كويز تفاعلي: المتتابعات

لتحويل العدد العشري الدوري 0.36 إلى كسر اعتيادي، نفرض x = 0.3636.... ثم نضرب في 100 لنحصل على 100x = 36.3636.... بطرح المعادلتين، نحصل على 99x = 36، وبالتالي $x = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}$.

إذا كان الوسط الحسابي لثلاثة أوساط حسابية بين العددين a,b هو 16، فإن مجموع هذه الأوساط هو 3 × 16 = 48. نعلم أن مجموع الأوساط الحسابية بين عددين a,b هو $k \times \frac{a+b}{2}$ حيث k هو عدد الأوساط. لذا $48 = 3 \times \frac{a+b}{2}$، مما يعني أن $\frac{a+b}{2} = 16$. الوسط الحسابي للعددين a,b هو $\frac{a+b}{2}$، وبالتالي يساوي 16.

المتتابعة الهندسية هي $8, 6, \frac{9}{2}, ...$. لإيجاد النسبة المشتركة r, نقسم أي حد على الحد الذي يسبقه: $r = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. الحد التالي في المتتابعة هو الحد الثالث مضروبًا في النسبة المشتركة: $\frac{9}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{8}$. هذا يطابق الخيار A.

لإيجاد مجموع متسلسلة حسابية حيث a₁ = 12, a_n = 100, و n = 12, نستخدم الصيغة $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$. بالتعويض: $S_{12} = \frac{12}{2}(12 + 100) = 6(112) = 672$.

المتتابعة الحسابية هي 7,13,19,25,31 ,.... لإيجاد الأساس (الفرق المشترك) d, نطرح أي حد من الحد الذي يليه: d = 13 - 7 = 6. الحد التالي في المتتابعة هو الحد الأخير المعطى مضافاً إليه الأساس: 31 + 6 = 37.

المتتابعة الحسابية هي 13, 19,25, .... الحد الأول a₁ = 13. الأساس (الفرق المشترك) d = 19 - 13 = 6. صيغة الحد النوني لمتتابعة حسابية هي a_n = a₁ + (n-1)d. بالتعويض: a_n = 13 + (n-1)6 = 13 + 6n - 6 = 6n + 7.

الحد الأول في مفكوك (5a+y)⁴ هو (5a)⁴. بحساب القيمة العددية لـ 5⁴ نحصل على 625. وبالتالي، الحد الأول هو 625a⁴. من الخيارات المعطاة، 625 يمثل المعامل العددي للحد الأول.

طول المجرى الأولي هو 40 بوصة (a₁ = 40). يتسع المجرى كل يوم ثلاثة أمثال اليوم السابق، مما يعني أن هذه متتابعة هندسية بنسبة مشتركة r = 3. لإيجاد اتساع المجرى في اليوم الخامس (a₅)، نستخدم الصيغة a_n = a₁ r^n-1. بالتعويض: a₅ = 40 × 3^5-1 = 40 × 3⁴ = 40 × 81 = 3240 بوصة.

هذه المسألة تصف متسلسلة هندسية لا نهائية حيث الحد الأول a₁ = 12 (المسافة المقطوعة في الاهتزازة الأولى). وبما أن البندول يقطع 95 % من المسافة السابقة في كل اهتزازة تالية، فإن النسبة المشتركة r = 0.95. مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية هو $S = \frac{a_1}{1-r}$، إذا كان $|r| < 1$. بالتعويض: $S = \frac{12}{1 - 0.95} = \frac{12}{0.05} = \frac{12}{\frac{5}{100}} = \frac{1200}{5} = 240$.