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}\). الإشارة النهائية تعتمد على الربع الذي تقع فيه الزاوية.
مثال محلول 1
أوجد \(\sin 75^\circ\). نكتب 75=45+30. إذن \(\sin75=\sin45\cos30+\cos45\sin30\). بالتعويض: \(\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\).
مثال محلول 2
بسط 1-2sin2 x. من متطابقات الضعف نعرف أن cos(2x)=1-2sin2 x. إذن التعبير يساوي cos(2x). هذه خطوة صغيرة لكنها تختصر معادلات طويلة.
استراتيجية الإثبات
عند إثبات متطابقة، ابدأ غالبًا بالطرف الأكثر تعقيدًا، وحاول تحويل كل شيء إلى sin و cos. استخدم التحليل والتوحيد في المقامات عند الحاجة. لا تغير الطرفين معًا بطريقة عشوائية؛ فهذا يجعل البرهان يبدو كأنه يمشي في الضباب.
