تدريبات إثرائية محلولة على تطبيقات التفاضل

يتضمن الملف المرفق مجموعة من التدريبات الإثرائية والواجبات المتعلقة بالوحدة الثالثة: تطبيقات التفاضل، والموجهة لطلاب الصف الثاني عشر العلمي في دولة قطر للعام الدراسي 2026-2027. يركز الملف على المفاهيم الأساسية في دراسة سلوك الدوال باستخدام المشتقات الأولى والثانية.

دراسة سلوك الدوال باستخدام المشتقات

يستعرض الملف القواعد الأساسية لتحديد التزايد والتناقص والقيم القصوى (العظمى والصغرى) للدالة، حيث تعتمد هذه الخصائص على إشارة المشتقة الأولى f'(x). يوضح الملف من خلال خط الأعداد أن إشارة المشتقة الموجبة تعني تزايد الدالة، بينما الإشارة السالبة تعني تناقصها، مع تحديد النقاط التي يتغير عندها سلوك الدالة كقيم عظمى أو صغرى محلية. كما يتناول الملف فترات التقعر ونقاط الانعطاف، والتي تعتمد بشكل أساسي على إشارة المشتقة الثانية f''(x)، حيث يحدد التقعر للأعلى أو للأسفل بناءً على إشارة المشتقة الثانية.

قوانين هندسية مساعدة

يحتوي الملف على ملخص لمجموعة من القوانين الهندسية الضرورية لحل مسائل تطبيقات التفاضل، وتشمل: مساحة المربع (A=s²)، مساحة المستطيل (A=l.w)، مساحة المثلث (A=0.5.b.h أو A=0.5.a.b.sinθ)، مساحة الدائرة (A=πr²)، محيط الدائرة (C=2πr)، محيط المضلع (مجموع الأضلاع)، حجم المنشور الرباعي القائم (V=l.w.h)، حجم الكرة (V=4/3πr³)، حجم الأسطوانة القائمة (V=πr²h)، والمساحة السطحية للأسطوانة القائمة (S=2πrh+2πr²).

استخراج الإشارات من التمثيل البياني

يقدم الملف دليلاً إرشادياً لاستخراج إشارات المشتقات من التمثيل البياني للدوال:

1. من التمثيل البياني للدالة الأصلية f(x): يكون المنحنى صاعداً إذا كانت المشتقة الأولى f'(x) موجبة، ونازلاً إذا كانت سالبة. أما بالنسبة للمشتقة الثانية f''(x)، فيكون القوس مفتوحاً للأعلى إذا كانت موجبة، ومفتوحاً للأسفل إذا كانت سالبة.

2. من التمثيل البياني للمشتقة الأولى f'(x): تكون المشتقة الأولى موجبة إذا كان المنحنى فوق محور x، وسالبة إذا كان تحته. وتكون المشتقة الثانية f''(x) موجبة إذا كان منحنى المشتقة الأولى صاعداً، وسالبة إذا كان نازلاً.

3. من التمثيل البياني للمشتقة الثانية f''(x): تكون المشتقة الثانية موجبة إذا كان المنحنى فوق محور x، وسالبة إذا كان تحته.

تدريبات عملية

يتضمن الملف أسئلة موضوعية تطبيقية، منها سؤال حول دالة كثيرة حدود معطاة بمشتقاتها f'(x) = x(x-3)، حيث يُطلب تحديد الفترة التي تكون فيها الدالة متناقصة. كما يتضمن سؤالاً يعتمد على تحليل التمثيل البياني لدالة f(x) لتحديد صحة عبارات تتعلق بقيم المشتقة الأولى عند نقاط معينة أو فترات محددة.

ملاحظة: قد يتضمن الملف المرفق محتويات تعليمية وتدريبات وموضوعات إضافية متنوعة لم تُذكر في هذا المقال.