اختبار اختيار من متعدد تفاعلي: اختبار شامل لجميع الأسئلة الموضوعية MCQ للسنوات السابقة
مجموعة من الأسئلة الامتحانية الوزارية لمادة الرياضيات حول موضوع إيجاد الدالة الأصلية (التكامل غير المحدود). تغطي الأسئلة قواعد التكامل الأساسية للدوال المثلثية (الساين، الكوساين، السيكانت، والكوسيكانت) والدالة الأسية. الاختبار مستخرج من نماذج امتحانات وزارة التربية والتعليم للأعوام الدراسية 2021-2022 و 2022-2023.
🏆 انضم إلى التحدي واحصل على ترتيبك
اختبار شهادة تدريبي مؤقت للصف والمادة والفصل نفسه.
اختر إجابة واحدة لكل سؤال. عند الاختيار ستظهر النتيجة فورًا: الأخضر صحيح، والأحمر خطأ، وسيظهر تفسير الإجابة مباشرة إن كان متوفرًا. وبعد آخر سؤال ستظهر الدرجة النهائية تلقائيًا.
أوجد الدالة الأصلية: Find the general antiderivative $\int (2\text{s}in x + \cos x) dx$
تفسير الإجابة
باستخدام قواعد التكامل: $\int \text{s}in x dx = -\cos x$ و $\int \cos x dx = \text{s}in x$. لذا، $\int (2\text{s}in x + \cos x) dx = -2\cos x + \text{s}in x + c$.
السؤال 2
النقاط: 1
أوجد الدالة الأصلية: Find the general antiderivative $\int (3\cos x - \text{s}in x) dx$
تفسير الإجابة
بتكامل كل حد على حدة: $\int 3\cos x dx = 3\text{s}in x$ و $\int -\text{s}in x dx = \cos x$. الناتج هو 3 sin x + cos x + c.
السؤال 3
النقاط: 1
أوجد الدالة الأصلية: Find the general antiderivative $\int 2\text{s}ec x \tan x dx$
تفسير الإجابة
بما أن مشتقة sec x هي sec x tan x، فإن تكامل $\int \text{s}ec x \tan x dx = \text{s}ec x$. وبالتالي $\int 2\text{s}ec x \tan x dx = 2\text{s}ec x + c$.
السؤال 4
النقاط: 1
أوجد الدالة الأصلية: Find the general antiderivative $\int 5\text{s}ec^2 x dx$
تفسير الإجابة
تكامل sec2 x هو tan x. لذا، $\int 5\text{s}ec^2 x dx = 5\tan x + c$.
السؤال 5
النقاط: 1
أوجد الدالة الأصلية: Find the general antiderivative $\int 4 \frac{\cos x}{\text{s}in^2 x} dx$
تفسير الإجابة
يمكن تبسيط الدالة إلى $4 \frac{\cos x}{\text{s}in x} \cdot \frac{1}{\text{s}in x} = 4 \cot x \csc x$. تكامل $\csc x \cot x$ هو $-\csc x$. لذا الناتج $-4 \csc x + c$.
السؤال 6
النقاط: 1
أوجد الدالة الأصلية: Find the general antiderivative $\int (3e^x - 2) dx$
أوجد الدالة الأصلية: $\int (4x - 2e^{5x})\,dx$
Find the general antiderivative: $\int (4x - 2e^{5x})\,dx$
تفسير الإجابة
بتكامل كل حد على حدة: $\int 4x\,dx = 2x^2$ و $\int -2e^{5x}\,dx = -\frac{2}{5}e^{5x}$، إذن الناتج $2x^2 - \frac{2}{5}e^{5x} + c$.
السؤال 8
النقاط: 1
أوجد الدالة الأصلية: $\int \left(3\cos x-\frac{1}{x}\right)\,dx$
Find the general antiderivative: $\int \left(3\cos x-\frac{1}{x}\right)\,dx$
تفسير الإجابة
تكامل 3cos x هو 3sin x، وتكامل $-\frac{1}{x}$ هو $-\ln|x|$، لذلك الناتج $3\sin x - \ln|x| + c$.
السؤال 9
النقاط: 1
أوجد الدالة الأصلية: $\int \left(2x^{-1}-\sin x\right)\,dx$
Find the general antiderivative: $\int \left(2x^{-1}-\sin x\right)\,dx$
تفسير الإجابة
لأن $2x^{-1}=\frac{2}{x}$ فإن تكامله $2\ln|x|$، وتكامل -sin x هو cos x، إذن الناتج $\cos x + 2\ln|x| + c$.
السؤال 10
النقاط: 1
أوجد الدالة الأصلية: $\int \frac{4}{\text{s}qrt{1-x^2}}\,dx$
Find the general antiderivative: $\int \frac{4}{\text{s}qrt{1-x^2}}\,dx$
تفسير الإجابة
بما أن $\int \frac{1}{\text{s}qrt{1-x^2}}\,dx = \text{s}in^{-1}x$، فإن الناتج 4sin-1x + c.
السؤال 11
النقاط: 1
أوجد قيمة n إذا كان $\int 3\sin\left(\frac{x}{3n}\right)\,dx=-45\cos\left(\frac{x}{3n}\right)+c$
Find n if $\int 3\sin\left(\frac{x}{3n}\right)\,dx=-45\cos\left(\frac{x}{3n}\right)+c$
تفسير الإجابة
تكامل $3\sin\left(\frac{x}{3n}\right)$ هو $-9n\cos\left(\frac{x}{3n}\right)+c$. بمقارنة المعامل مع -45 نجد -9n=-45، إذن n=5.
السؤال 12
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل: $\int a e^{\frac{x}{a}}\,dx$
Evaluate the integral: $\int a e^{\frac{x}{a}}\,dx$
تفسير الإجابة
نضع $u=\frac{x}{a}$ فيكون $dx=a\,du$، لذلك $\int a e^{x/a}dx = a^2 e^{x/a}+c$.
السؤال 13
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل: $\int \sin\left(\frac{x}{a}\right)\,dx,\a\ne0$
Evaluate the integral: $\int \sin\left(\frac{x}{a}\right)\,dx,\a\ne0$
تفسير الإجابة
لأن مشتقة $\cos\left(\frac{x}{a}\right)$ هي $-\frac{1}{a}\sin\left(\frac{x}{a}\right)$، فإن التكامل يساوي $-a\cos\left(\frac{x}{a}\right)+c$.
السؤال 14
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل: $\int \frac{e^x+4}{e^x}\,dx$
Evaluate the integral: $\int \frac{e^x+4}{e^x}\,dx$
أوجد الدالة الأصلية: $\int \frac{2x}{x^2+4}\,dx$
Find the general antiderivative: $\int \frac{2x}{x^2+4}\,dx$
تفسير الإجابة
باستخدام التعويض u=x2+4 نحصل على $du=2x\,dx$، لذلك التكامل يساوي $\ln|x^2+4|+c$.
السؤال 16
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل: $\int \tan(2x)\,dx$
Evaluate the integral: $\int \tan(2x)\,dx$
تفسير الإجابة
نكتب $\tan 2x=\frac{\text{s}in 2x}{\cos 2x}$. بالتعويض u=cos 2x يكون الناتج $-\frac{1}{2}\ln|\cos 2x|+c$.
السؤال 17
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل: $\int \frac{e^{2x}-2e^{3x}}{e^{3x}}\,dx$
Evaluate the integral: $\int \frac{e^{2x}-2e^{3x}}{e^{3x}}\,dx$
تفسير الإجابة
نبسط التكامل إلى $\int (e^{-x}-2)\,dx$، فيكون الناتج $-e^{-x}-2x+c = -\frac{1}{e^x}-2x+c$.
السؤال 18
النقاط: 1
أوجد الدالة الأصلية: $\int \frac{8x}{x^2+7}\,dx$
Find the general antiderivative: $\int \frac{8x}{x^2+7}\,dx$
تفسير الإجابة
بالتعويض u=x2+7 يكون $du=2x\,dx$، و $8x\,dx=4du$، لذلك الناتج $4\ln|x^2+7|+c$.
السؤال 19
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل: $\int m\sin(mx)\,dx,\m\ne0$
Evaluate the integral: $\int m\sin(mx)\,dx,\m\ne0$
تفسير الإجابة
لأن مشتقة cos(mx) هي -msin(mx)، فإن $\int m\sin(mx)dx=-\cos(mx)+c$.
السؤال 20
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل: $\int \frac{1}{4+x^2}\,dx$
Evaluate the integral: $\int \frac{1}{4+x^2}\,dx$
تفسير الإجابة
نستخدم القاعدة $\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c$، ومع a=2 يكون الناتج $\frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+c$.
جد الدالة f(x) التي تحقق الشروط المعطاة: $f^\prime(x)=4\cos x,\f(0)=3$
Find the function f(x) satisfying: $f^\prime(x)=4\cos x,\f(0)=3$
تفسير الإجابة
تكامل 4cos x هو 4sin x+c. وبما أن f(0)=3 فإن c=3، لذلك f(x)=4sin x+3.
السؤال 27
النقاط: 1
جد الدالة f(x) التي تحقق الشروط المعطاة: $f^{\prime\prime}(x)=12x^2+2e^x,\f^\prime(0)=2,\f(0)=3$
Find the function f(x) satisfying: $f^{\prime\prime}(x)=12x^2+2e^x,\f^\prime(0)=2,\f(0)=3$
تفسير الإجابة
بالتكامل مرتين: $f'(x)=4x^3+2e^x+c_1$. من $f'(0)=2$ نجد c1=0. ثم f(x)=x4+2e^x+c2. ومن f(0)=3 نجد c2=1.
السؤال 28
النقاط: 1
جد الدالة f(x) التي تحقق الشروط المعطاة: $f^{\prime\prime}(x)=20x^3+2e^{2x},\f^\prime(0)=-3,\f(0)=2$
Find the function f(x) satisfying: $f^{\prime\prime}(x)=20x^3+2e^{2x},\f^\prime(0)=-3,\f(0)=2$
تفسير الإجابة
بالتكامل: $f'(x)=5x^4+e^{2x}+c_1$. من $f'(0)=-3$ نحصل على c1=-4. ثم $f(x)=x^5+\frac{1}{2}e^{2x}-4x+c_2$. ومن f(0)=2 نحصل على $c_2=\frac{3}{2}$.
السؤال 29
النقاط: 1
جد الدالة f(t) التي تحقق الشروط المعطاة: $f^{\prime\prime}(t)=2+2t,\f(0)=2,\f(3)=2$
Find the function f(t) satisfying: $f^{\prime\prime}(t)=2+2t,\f(0)=2,\f(3)=2$
تفسير الإجابة
بالتكامل مرتين: $f(t)=t^2+\frac{t^3}{3}+c_1t+c_2$. من f(0)=2 نجد c2=2، ومن f(3)=2 نجد c1=-6.
السؤال 30
النقاط: 1
جد الدالة f(t) التي تحقق الشروط المعطاة: $f^{\prime\prime}(t)=4+6t,\f(1)=3,\f(-1)=-2$
Find the function f(t) satisfying: $f^{\prime\prime}(t)=4+6t,\f(1)=3,\f(-1)=-2$
تفسير الإجابة
بالتكامل مرتين: f(t)=2t2+t3+c1t+c2. من الشرطين f(1)=3 و f(-1)=-2 نحصل على $c_1=\frac{3}{2}$ و $c_2=-\frac{3}{2}$.
السؤال 31
النقاط: 1
جد الدالة f(x) التي تحقق الشروط المعطاة: $f^\prime(x)=3e^{-x},\f(0)=3$
Find the function f(x) satisfying: $f^\prime(x)=3e^{-x},\f(0)=3$
تفسير الإجابة
تكامل 3e-x هو -3e-x+c. وباستخدام f(0)=3 نحصل على -3+c=3، إذن c=6.
السؤال 32
النقاط: 1
احسب المجموع: $\sum_{i=1}^{70}(3i-1)$
Compute the sum: $\sum_{i=1}^{70}(3i-1)$
احسب المجموع: $\sum_{i=1}^{50}(8-i)$
Compute the sum: $\sum_{i=1}^{50}(8-i)$
تفسير الإجابة
نحسب $8(50)-\frac{50(51)}{2}=400-1275=-875$.
السؤال 36
النقاط: 1
احسب المجموع: $\sum_{k=3}^{n}(k^2-3)$
Compute the sum: $\sum_{k=3}^{n}(k^2-3)$
تفسير الإجابة
نكتب المجموع من 3 إلى n على أنه $\sum_{k=1}^{n}(k^2-3)-[(1^2-3)+(2^2-3)]$. وهذا يساوي $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-3n+1$.
السؤال 37
النقاط: 1
احسب المجموع: $\sum_{i=6}^{10}(i+4)$
Compute the sum: $\sum_{i=6}^{10}(i+4)$
تفسير الإجابة
القيم هي 10,11,12,13,14، ومجموعها 60.
السؤال 38
النقاط: 1
احسب المجموع: $\sum_{i=5}^{9}(i^2+3)$
Compute the sum: $\sum_{i=5}^{9}(i^2+3)$
تفسير الإجابة
نحسب 25+36+49+64+81+5(3)=255+15=270.
السؤال 39
النقاط: 1
اكتب التكامل المحدد $\int_a^b f(x)\,dx$ على صورة نهاية.
Write the definite integral $\int_a^b f(x)\,dx$ as limit form.
تفسير الإجابة
تعريف التكامل المحدد على صورة مجموع ريمان هو $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x$.
السؤال 40
النقاط: 1
إذا كان $\int_2^6 f(x)\,dx=5$، أوجد $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x$ على الفترة [2,6].
If $\int_2^6 f(x)\,dx=5$, find $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x$ on [2,6].
تفسير الإجابة
مجموع ريمان على الفترة [2,6] يساوي التكامل المحدد نفسه، لذلك قيمته 5.
السؤال 41
النقاط: 1
إذا كان $\int_1^4 (f(x)-3)\,dx=2$، أوجد $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x$ على الفترة [1,4].
If $\int_1^4 (f(x)-3)\,dx=2$, find $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x$ on [1,4].
اكتب التكامل المحدد $\int_0^1 2x\,dx$ على صورة نهاية.
Write the definite integral $\int_0^1 2x\,dx$ as limit form.
تفسير الإجابة
على الفترة [0,1] يكون $\Delta x=\frac{1}{n}$ و $x_i=\frac{i}{n}$، لذلك $f(x_i)\Delta x=2\frac{i}{n}\cdot\frac{1}{n}=\frac{2i}{n^2}$.
السؤال 43
النقاط: 1
اكتب التكامل المحدد $\int_0^2 (x^2-2)\,dx$ على صورة نهاية.
Write the definite integral $\int_0^2 (x^2-2)\,dx$ as limit form.
تفسير الإجابة
على الفترة [0,2] يكون $\Delta x=\frac{2}{n}$ و $x_i=\frac{2i}{n}$. إذن $f(x_i)\Delta x=\left(\frac{4i^2}{n^2}-2\right)\frac{2}{n}$.
السؤال 44
النقاط: 1
إذا كان $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x=8$ على الفترة [3,7]، أوجد $\int_7^3 2f(x)\,dx$.
If $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x=8$ on [3,7], find $\int_7^3 2f(x)\,dx$.
تفسير الإجابة
القيمة المعطاة تعني أن $\int_3^7 f(x)\,dx=8$. إذن $\int_7^3 2f(x)\,dx=-2\int_3^7 f(x)\,dx=-16$.
السؤال 45
النقاط: 1
أي تكامل محدد يمثله مجموع ريمان التالي: $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}(5c_i+4)\Delta x$ على الفترة [-1,2]؟
Which definite integral is represented by $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}(5c_i+4)\Delta x$ on [-1,2]?
تفسير الإجابة
الدالة داخل مجموع ريمان هي 5x+4، والفترة هي [-1,2]، لذلك التكامل هو $\int_{-1}^{2}(5x+4)\,dx$.
السؤال 46
النقاط: 1
أي تكامل محدد يمثله مجموع ريمان التالي: $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{2i^2}{n^2}$؟
Which definite integral is represented by $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{2i^2}{n^2}$?
تفسير الإجابة
هنا $\Delta x=\frac{1}{n}$ و $x_i=\frac{i}{n}$، والحد داخل المجموع يساوي $2x_i^2\Delta x$، إذن التكامل هو $\int_0^1 2x^2\,dx$.
السؤال 47
النقاط: 1
أي تكامل محدد يمثله مجموع ريمان التالي: $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\sin\left(\frac{\pi i}{n}\right)$؟
Which definite integral is represented by $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\sin\left(\frac{\pi i}{n}\right)$?
تفسير الإجابة
بما أن $\Delta x=\frac{1}{n}$ و $x_i=\frac{i}{n}$، فإن $\sin\left(\frac{\pi i}{n}\right)=\sin(\pi x_i)$، لذلك التكامل هو $\int_0^1\sin(\pi x)\,dx$.
السؤال 48
النقاط: 1
بفرض أن $\int_1^3 f(x)\,dx=3$ و $\int_1^3 g(x)\,dx=-2$، أوجد $\int_1^3 [f(x)+g(x)]\,dx$.
Assume that $\int_1^3 f(x)\,dx=3$ and $\int_1^3 g(x)\,dx=-2$. Find $\int_1^3 [f(x)+g(x)]\,dx$.
تفسير الإجابة
نستخدم خاصية الجمع في التكامل: $\int(f+g)=\int f+\int g=3+(-2)=1$.
السؤال 49
النقاط: 1
بفرض أن $\int_1^3 f(x)\,dx=3$ و $\int_1^3 g(x)\,dx=-2$، أوجد $\int_1^3 [2f(x)-g(x)]\,dx$.
Assume that $\int_1^3 f(x)\,dx=3$ and $\int_1^3 g(x)\,dx=-2$. Find $\int_1^3 [2f(x)-g(x)]\,dx$.
تفسير الإجابة
القيمة تساوي $2\int f-\int g=2(3)-(-2)=8$.
السؤال 50
النقاط: 1
بفرض أن $\int_1^3 f(x)\,dx=3$ و $\int_1^3 g(x)\,dx=-2$، أوجد $\int_1^3 [4g(x)-3f(x)]\,dx$.
Assume that $\int_1^3 f(x)\,dx=3$ and $\int_1^3 g(x)\,dx=-2$. Find $\int_1^3 [4g(x)-3f(x)]\,dx$.
تفسير الإجابة
القيمة تساوي 4(-2)-3(3)=-8-9=-17.
السؤال 51
النقاط: 1
بفرض أن $\int_1^3 3f(x)\,dx=3$ و $\int_3^1 g(x)\,dx=-2$، أوجد $\int_1^3 [f(x)-g(x)]\,dx$.
Assume that $\int_1^3 3f(x)\,dx=3$ and $\int_3^1 g(x)\,dx=-2$. Find $\int_1^3 [f(x)-g(x)]\,dx$.
تفسير الإجابة
من $\int_1^3 3f=3$ نحصل على $\int_1^3 f=1$. ومن $\int_3^1 g=-2$ نحصل على $\int_1^3 g=2$. إذن الناتج 1-2=-1.
السؤال 52
النقاط: 1
بفرض أن $\int_1^3 6f(x)\,dx=12$ و $\int_1^3 g(x)\,dx=-2$، أوجد $\int_1^3 [4g(x)-3f(x)+2x]\,dx$.
Assume that $\int_1^3 6f(x)\,dx=12$ and $\int_1^3 g(x)\,dx=-2$. Find $\int_1^3 [4g(x)-3f(x)+2x]\,dx$.
تفسير الإجابة
من المعطيات $\int f=2$ و $\int g=-2$. كذلك $\int_1^3 2x\,dx=8$. إذن الناتج 4(-2)-3(2)+8=-6.
السؤال 53
النقاط: 1
بفرض أن $\int_1^3 f(x)\,dx=4$ و $\int_1^3 g(x)\,dx=-3$، أوجد $4\int_1^3 f(x)\,dx-3\int_1^3 g(x)\,dx$.
Assume that $\int_1^3 f(x)\,dx=4$ and $\int_1^3 g(x)\,dx=-3$. Find $4\int_1^3 f(x)\,dx-3\int_1^3 g(x)\,dx$.
تفسير الإجابة
نحسب مباشرة: 4(4)-3(-3)=16+9=25.
السؤال 54
النقاط: 1
بفرض أن $\int_1^3 f(x)\,dx=4$ و $\int_1^3 g(x)\,dx=-3$، أوجد $\int_1^3 [2g(x)-5f(x)]\,dx$.
Assume that $\int_1^3 f(x)\,dx=4$ and $\int_1^3 g(x)\,dx=-3$. Find $\int_1^3 [2g(x)-5f(x)]\,dx$.
تفسير الإجابة
القيمة تساوي 2(-3)-5(4)=-6-20=-26.
السؤال 55
النقاط: 1
بفرض أن $\int_2^4 f(x)\,dx=-5$ و $\int_2^4 g(x)\,dx=3$، أوجد $\int_2^4 [4g(x)-3f(x)]\,dx$.
Assume that $\int_2^4 f(x)\,dx=-5$ and $\int_2^4 g(x)\,dx=3$. Find $\int_2^4 [4g(x)-3f(x)]\,dx$.
تفسير الإجابة
القيمة تساوي 4(3)-3(-5)=12+15=27.
السؤال 56
النقاط: 1
بفرض أن $\int_1^4 f(x)\,dx=5$ و $\int_1^4 g(x)\,dx=-3$، أوجد $\int_1^4 [2f(x)-g(x)]\,dx$.
Assume that $\int_1^4 f(x)\,dx=5$ and $\int_1^4 g(x)\,dx=-3$. Find $\int_1^4 [2f(x)-g(x)]\,dx$.
تفسير الإجابة
القيمة تساوي 2(5)-(-3)=13.
السؤال 57
النقاط: 1
اكتب التعبير في صورة تكامل منفرد: $\int_0^5 f(x)\,dx-\int_2^5 f(x)\,dx$.
Write the expression as a single integral: $\int_0^5 f(x)\,dx-\int_2^5 f(x)\,dx$.
تفسير الإجابة
بطرح المساحة من 2 إلى 5 من المساحة من 0 إلى 5 يبقى التكامل من 0 إلى 2.
السؤال 58
النقاط: 1
استخدم القوانين الهندسية لحساب التكامل $\int_0^2 3x\,dx$.
Use the geometric formula to evaluate the integral $\int_0^2 3x\,dx$.
تفسير الإجابة
يمثل التكامل مساحة مثلث قاعدته 2 وارتفاعه 6، فالمساحة $\frac{1}{2}\cdot2\cdot6=6$.
السؤال 59
النقاط: 1
استخدم القوانين الهندسية لحساب التكامل $\int_1^4 2x\,dx$.
Use the geometric formula to evaluate the integral $\int_1^4 2x\,dx$.
تفسير الإجابة
قيمة التكامل هي [x2]14=16-1=15، وهي تمثل مساحة شبه منحرف تحت المستقيم y=2x.
السؤال 60
النقاط: 1
استخدم القوانين الهندسية لحساب التكامل $\int_0^2 \sqrt{4-x^2}\,dx$.
Use the geometric formula to evaluate the integral $\int_0^2 \sqrt{4-x^2}\,dx$.
تفسير الإجابة
المنحنى يمثل ربع دائرة نصف قطرها 2، فالمساحة $\frac{1}{4}\pi(2)^2=\pi$.
السؤال 61
النقاط: 1
استخدم القوانين الهندسية لحساب التكامل $\int_{-3}^{0}\sqrt{9-x^2}\,dx$.
Use the geometric formula to evaluate the integral $\int_{-3}^{0}\sqrt{9-x^2}\,dx$.
تفسير الإجابة
المنحنى يمثل ربع دائرة نصف قطرها 3، لذلك المساحة $\frac{1}{4}\pi(3)^2=\frac{9\pi}{4}$.
السؤال 62
النقاط: 1
من الرسم: من 0 إلى 2 مثلث قاعدته 2 وارتفاعه 4، ومن 2 إلى 3 مستطيل ارتفاعه 1. أوجد $\int_0^3 f(x)\,dx$.
From the graph: from 0 to 2 there is a triangle with base 2 and height 4, and from 2 to 3 a rectangle with height 1. Find $\int_0^3 f(x)\,dx$.
تفسير الإجابة
مساحة المثلث $\frac{1}{2}\cdot2\cdot4=4$، ومساحة المستطيل $1\cdot1=1$، فيكون المجموع 5.
السؤال 63
النقاط: 1
أوجد قيمة c التي تحقق نتيجة نظرية القيمة المتوسطة للتكامل $\int_0^2 3x^2\,dx=8$.
Find a value of c that satisfies the conclusion of the integral Mean Value Theorem for $\int_0^2 3x^2\,dx=8$.
تفسير الإجابة
القيمة المتوسطة هي $\frac{1}{2-0}\cdot8=4$. نحل 3c2=4 فنحصل على $c=\frac{2}{\sqrt{3}}$ داخل الفترة [0,2].
السؤال 64
النقاط: 1
أوجد قيمة c التي تحقق نتيجة نظرية القيمة المتوسطة للتكامل $\int_{-1}^{1}(x^2-2x)\,dx=\frac{2}{3}$.
Find a value of c that satisfies the conclusion of the integral Mean Value Theorem for $\int_{-1}^{1}(x^2-2x)\,dx=\frac{2}{3}$.
تفسير الإجابة
القيمة المتوسطة هي $\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$. نحل $c^2-2c=\frac{1}{3}$، والقيمة الواقعة في [-1,1] هي $\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$.
السؤال 65
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int_0^2 (2x-3)\,dx$.
Evaluate $\int_0^2 (2x-3)\,dx$.
تفسير الإجابة
التكامل يساوي [x2-3x]02=4-6=-2.
السؤال 66
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int_0^3 (x^2-2)\,dx$.
Evaluate $\int_0^3 (x^2-2)\,dx$.
أوجد قيمة التكامل المحدد $\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{3}{\text{s}qrt{1-x^2}}\,dx$
Evaluate $\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{3}{\text{s}qrt{1-x^2}}\,dx$
تفسير الإجابة
نستخدم القاعدة $\int \frac{1}{\text{s}qrt{1-x^2}}dx=\text{s}in^{-1}x$، لذلك الدالة الأصلية هي 3sin-1x ثم نعوض بالحدود.
السؤال 76
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل المحدد $\int_{-1}^{1} \frac{4}{1+x^2}\,dx$
Evaluate $\int_{-1}^{1} \frac{4}{1+x^2}\,dx$
تفسير الإجابة
بما أن $\int \frac{1}{1+x^2}dx=\tan^{-1}x$، فإن الدالة الأصلية هي 4tan-1x ثم نعوض من -1 إلى 1.
السؤال 77
النقاط: 1
أوجد $f'(x)$ إذا كانت $f(x)=\int_0^x (t^2-3t+2)\,dt$
Find $f'(x)$ if $f(x)=\int_0^x (t^2-3t+2)\,dt$
تفسير الإجابة
حسب نظرية التفاضل والتكامل الأساسية، مشتقة $\int_0^x F(t)dt$ تساوي F(x)، إذن $f'(x)=x^2-3x+2$.
السؤال 78
النقاط: 1
أوجد $f'(x)$ إذا كانت $f(x)=\int_2^x (t^2-3t-4)\,dt$
Find $f'(x)$ if $f(x)=\int_2^x (t^2-3t-4)\,dt$
تفسير الإجابة
بما أن الحد العلوي هو x، فإن المشتقة تساوي integrand بعد وضع t=x، أي x2-3x-4.
السؤال 79
النقاط: 1
أوجد $f'(x)$ إذا كانت $f(x)=\int_0^{x^2} (e^{-t^2}+1)\,dt$
Find $f'(x)$ if $f(x)=\int_0^{x^2} (e^{-t^2}+1)\,dt$
تفسير الإجابة
نعوض الحد العلوي x2 في integrand ثم نضرب بمشتقته: $f'(x)=(e^{-(x^2)^2}+1)(2x)=2x(e^{-x^4}+1)$.
السؤال 80
النقاط: 1
أوجد $f'(x)$ إذا كانت $f(x)=\int_x^2 \text{s}ec t\,dt$
Find $f'(x)$ if $f(x)=\int_x^2 \text{s}ec t\,dt$
تفسير الإجابة
عندما يكون x في الحد السفلي فإن المشتقة سالبة قيمة الدالة عند x، لذلك $f'(x)=-\text{s}ec x$.
السؤال 81
النقاط: 1
إذا كانت $F(x)=\int_x^2 (t-2)\,dt$ فأوجد $F'(x)$
If $F(x)=\int_x^2 (t-2)\,dt$, find $F'(x)$
تفسير الإجابة
لأن x حد سفلي، $F'(x)=-(x-2)=2-x$.
السؤال 82
النقاط: 1
أوجد $h'(2)$ إذا كانت $h(x)=\int_{-1}^{g(x)} f(t)\,dt$، وبحسب الجدول: g(2)=1 و $g'(2)=3$ و f(1)=-5
Find $h'(2)$ if $h(x)=\int_{-1}^{g(x)} f(t)\,dt$ using the table: g(2)=1, $g'(2)=3$, and f(1)=-5
تفسير الإجابة
باستخدام قاعدة السلسلة: $h'(x)=f(g(x))g'(x)$. إذن $h'(2)=f(g(2))g'(2)=f(1)\cdot3=-5\cdot3=-15$.
السؤال 83
النقاط: 1
أوجد معادلة المماس للمعادلة $y=\int_0^x \sin\sqrt{\pi^2+t^2}\,dt$ عند x=0
Find an equation of the tangent line for $y=\int_0^x \sin\sqrt{\pi^2+t^2}\,dt$ at x=0
تفسير الإجابة
عند x=0 تكون y=0. والميل $y'=\sin\sqrt{\pi^2+x^2}$، لذلك $m=\sin\pi=0$، فتكون معادلة المماس y=0.
السؤال 84
النقاط: 1
أوجد معادلة المماس للمعادلة $y=\int_{-1}^x \ln(t^2+2t+2)\,dt$ عند x=-1
Find an equation of the tangent line for $y=\int_{-1}^x \ln(t^2+2t+2)\,dt$ at x=-1
تفسير الإجابة
عند x=-1 يكون y=0، والميل $y'=\ln(x^2+2x+2)$. بالتعويض x=-1 نحصل على $\ln1=0$، إذن y=0.
السؤال 85
النقاط: 1
أوجد معادلة المماس للمعادلة $y=\int_2^x \cos(\pi t^3)\,dt$ عند x=2
Find an equation of the tangent line for $y=\int_2^x \cos(\pi t^3)\,dt$ at x=2
تفسير الإجابة
عند x=2 يكون y=0، والميل $y'=\cos(\pi x^3)$، ومنه $m=\cos(8\pi)=1$، فتكون y=x-2.
السؤال 86
النقاط: 1
أوجد معادلة المماس للمعادلة $y=\int_0^x e^{-t^2+1}\,dt$ عند x=0
Find an equation of the tangent line for $y=\int_0^x e^{-t^2+1}\,dt$ at x=0
تفسير الإجابة
عند x=0 يكون y=0، والميل $y'=e^{-x^2+1}$، ومنه m=e. إذن معادلة المماس هي y=ex.
السؤال 87
النقاط: 1
أوجد معادلة المماس للمعادلة $y=\int_1^{x^2} \text{s}qrt{t^2+1}\,dt$ عند x=1
Find an equation of the tangent line for $y=\int_1^{x^2} \text{s}qrt{t^2+1}\,dt$ at x=1
تفسير الإجابة
عند x=1 يكون y=0. وبقاعدة السلسلة $y'=\text{s}qrt{x^4+1}(2x)$، ومنه عند x=1 الميل 2sqrt2، فالمماس y=2sqrt2(x-1).
السؤال 88
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int x^3\text{s}qrt{x^4+3}\,dx$
Evaluate the indicated integral $\int x^3\text{s}qrt{x^4+3}\,dx$
تفسير الإجابة
نضع u=x4+3 فيكون du=4x3dx، لذلك التكامل $\frac14\int u^{1/2}du=\frac16(x^4+3)^{3/2}+c$.
السؤال 89
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int \text{s}qrt{1+10x}\,dx$
Evaluate the indicated integral $\int \text{s}qrt{1+10x}\,dx$
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int \frac{\text{s}in x}{\text{s}qrt{\cos x}}\,dx$
Evaluate the indicated integral $\int \frac{\text{s}in x}{\text{s}qrt{\cos x}}\,dx$
تفسير الإجابة
نضع u=cos x فيكون du=-sin xdx، لذلك التكامل $-\int u^{-1/2}du=-2\text{s}qrt{\cos x}+c$.
السؤال 91
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int \text{s}in^3x\cos x\,dx$
Evaluate the indicated integral $\int \text{s}in^3x\cos x\,dx$
تفسير الإجابة
نضع u=sin x فيكون du=cos xdx، فينتج $\int u^3du=\frac14\text{s}in^4x+c$.
السؤال 92
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int t^2\cos(t^3)\,dt$
Evaluate the indicated integral $\int t^2\cos(t^3)\,dt$
تفسير الإجابة
نضع u=t3 فيكون du=3t2dt، لذلك التكامل $\frac13\text{s}in(t^3)+c$.
السؤال 93
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int \text{s}in x(\cos x+3)^{\frac{3}{4}}\,dx$
Evaluate the indicated integral $\int \text{s}in x(\cos x+3)^{\frac{3}{4}}\,dx$
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int xe^{x^2+1}\,dx$
Evaluate the indicated integral $\int xe^{x^2+1}\,dx$
تفسير الإجابة
نضع u=x2+1 فيكون du=2xdx، لذلك التكامل $\frac12 e^{x^2+1}+c$.
السؤال 95
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int e^x\text{s}qrt{e^x+1}\,dx$
Evaluate the indicated integral $\int e^x\text{s}qrt{e^x+1}\,dx$
تفسير الإجابة
نضع u=e^x+1 فيكون du=e^xdx، لذلك التكامل $\frac23(e^x+1)^{3/2}+c$.
السؤال 96
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int \frac{e^{\text{s}qrt{x}}}{\text{s}qrt{x}}\,dx$
Evaluate the indicated integral $\int \frac{e^{\text{s}qrt{x}}}{\text{s}qrt{x}}\,dx$
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int \frac{\cos(1/x)}{x^2}\,dx$
Evaluate the indicated integral $\int \frac{\cos(1/x)}{x^2}\,dx$
تفسير الإجابة
نضع $u=\frac{1}{x}$ فيكون $du=-\frac{1}{x^2}dx$، لذلك التكامل $-\sin\left(\frac{1}{x}\right)+c$.
السؤال 98
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int \text{s}in^5x\cos x\,dx$
Evaluate the indicated integral $\int \text{s}in^5x\cos x\,dx$
تفسير الإجابة
نضع u=sin x فيكون du=cos xdx، فينتج $\int u^5du=\frac{\text{s}in^6x}{6}+c$.
السؤال 99
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int \frac{\text{s}in\text{s}qrt{x}}{\text{s}qrt{x}}\,dx$
Evaluate the indicated integral $\int \frac{\text{s}in\text{s}qrt{x}}{\text{s}qrt{x}}\,dx$
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int \frac{36x+18}{1+9x+9x^2}\,dx$
Evaluate the indicated integral $\int \frac{36x+18}{1+9x+9x^2}\,dx$
تفسير الإجابة
مشتقة المقام 9x2+9x+1 هي 18x+9، والبسط يساوي ضعفيها، لذلك التكامل $2\ln|9x^2+9x+1|+c$.
السؤال 106
النقاط: 1
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين y=x2-1 و y=7-x2
Find the area bounded by the curves y=x2-1 and y=7-x2
تفسير الإجابة
نقاط التقاطع عند $x=\pm2$. المساحة $\int_{-2}^{2}[(7-x^2)-(x^2-1)]dx=\int_{-2}^{2}(8-2x^2)dx=\frac{64}{3}$.
السؤال 107
النقاط: 1
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين y=x2-1 و $y=\frac{1}{2}x^2$
Find the area bounded by the curves y=x2-1 and $y=\frac{1}{2}x^2$
تفسير الإجابة
نقاط التقاطع عند $x=\pm\sqrt2$. المساحة $\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\left(\frac12x^2-(x^2-1)\right)dx=\frac{4\sqrt2}{3}$.
السؤال 108
النقاط: 1
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين y=x3 و y=3x+2
Find the area bounded by the curves y=x3 and y=3x+2
تفسير الإجابة
نحل x3=3x+2 فنحصل على x=-1 و x=2. على الفترة [-1,2] يكون الخط أعلى، لذلك المساحة $\int_{-1}^{2}(3x+2-x^3)dx=\frac{27}{4}$.
السؤال 109
النقاط: 1
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين y=x2 و $y=\sqrt{x}$
Find the area bounded by the curves y=x2 and $y=\sqrt{x}$
تفسير الإجابة
نقاط التقاطع عند x=0 و x=1. المساحة $\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)dx=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$.
السؤال 110
النقاط: 1
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين y=x2 و y=2-x2
Find the area bounded by the curves y=x2 and y=2-x2
تفسير الإجابة
من 0 إلى 1 يكون 2-x2 أعلى من x2، ومن 1 إلى 2 ينعكس الترتيب، لذلك نكتب المساحة كمجموع تكاملين بالقيمة الموجبة.
السؤال 111
النقاط: 1
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين y=x و y=x2
Find the area bounded by the curves y=x and y=x2
تفسير الإجابة
يتقاطع المنحنيان عند x=0 و x=1، وعلى هذه الفترة y=x أعلى من y=x2، لذلك $A=\int_0^1(x-x^2)dx$.
السؤال 112
النقاط: 1
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين x=5y و x=4+y2
Find the area bounded by the curves x=5y and x=4+y2
تفسير الإجابة
نقاط التقاطع من 5y=4+y2 هي y=1 و y=4. الحد الأيمن هو x=5y والأيسر هو x=4+y2، إذن المساحة هي التكامل المعطى في الخيار الأول.
السؤال 113
النقاط: 1
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيات y=x و y=2-x و y=0، واختر المتغير المناسب لكتابتها على صورة تكامل واحد
Find the area bounded by the graphs y=x, y=2-x, and y=0. Choose the variable of integration to write the area as a single integral.
تفسير الإجابة
باستخدام شرائح أفقية يكون y من 0 إلى 1، والحد الأيمن x=2-y والأيسر x=y، لذلك العرض 2-2y.
السؤال 114
النقاط: 1
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيات y=x و y=2 و y=6-x و y=0، واختر المتغير المناسب لكتابتها على صورة تكامل واحد
Find the area bounded by the graphs y=x, y=2, y=6-x, and y=0. Choose the variable of integration to write the area as a single integral.
تفسير الإجابة
باستخدام شرائح أفقية من y=0 إلى y=2 يكون الحد الأيسر x=y والحد الأيمن x=6-y، فيكون العرض 6-2y.
السؤال 115
النقاط: 1
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيات y=x و x=-y و x=1، واختر المتغير المناسب لكتابتها على صورة تكامل واحد
Find the area bounded by the graphs y=x, x=-y, and x=1. Choose the variable of integration to write the area as a single integral.
تفسير الإجابة
باستخدام شرائح رأسية من x=0 إلى x=1 يكون الحد العلوي y=x والسفلي y=-x، لذلك الارتفاع 2x.
السؤال 116
النقاط: 1
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين x=3y و x=2+y2، واختر المتغير المناسب لكتابتها على صورة تكامل واحد
Find the area bounded by the graphs x=3y and x=2+y2. Choose the variable of integration to write the area as a single integral.
تفسير الإجابة
نقاط التقاطع من 3y=2+y2 هي y=1 و y=2. الحد الأيمن x=3y والأيسر x=2+y2، لذلك العرض 3y-2-y2.
السؤال 117
النقاط: 1
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيات y=2x حيث x>0، و y=3-x2، و x=0، واختر المتغير المناسب لكتابتها على صورة تكامل واحد
Find the area bounded by the graphs y=2x for x>0, y=3-x2, and x=0. Choose the variable of integration to write the area as a single integral.
تفسير الإجابة
يتقاطع y=2x مع y=3-x2 عند x=1 في الجهة الموجبة. على [0,1] الحد الأعلى 3-x2 والأسفل 2x، لذلك الفرق 3-x2-2x.
السؤال 118
النقاط: 1
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين x=y2 و x=4، واختر المتغير المناسب لكتابتها على صورة تكامل واحد
Find the area bounded by the graphs x=y2 and x=4. Choose the variable of integration to write the area as a single integral.
تفسير الإجابة
نقاط التقاطع عند $y=\pm2$. الحد الأيمن x=4 والأيسر x=y2، لذلك المساحة $\int_{-2}^{2}(4-y^2)dy$.
السؤال 119
النقاط: 1
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين y=2-x و y=x2 بالنسبة إلى y، واختر المتغير المناسب لكتابتها على صورة تكامل واحد
Find the area bounded by the graphs of y=2-x and y=x2 with respect to y. Choose the variable of integration to write the area as a single integral.
تفسير الإجابة
بالنسبة إلى y: من y=x2 نحصل على $x=\sqrt y$، ومن y=2-x نحصل على x=2-y. على $0\le y\le1$ يكون العرض $2-y-\sqrt y$.
السؤال 120
النقاط: 1
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيات y=-x و y=sqrt{x} و y=2، واختر المتغير المناسب لكتابتها على صورة تكامل واحد
Find the area bounded by the graphs of y=-x, y=sqrt{x}, and y=2. Choose the variable of integration to write the area as a single integral.
تفسير الإجابة
بالنسبة إلى y: من y=-x نحصل على x=-y، ومن y=sqrt{x} نحصل على x=y2. العرض هو y2-(-y)=y2+y من 0 إلى 2.
السؤال 121
النقاط: 1
احسب حجم المجسم الذي تكوّن من دوران المنطقة المحددة بواسطة y=4-2x, x=0, y=0 حول المحور x
Compute the volume of the solid formed by revolving the region bounded by y=4-2x, x=0, y=0 about the x-axis
تفسير الإجابة
عند الدوران حول المحور x نستخدم طريقة الأقراص: نصف القطر هو r=4-2x وحدود التكامل من 0 إلى 2، لذلك $v=\pi\int_0^2(4-2x)^2dx$.
السؤال 122
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=4-2x, x=0, y=0. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم y=-4
Let R be the region bounded by y=4-2x, x=0, y=0. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line y=-4
تفسير الإجابة
حول المستقيم y=-4 يكون نصف القطر الخارجي 8-2x والداخلي 4، وحدود x من 0 إلى 2.
السؤال 123
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=4-2x, x=0, y=0. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم y=4
Let R be the region bounded by y=4-2x, x=0, y=0. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line y=4
تفسير الإجابة
حول y=4 يكون نصف القطر الخارجي 4 والداخلي 2x، لذلك الحجم $\pi\int_0^2(4^2-(2x)^2)dx$.
السؤال 124
النقاط: 1
احسب حجم المجسم الذي تكوّن من دوران المنطقة المحددة بواسطة y=4-2x, x=0, y=0 حول المحور y
Compute the volume of the solid formed by revolving the region bounded by y=4-2x, x=0, y=0 about the y-axis
تفسير الإجابة
نكتب $x=\frac{4-y}{2}$، وعند الدوران حول المحور y يكون نصف القطر $r=\frac{4-y}{2}$ وحدود y من 0 إلى 4.
السؤال 125
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=4-2x, x=0, y=0. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم x=2
Let R be the region bounded by y=4-2x, x=0, y=0. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line x=2
تفسير الإجابة
باستخدام الشرائح الأفقية: نصف القطر الخارجي 2 والداخلي $\frac{y}{2}$، إذن $V=\pi\int_0^4\left(4-\frac{y^2}{4}\right)dy=\frac{32}{3}\pi$.
السؤال 126
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=4-2x, x=0, y=0. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم x=-2
Let R be the region bounded by y=4-2x, x=0, y=0. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line x=-2
تفسير الإجابة
حول x=-2 يكون نصف القطر الخارجي $2+\frac{4-y}{2}$ والداخلي 2، وبالتكامل من 0 إلى 4 نحصل على $\frac{64}{3}\pi$.
السؤال 127
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=x2 و y=4. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المحور y
Let R be the region bounded by y=x2 and y=4. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the y-axis
تفسير الإجابة
حول المحور y تتكون أقراص نصف قطرها $\sqrt{y}$ من y=0 إلى y=4، لذلك $V=\pi\int_0^4(\sqrt{y})^2dy$.
السؤال 128
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=x2 و y=4. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم x=2
Let R be the region bounded by y=x2 and y=4. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line x=2
تفسير الإجابة
حول x=2 يكون نصف القطر الخارجي $2+\sqrt{y}$ والداخلي $2-\sqrt{y}$.
السؤال 129
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=x2 و y=4. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم x=-4
Let R be the region bounded by y=x2 and y=4. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line x=-4
تفسير الإجابة
محور الدوران x=-4 يقع يسار المنطقة، لذلك الخارجي $\sqrt{y}+4$ والداخلي $4-\sqrt{y}$.
السؤال 130
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=x2 و y=4. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم y=4
Let R be the region bounded by y=x2 and y=4. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line y=4
تفسير الإجابة
حول y=4 يكون نصف القطر 4-x2 وحدود x من -2 إلى 2، فينتج $V=\pi\int_{-2}^{2}(4-x^2)^2dx=\frac{512}{15}\pi$.
السؤال 131
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=x2 و y=4. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم y=6
Let R be the region bounded by y=x2 and y=4. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line y=6
تفسير الإجابة
حول y=6 يكون الخارجي 6-x2 والداخلي 2، لذلك $V=\pi\int_{-2}^{2}\left((6-x^2)^2-2^2\right)dx=\frac{384}{5}\pi$.
السؤال 132
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=x2 و y=4. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم y=-2
Let R be the region bounded by y=x2 and y=4. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line y=-2
تفسير الإجابة
حول y=-2 يكون الخارجي 6 والداخلي x2+2، وبالتكامل من -2 إلى 2 نحصل على $\frac{1408}{15}\pi$.
السؤال 133
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=6-2x, y=0, x=0. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المحور y
Let R be the region bounded by y=6-2x, y=0, and x=0. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the y-axis
تفسير الإجابة
نكتب $x=\frac{6-y}{2}$، وحول المحور y يكون نصف القطر هذا التعبير، وحدود y من 0 إلى 6.
السؤال 134
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=x2, y=0, x=1. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المحور x
Let R be the region bounded by y=x2, y=0, and x=1. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the x-axis
تفسير الإجابة
حول المحور x يكون نصف القطر x2، إذن $V=\pi\int_0^1(x^2)^2dx=\frac{1}{5}\pi$.
السؤال 135
النقاط: 1
احسب حجم المجسم الناتج من دوران المنطقة المحددة بواسطة y=9-x2 و y=2 من x=0 إلى $x=\sqrt{7}$ حول المحور y
Compute the volume of the solid formed by revolving the region bounded by y=9-x2 and y=2 from x=0 to $x=\sqrt{7}$ about the y-axis
تفسير الإجابة
من y=9-x2 نحصل على x2=9-y. عند الدوران حول المحور y يكون r2=9-y، لذلك $V=\pi\int_2^9(9-y)dy$.
السؤال 136
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=0, y=2-x, x=0. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المحور x
Let R be the region bounded by y=0, y=2-x, and x=0. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the x-axis
تفسير الإجابة
حول المحور x يكون نصف القطر هو 2-x وحدود x من 0 إلى 2.
السؤال 137
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=2-x, y=0, x=0. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم y=3
Let R be the region bounded by y=2-x, y=0, and x=0. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line y=3
تفسير الإجابة
حول y=3 يكون الخارجي 3 والداخلي 3-(2-x)، لذلك نطرح مربع نصف القطر الداخلي من الخارجي.
السؤال 138
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=x2 و y=4-x2. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المحور x
Let R be the region bounded by y=x2 and y=4-x2. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the x-axis
تفسير الإجابة
نقاط التقاطع عند $x=\pm\sqrt{2}$. حول المحور x نستخدم الحلقات: الخارجي 4-x2 والداخلي x2، فيكون الحجم $\frac{64\sqrt{2}\pi}{3}$.
السؤال 139
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=x2 و y=4-x2. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم y=4
Let R be the region bounded by y=x2 and y=4-x2. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line y=4
تفسير الإجابة
حول y=4 تكون أنصاف الأقطار 4-x2 و x2 بعد القياس من محور الدوران، فينتج نفس الحجم $\frac{64\sqrt{2}\pi}{3}$.
السؤال 140
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة $y=\sqrt{x}$, y=2, x=0. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المحور y
Let R be the region bounded by $y=\sqrt{x}$, y=2, and x=0. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the y-axis
تفسير الإجابة
نكتب x=y2، وحول المحور y يكون نصف القطر y2 من 0 إلى 2، إذن $V=\pi\int_0^2y^4dy=\frac{32\pi}{5}$.
السؤال 141
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة $y=\sqrt{x}$, y=2, x=0. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم x=4
Let R be the region bounded by $y=\sqrt{x}$, y=2, and x=0. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line x=4
تفسير الإجابة
حول x=4 يكون الخارجي 4 والداخلي 4-y2، لذلك $V=\pi\int_0^2\left(4^2-(4-y^2)^2\right)dy=\frac{224\pi}{15}$.
السؤال 142
النقاط: 1
احسب حجم المجسم الناتج من دوران المنطقة المحددة بواسطة y=x2 و x=y2 حول المحور y
Compute the volume of the solid formed by revolving the region bounded by y=x2 and x=y2 about the y-axis
تفسير الإجابة
بالنسبة إلى y: الحد الأيمن $x=\sqrt{y}$ والحد الأيسر x=y2. حول المحور y: $V=\pi\int_0^1[(\sqrt{y})^2-(y^2)^2]dy$.
السؤال 143
النقاط: 1
احسب حجم المجسم الناتج من دوران المنطقة المحددة بواسطة y=x2 و x=y2 حول المستقيم x=1
Compute the volume of the solid formed by revolving the region bounded by y=x2 and x=y2 about the line x=1
تفسير الإجابة
حول x=1 يكون الخارجي 1-y2 والداخلي $1-\sqrt{y}$، لذلك نستخدم الفرق بين مربعيهما من 0 إلى 1.
السؤال 144
النقاط: 1
أوجد طول القوس لجزء من المنحنى y=2x-x2 حيث $0\le x\le2$
Find the arc length of the portion of curve y=2x-x2 for $0\le x\le2$
تفسير الإجابة
نستخدم قانون طول القوس $s=\int_0^2\text{s}qrt{1+(2-2x)^2}\,dx$، وبالحساب نحصل على $\text{s}qrt{5}+\frac{1}{2}\ln(2+\text{s}qrt{5})$.
السؤال 145
النقاط: 1
أوجد طول القوس لجزء من المنحنى y=tan x حيث $0\le x\le\frac{\pi}{4}$
Find the arc length of the portion of curve y=tan x for $0\le x\le\frac{\pi}{4}$
تفسير الإجابة
لأن $y'=\text{s}ec^2x$، فإن $1+(y')^2=1+\text{s}ec^4x$.
السؤال 146
النقاط: 1
أوجد طول القوس لجزء من المنحنى y=cos x حيث $0\le x\le\pi$
Find the arc length of the portion of curve y=cos x with $0\le x\le\pi$
تفسير الإجابة
لأن $y'=-\text{s}in x$، فإن قانون طول القوس يعطي $s=\int_0^{\pi}\text{s}qrt{1+\text{s}in^2x}\,dx$.
السؤال 147
النقاط: 1
أوجد طول القوس لجزء من المنحنى y=ln x حيث $1\le x\le3$
Find the arc length of the portion of curve y=ln x with $1\le x\le3$
تفسير الإجابة
لأن $y'=\frac{1}{x}$، إذن $\text{s}qrt{1+(y')^2}=\text{s}qrt{1+\frac1{x^2}}=\frac{\text{s}qrt{x^2+1}}{x}$ على الفترة الموجبة.
السؤال 148
النقاط: 1
أوجد طول القوس لجزء من المنحنى y=sin 2x حيث $0\le x\le\pi$
Find the arc length of the portion of curve y=sin 2x with $0\le x\le\pi$
تفسير الإجابة
لأن $y'=2\cos 2x$، فإن $1+(y')^2=1+4\cos^2(2x)$.
السؤال 149
النقاط: 1
أوجد طول القوس لجزء من المنحنى y=5x+1 حيث $0\le x\le2$
Find the arc length of the portion of curve y=5x+1 with $0\le x\le2$
تفسير الإجابة
لأن $y'=5$، فإن $s=\int_0^2\text{s}qrt{1+25}\,dx=2\text{s}qrt{26}$.
السؤال 150
النقاط: 1
أوجد طول القوس لجزء من المنحنى y=ln x حيث $1\le x\le3$
Find the arc length of the portion of curve y=ln x with $1\le x\le3$
تفسير الإجابة
لأن مشتقة ln x هي $\frac1x$، فطول القوس هو $\int_1^3\text{s}qrt{1+\frac1{x^2}}dx$.
السؤال 151
النقاط: 1
أوجد طول القوس لجزء من المنحنى y=3x+2 حيث $0\le x\le2$
Find the arc length of the portion of curve y=3x+2 with $0\le x\le2$
تفسير الإجابة
لأن $y'=3$، فإن $s=\int_0^2\text{s}qrt{1+9}\,dx=2\text{s}qrt{10}$.
السؤال 152
النقاط: 1
أوجد مساحة السطح المتولد من تدوير المنحنى y=x3-4x حيث $-2\le x\le0$ حول المحور x
Find the surface area generated by revolving y=x3-4x, $-2\le x\le0$, about the x-axis
تفسير الإجابة
مساحة السطح حول المحور x هي $s=\int 2\pi y\text{s}qrt{1+(y')^2}dx$، و $y'=3x^2-4$.
السؤال 153
النقاط: 1
أوجد مساحة السطح المتولد من تدوير المنحنى y=e^x حيث $0\le x\le1$ حول المحور x
Find the surface area generated by revolving y=e^x, $0\le x\le1$, about the x-axis
تفسير الإجابة
نستخدم $s=\int 2\pi y\text{s}qrt{1+(y')^2}dx$، ومع y=e^x يكون $y'=e^x$.
السؤال 154
النقاط: 1
أوجد مساحة السطح المتولد من تدوير المنحنى y=cos x حيث $0\le x\le\frac{\pi}{2}$ حول المحور x
Find the surface area generated by revolving y=cos x, $0\le x\le\frac{\pi}{2}$, about the x-axis
تفسير الإجابة
هنا y=cos x و $y'=-\text{s}in x$، إذن التكامل الصحيح هو $2\pi\int\cos x\text{s}qrt{1+\text{s}in^2x}dx$.
السؤال 155
النقاط: 1
حدد مساحة السطح المتولد من تدوير المنحنى y=ln x حيث $1\le x\le2$ حول المحور x
Select the surface area generated by revolving y=ln x, $1\le x\le2$, about the x-axis
تفسير الإجابة
نستخدم $2\pi y\sqrt{1+(y')^2}$، حيث y=ln x و $y'=\frac1x$.
السؤال 156
النقاط: 1
حدد التكامل لمساحة السطح الدوراني الذي يتكون بدوران y=sqrt{x} حيث $1\le x\le2$ حول المحور x
Identify the integral for the surface area of revolution for y=sqrt{x}, $1\le x\le2$, revolved about the x-axis
تفسير الإجابة
لأن y=sqrt{x} و $y'=\frac{1}{2\text{s}qrt{x}}$، فإن العامل هو $2\pi\text{s}qrt{x}\text{s}qrt{1+\frac1{4x}}$.
السؤال 157
النقاط: 1
حدد مساحة السطح المتولد من تدوير المنحنى y=sqrt{2x} حيث $1\le x\le2$ حول المحور x
Select the surface area generated by revolving y=sqrt{2x}, $1\le x\le2$, about the x-axis
تفسير الإجابة
إذا y=sqrt{2x} فإن $y'=\frac1{\text{s}qrt{2x}}$، لذلك $(y')^2=\frac1{2x}$، ونضرب في $2\pi y$.
السؤال 158
النقاط: 1
أوجد مساحة السطح المتولد من تدوير المنحنى y=sin x حيث $0\le x\le\pi$ حول المحور x
Find the surface area generated by revolving y=sin x, $0\le x\le\pi$, about the x-axis
تفسير الإجابة
لأن y=sin x و $y'=\cos x$، فالتكامل هو $2\pi\int\text{s}in x\text{s}qrt{1+\cos^2x}dx$.
السؤال 159
النقاط: 1
أوجد مساحة السطح المتولد من تدوير المنحنى y=x2 حيث $0\le x\le1$ حول المحور x
Find the surface area generated by revolving y=x2, $0\le x\le1$, about the x-axis
تفسير الإجابة
نستخدم $2\pi y\text{s}qrt{1+(y')^2}$، حيث y=x2 و $y'=2x$.
السؤال 160
النقاط: 1
حدد التكامل لمساحة السطح الدوراني الذي يتكون بدوران y=x4 حيث $1\le x\le2$ حول المحور x
Find the surface area of the surface generated by revolving y=x4, $1\le x\le2$, about the x-axis
تفسير الإجابة
هنا y=x4 و $y'=4x^3$، إذن $(y')^2=16x^6$، ونستخدم $2\pi y\text{s}qrt{1+(y')^2}$.
السؤال 161
النقاط: 1
يسقط غطاس من ارتفاع $30\ft$ فوق الماء. ما السرعة المتجهة للغطاس لحظة الاصطدام؟
A diver drops from $30\ft$ above the water. What is the diver's velocity at impact?
تفسير الإجابة
عند السقوط من السكون: $v=-\sqrt{2gh}=-\sqrt{2(32)(30)}=-8\sqrt{30}\ft/s$.
السؤال 162
النقاط: 1
يسقط غطاس من ارتفاع $120\ft$ فوق الماء. ما السرعة المتجهة للغطاس لحظة الاصطدام؟
A diver drops from $120\ft$ above the water. What is the diver's velocity at impact?
قارن بين سرعات تأثير الأجسام الساقطة من ارتفاعات $30\ft$, $120\ft$, و $3000\ft$. إذا زاد الارتفاع بمعامل h فبأي عامل تزداد سرعة التأثير؟
Compare the impact velocities of objects falling from $30\ft$, $120\ft$, and $3000\ft$. If height is increased by a factor of h, by what factor does the impact velocity increase?
تفسير الإجابة
سرعة التأثير تتناسب مع الجذر التربيعي للارتفاع لأن $v=\sqrt{2gh}$، لذلك العامل هو $\sqrt{h}$.
السؤال 164
النقاط: 1
يسقط غطاس من ارتفاع $36\m$ فوق الماء. ما السرعة المتجهة للغطاس لحظة الاصطدام؟
A diver drops from $36\m$ above the water. What is the diver's velocity at impact?
تفسير الإجابة
باستخدام $g=9.8\m/s^2$: $v=-\sqrt{2(9.8)(36)}\approx-26.6\m/s$.
السؤال 165
النقاط: 1
يطلق جسم بزاوية $\theta=\frac{\pi}{3}$ من الأفقي مع سرعة ابتدائية $98\m/s$. حدد زمن التحليق والمدى الأفقي.
An object is launched at angle $\theta=\frac{\pi}{3}$ from the horizontal with an initial speed of $98\m/s$. Determine the time of flight and the horizontal range.
تفسير الإجابة
زمن التحليق $T=\frac{2v\sin\theta}{g}=10\sqrt3\s$، والمدى $R=\frac{v^2\sin 2\theta}{g}=490\sqrt3\m$.
السؤال 166
النقاط: 1
أوجد زمن التحليق والمدى الأفقي لجسم أطلق بزاوية $30^\circ$ مع سرعة ابتدائية $40\m/s$.
Find the time of flight and horizontal range of an object launched at angle $30^\circ$ with initial speed $40\m/s$.
تفسير الإجابة
باستخدام $g=9.8\m/s^2$: $T=\frac{2(40)\sin30^\circ}{9.8}\approx4.08\s$ و $R=40\cos30^\circ\times T\approx141.4\m$.
السؤال 167
النقاط: 1
فينوس وليامز سددت ضربة من ارتفاع $10\ft$ بسرعة ابتدائية $176\ft/s$ وبزاوية $6^\circ$ تحت الأفقي. أوجد زمن التحليق.
Venus Williams hits a serve from a height of $10\ft$ at an initial speed of $176\ft/s$ and at an angle of $6^\circ$ below the horizontal. Find the time of flight.
تفسير الإجابة
الحركة الرأسية تحقق $0=10-176\sin6^\circ\,t-16t^2$، وبحلها نحصل تقريباً على $t=0.4\s$.
السؤال 168
النقاط: 1
فينوس وليامز سددت ضربة من ارتفاع $10\ft$ بسرعة ابتدائية $176\ft/s$ وبزاوية $6^\circ$ تحت الأفقي. أوجد المدى الأفقي.
Venus Williams hits a serve from a height of $10\ft$ at an initial speed of $176\ft/s$ and at an angle of $6^\circ$ below the horizontal. Find the horizontal range.
أوجد زمن التحليق لجسم أطلق بزاوية $60^\circ$ مع سرعة ابتدائية $30\m/s$.
Find the time of flight of an object launched at angle $60^\circ$ with initial speed $30\m/s$.
تفسير الإجابة
زمن التحليق $T=\frac{2v\sin\theta}{g}=\frac{2(30)\sin60^\circ}{9.8}\approx5.30\s$.
السؤال 170
النقاط: 1
يتم إطلاق جسم من الأرض بزاوية $20^\circ$ بسرعة ابتدائية $48\ft/s$. أوجد زمن التحليق متجاهلاً مقاومة الهواء.
An object is launched from the ground at an angle $20^\circ$ with an initial speed of $48\ft/s$. Find the time of flight, ignoring air resistance.
تفسير الإجابة
باستخدام $g=32\ft/s^2$: $T=\frac{2(48)\sin20^\circ}{32}=3\sin20^\circ\approx1.026\s$.
السؤال 171
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int x\cos x\,dx$
Evaluate the integral $\int x\cos x\,dx$
تفسير الإجابة
باستخدام التكامل بالأجزاء: u=x و $dv=\cos x\,dx$، فنحصل على xsin x+cos x+c.
السؤال 172
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int x\text{s}in 4x\,dx$
Evaluate the integral $\int x\text{s}in 4x\,dx$
تفسير الإجابة
نأخذ u=x و $dv=\text{s}in4x\,dx$، فيكون $v=-\frac{1}{4}\cos4x$، ثم الناتج $-\frac{x}{4}\cos4x+\frac{1}{16}\text{s}in4x+c$.
السؤال 173
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int xe^{2x}\,dx$
Evaluate the integral $\int xe^{2x}\,dx$
تفسير الإجابة
بالتكامل بالأجزاء مع u=x و dv=e2xdx نحصل على $\frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}+c$.
السؤال 174
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int x\ln x\,dx$
Evaluate the integral $\int x\ln x\,dx$
تفسير الإجابة
نأخذ u=ln x و $dv=x\,dx$، فيكون الناتج $\frac{1}{2}x^2\ln x-\frac{1}{4}x^2+c$.
السؤال 175
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int x\text{s}in x\,dx$
Evaluate the integral $\int x\text{s}in x\,dx$
تفسير الإجابة
بالتكامل بالأجزاء: u=x و $dv=\text{s}in x\,dx$، لذلك الناتج -xcos x+sin x+c.
السؤال 176
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int \ln(2x)\,dx$
Evaluate the integral $\int \ln(2x)\,dx$
تفسير الإجابة
بالتكامل بالأجزاء: u=ln(2x) و dv=dx، فيكون الناتج $x\ln(2x)-\int dx=x\ln(2x)-x+c$.
السؤال 177
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int x^2\ln x\,dx$
Evaluate the integral $\int x^2\ln x\,dx$
تفسير الإجابة
نأخذ u=ln x و dv=x2dx، فيكون الناتج $\frac{x^3\ln x}{3}-\frac{x^3}{9}+c$.
السؤال 178
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int_0^1 x\sin 2x\,dx$
Evaluate the integral $\int_0^1 x\sin 2x\,dx$
تفسير الإجابة
باستخدام التكامل بالأجزاء نحصل على دالة أصلية $-\frac{x}{2}\cos2x+\frac{1}{4}\sin2x$، ثم تُقيّم من 0 إلى 1.
السؤال 179
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int_0^{\pi}2x\cos x\,dx$
Evaluate the integral $\int_0^{\pi}2x\cos x\,dx$
تفسير الإجابة
دالة أصلية للتكامل هي 2xsin x+2cos x، لذلك الخيار الصحيح هو صيغة التقييم هذه.
السؤال 180
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int_0^1 x^2\cos(\pi x)\,dx$
Evaluate the integral $\int_0^1 x^2\cos(\pi x)\,dx$
تفسير الإجابة
بالتكامل بالأجزاء مرتين نحصل على القيمة $-\frac{2}{\pi^2}$.
السؤال 181
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int_0^1 x^2e^{3x}\,dx$
Evaluate the integral $\int_0^1 x^2e^{3x}\,dx$
تفسير الإجابة
دالة أصلية هي $e^{3x}\left(\frac{x^2}{3}-\frac{2x}{9}+\frac{2}{27}\right)$، وبالتعويض من 0 إلى 1 نحصل على $\frac{5e^3-2}{27}$.
السؤال 182
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int_1^{10}\ln(2x)\,dx$
Evaluate the integral $\int_1^{10}\ln(2x)\,dx$
تفسير الإجابة
دالة أصلية لـ ln(2x) هي xln(2x)-x، لذلك التقييم الصحيح هو $(x\ln2x-x)_1^{10}$.
السؤال 183
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int_1^2 x\ln x\,dx$
Evaluate the integral $\int_1^2 x\ln x\,dx$
تفسير الإجابة
دالة أصلية لـ xln x هي $\frac{1}{2}x^2\ln x-\frac{1}{4}x^2$.
السؤال 184
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int_1^2 xe^x\,dx$
Evaluate the integral $\int_1^2 xe^x\,dx$
تفسير الإجابة
دالة أصلية لـ xe^x هي e^x(x-1)، وبالتعويض من 1 إلى 2 نحصل على e2.
السؤال 185
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int_{-0.5}^{0.5}\cos^{-1}x\,dx$
Evaluate the integral $\int_{-0.5}^{0.5}\cos^{-1}x\,dx$
تفسير الإجابة
بالتكامل بالأجزاء: u=cos-1x و dv=dx، فينتج الحد $[x\cos^{-1}x]+\int\frac{x}{\text{s}qrt{1-x^2}}dx$.
السؤال 186
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int_0^{\pi/4}\cos 2x\text{s}in^3 2x\,dx$
Evaluate the integral $\int_0^{\pi/4}\cos 2x\text{s}in^3 2x\,dx$
أوجد قيمة التكامل $\int_{-\pi/2}^{0}\cos^3x\text{s}in x\,dx$
Evaluate the integral $\int_{-\pi/2}^{0}\cos^3x\text{s}in x\,dx$
تفسير الإجابة
نضع u=cos x، فتتحول الحدود من 0 إلى 1، ويصبح التكامل $\int_0^1u^3du=\frac14$.
السؤال 190
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int_0^{\pi/2}3\cos^2x\text{s}in x\,dx$
Evaluate the integral $\int_0^{\pi/2}3\cos^2x\text{s}in x\,dx$
تفسير الإجابة
هذا يساوي $3\int_0^{\pi/2}\cos^2x\text{s}in x\,dx=3\cdot\frac13=1$.
السؤال 191
النقاط: 1
ما التعويض الذي يمكن استخدامه لإيجاد قيمة التكامل $\int\frac{x^2}{\text{s}qrt{16-x^2}}\,dx$؟
Which substitution can be used to evaluate the integral $\int\frac{x^2}{\text{s}qrt{16-x^2}}\,dx$?
تفسير الإجابة
لأن الجذر من الصورة sqrt{a2-x2}، نستخدم $x=a\text{s}in\theta$، وهنا a=4.
السؤال 192
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int\frac{x^3}{\text{s}qrt{9-x^2}}\,dx$
Evaluate the integral $\int\frac{x^3}{\text{s}qrt{9-x^2}}\,dx$
تفسير الإجابة
نضع u=9-x2، فنحصل على $-9\text{s}qrt{9-x^2}+\frac13(9-x^2)^{3/2}+c$.
السؤال 193
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int_0^2\text{s}qrt{4-x^2}\,dx$
Evaluate the integral $\int_0^2\text{s}qrt{4-x^2}\,dx$
تفسير الإجابة
يمثل التكامل مساحة ربع دائرة نصف قطرها 2، لذلك المساحة $\frac14\pi(2)^2=\pi$.
السؤال 194
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int_0^1\frac{x}{\text{s}qrt{4-x^2}}\,dx$
Evaluate the integral $\int_0^1\frac{x}{\text{s}qrt{4-x^2}}\,dx$
تفسير الإجابة
دالة أصلية هي -sqrt{4-x2}، وبالتعويض من 0 إلى 1 نحصل على 2-sqrt3.
السؤال 195
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2-9}}\,dx$
Evaluate the integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2-9}}\,dx$
تفسير الإجابة
هذه صيغة قياسية: $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}+\frac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+c$، ومع a=3 نحصل على الخيار الثاني.
السؤال 196
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int x^3\text{s}qrt{x^2-1}\,dx$
Evaluate the integral $\int x^3\text{s}qrt{x^2-1}\,dx$
تفسير الإجابة
نضع u=x2-1، وعندها $x^3dx=x^2xdx=(u+1)\frac{du}{2}$، فيكون الناتج $\frac15u^{5/2}+\frac13u^{3/2}+c$.
السؤال 197
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int\frac{2}{\sqrt{x^2-4}}\,dx$
Evaluate the integral $\int\frac{2}{\sqrt{x^2-4}}\,dx$
تفسير الإجابة
لأن $\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+c$، ومع وجود العامل 2 نحصل على الخيار الثالث.
السؤال 198
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int\frac{x}{\text{s}qrt{x^2-4}}\,dx$
Evaluate the integral $\int\frac{x}{\text{s}qrt{x^2-4}}\,dx$
تفسير الإجابة
بالتعويض u=x2-4 يكون $du=2x\,dx$، فيكون الناتج sqrt{x2-4}+c.
السؤال 199
النقاط: 1
ما التعويض الذي يمكن استخدامه لإيجاد قيمة التكامل $\int\frac{1}{\text{s}qrt{x^2-25}}\,dx$؟
Which substitution can be used to evaluate the integral $\int\frac{1}{\text{s}qrt{x^2-25}}\,dx$?
تفسير الإجابة
لأن الجذر من الصورة sqrt{x2-a2}، نستخدم $x=a\text{s}ec\theta$، وهنا a=5.
السؤال 200
النقاط: 1
أوجد تفكيك الكسور الجزئية لـ $\frac{x-5}{x^2-1}$
Find the partial fraction for $\frac{x-5}{x^2-1}$
تفسير الإجابة
نحلل المقام x2-1=(x+1)(x-1)، وبالمقارنة نحصل على $\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x-1}$.
السؤال 201
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int \frac{x-5}{x^2-1}\,dx$
Evaluate $\int \frac{x-5}{x^2-1}\,dx$
تفسير الإجابة
من التفكيك $\frac{x-5}{x^2-1}=\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x-1}$، لذلك التكامل $3\ln|x+1|-2\ln|x-1|+c$.
السؤال 202
النقاط: 1
أوجد تفكيك الكسور الجزئية لـ $\frac{5x-2}{x^2-4}$
Find the partial fraction for $\frac{5x-2}{x^2-4}$
تفسير الإجابة
بما أن x2-4=(x+2)(x-2)، نحصل على $\frac{3}{x+2}+\frac{2}{x-2}$.
السؤال 203
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int \frac{5x-2}{x^2-4}\,dx$
Evaluate $\int \frac{5x-2}{x^2-4}\,dx$
تفسير الإجابة
بعد التفكيك يصبح التكامل $\int\left(\frac{3}{x+2}+\frac{2}{x-2}\right)dx=3\ln|x+2|+2\ln|x-2|+c$.
السؤال 204
النقاط: 1
أوجد تفكيك الكسور الجزئية لـ $\frac{6x}{x^2-x-2}$
Find the partial fraction for $\frac{6x}{x^2-x-2}$
تفسير الإجابة
نحلل x2-x-2=(x-2)(x+1)، وبالمقارنة نحصل على $\frac{4}{x-2}+\frac{2}{x+1}$.
السؤال 205
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int \frac{6x}{x^2-x-2}\,dx$
Evaluate $\int \frac{6x}{x^2-x-2}\,dx$
تفسير الإجابة
من التفكيك $\frac{6x}{x^2-x-2}=\frac{4}{x-2}+\frac{2}{x+1}$، فيكون التكامل $4\ln|x-2|+2\ln|x+1|+c$.
السؤال 206
النقاط: 1
أوجد تفكيك الكسور الجزئية لـ $\frac{3x}{x^2-3x-4}$
Find the partial fraction for $\frac{3x}{x^2-3x-4}$
تفسير الإجابة
لأن x2-3x-4=(x-4)(x+1)، والتفكيك الصحيح هو $\frac{12/5}{x-4}+\frac{3/5}{x+1}$.
السؤال 207
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int \frac{3x}{x^2-3x-4}\,dx$
Evaluate $\int \frac{3x}{x^2-3x-4}\,dx$
تفسير الإجابة
نكامل كل حد من التفكيك فنحصل على $\frac{12}{5}\ln|x-4|+\frac{3}{5}\ln|x+1|+c$.
السؤال 208
النقاط: 1
أوجد تفكيك الكسور الجزئية لـ $\frac{-x+5}{x^3-x^2-2x}$
Find the partial fraction for $\frac{-x+5}{x^3-x^2-2x}$
تفسير الإجابة
نحلل المقام x(x-2)(x+1)، وبالمقارنة نحصل على $-\frac{5}{2x}+\frac{1}{2(x-2)}+\frac{2}{x+1}$.
السؤال 209
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int \frac{-x+5}{x^3-x^2-2x}\,dx$
Evaluate $\int \frac{-x+5}{x^3-x^2-2x}\,dx$
تفسير الإجابة
نكامل حدود التفكيك فنحصل على $-\frac{5}{2}\ln|x|+\frac{1}{2}\ln|x-2|+2\ln|x+1|+c$.
السؤال 210
النقاط: 1
أوجد تفكيك الكسور الجزئية لـ $\frac{3x+8}{x^3+5x^2+6x}$
Find the partial fraction for $\frac{3x+8}{x^3+5x^2+6x}$
أوجد قيمة التكامل $\int \frac{3x+8}{x^3+5x^2+6x}\,dx$
Evaluate $\int \frac{3x+8}{x^3+5x^2+6x}\,dx$
تفسير الإجابة
الخيار الصحيح في المصدر غير موجود بدقة، لذلك صُحح الخيار الرابع. التكامل الصحيح هو $\frac{4}{3}\ln|x|-\ln|x+2|-\frac{1}{3}\ln|x+3|+c$.
السؤال 212
النقاط: 1
أوجد تفكيك الكسور الجزئية لـ $\frac{x-6}{x^2-4}$
Find the partial fraction for $\frac{x-6}{x^2-4}$
تفسير الإجابة
لأن x2-4=(x+2)(x-2)، وبالمقارنة نحصل على $\frac{2}{x+2}-\frac{1}{x-2}$.
السؤال 213
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int \frac{x+4}{x^3-3x^2+2x}\,dx$
Evaluate $\int \frac{x+4}{x^3-3x^2+2x}\,dx$
تفسير الإجابة
التفكيك هو $\frac{2}{x}+\frac{3}{x-2}-\frac{5}{x-1}$، لذلك التكامل هو الخيار الرابع.
السؤال 214
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل $\int \frac{2}{x^2-1}\,dx$
Evaluate $\int \frac{2}{x^2-1}\,dx$
تفسير الإجابة
$\frac{2}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$، لذلك التكامل $\ln|x-1|-\ln|x+1|+c$.
السؤال 215
النقاط: 1
أوجد تفكيك الكسور الجزئية لـ $\frac{4x^2+2}{(x^2+1)^2}$
Find the partial fraction for $\frac{4x^2+2}{(x^2+1)^2}$
تفسير الإجابة
لأن 4(x2+1)-2=4x2+2، فالتفكيك هو $\frac4{x^2+1}-\frac2{(x^2+1)^2}$.
السؤال 216
النقاط: 1
أوجد تفكيك الكسور الجزئية لـ $\frac{x^3+2}{(x^2+1)^2}$
Find the partial fraction for $\frac{x^3+2}{(x^2+1)^2}$
تفسير الإجابة
لأن x(x2+1)+(2-x)=x3+2، فالتفكيك الصحيح هو الخيار الثاني.
السؤال 217
النقاط: 1
أوجد تفكيك الكسور الجزئية لـ $\frac{4x^2+3}{(x^2+x+1)^2}$
Find the partial fraction for $\frac{4x^2+3}{(x^2+x+1)^2}$
تفسير الإجابة
نكتبها على الصورة $\frac{A}{D}+\frac{Bx+C}{D^2}$ حيث D=x2+x+1، فنجد A=4,B=-4,C=-1.
السؤال 218
النقاط: 1
أوجد تفكيك الكسور الجزئية لـ $\frac{x^4+x^3}{(x^2+4)^2}$
Find the partial fraction for $\frac{x^4+x^3}{(x^2+4)^2}$
تفسير الإجابة
بالقسمة ثم التفكيك نحصل على $1+\frac{x-8}{x^2+4}+\frac{-4x+16}{(x^2+4)^2}$، وهو مكافئ للخيار الثاني.
السؤال 219
النقاط: 1
حل المعادلة التفاضلية $y'=4y$ والتي تحقق الشرط الابتدائي y(0)=2
Find the solution of the differential equation $y'=4y$ satisfying the initial condition y(0)=2
تفسير الإجابة
حل $y'=ky$ هو y=Cekx، ومن y(0)=2 نحصل على C=2.
السؤال 220
النقاط: 1
حل المعادلة التفاضلية $y'=3y$ والتي تحقق الشرط الابتدائي y(0)=-2
Find the solution of the differential equation $y'=3y$ satisfying the initial condition y(0)=-2
تفسير الإجابة
الحل العام y=Ce3x، ومن y(0)=-2 نجد C=-2.
السؤال 221
النقاط: 1
حل المعادلة التفاضلية $y'=-3y$ والتي تحقق الشرط الابتدائي y(0)=5
Find the solution of the differential equation $y'=-3y$ satisfying the initial condition y(0)=5
تفسير الإجابة
الحل العام y=Ce-3x، ومن y(0)=5 نجد C=5.
السؤال 222
النقاط: 1
حل المعادلة التفاضلية $y'=-2y$ والتي تحقق الشرط الابتدائي y(0)=-6
Find the solution of the differential equation $y'=-2y$ satisfying the initial condition y(0)=-6
تفسير الإجابة
الحل العام y=Ce-2x، وبالتعويض y(0)=-6 نحصل على C=-6.
السؤال 223
النقاط: 1
حل المعادلة التفاضلية $y'=2y$ والتي تحقق الشرط الابتدائي y(1)=2
Find the solution of the differential equation $y'=2y$ satisfying the initial condition y(1)=2
تفسير الإجابة
الحل y=Ce2x، ومن y(1)=2 نجد C=2e-2، إذن y=2e2x-2.
السؤال 224
النقاط: 1
حل المعادلة التفاضلية $y'=-y$ والتي تحقق الشرط الابتدائي y(1)=2
Find the solution of the differential equation $y'=-y$ satisfying the initial condition y(1)=2
تفسير الإجابة
الحل y=Ce-x، ومن y(1)=2 نجد C=2e، لذلك y=2e1-x.
السؤال 225
النقاط: 1
حل المعادلة التفاضلية $y'=2y$ والتي تحقق الشرط الابتدائي y(-1)=2
Find the solution of the differential equation $y'=2y$ satisfying the initial condition y(-1)=2
تفسير الإجابة
الحل y=Ce2x، ومن y(-1)=2 نحصل على C=2e2، إذن y=2e2x+2.
السؤال 226
النقاط: 1
حل المعادلة التفاضلية $y'=-y$ والتي تحقق الشرط الابتدائي y(-1)=2
Find the solution of the differential equation $y'=-y$ satisfying the initial condition y(-1)=2
تفسير الإجابة
الخيار الصحيح في المصدر غير مضبوط، لذلك صُحح الخيار الثاني. الحل y=Ce-x، ومن y(-1)=2 نجد C=2e-1، إذن y=2e-x-1.
السؤال 227
النقاط: 1
حل المعادلة التفاضلية $y'=3y$ والتي تحقق الشرط الابتدائي y(1)=2
Find the solution of the differential equation $y'=3y$ satisfying the initial condition y(1)=2
تفسير الإجابة
الحل y=Ce3x، ومن y(1)=2 نحصل على C=2e-3، إذن y=2e3x-3.
السؤال 228
النقاط: 1
المعادلة التفاضلية $y'=\frac{2x}{y}e^{y-x}$ قابلة للفصل. أوجد الحل العام بصيغة صريحة إذا أمكن.
The differential equation $y'=\frac{2x}{y}e^{y-x}$ is separable. Find the general solution, in an explicit form if possible.
تفسير الإجابة
بالفصل: ye-ydy=2xe-xdx، ثم التكامل يعطي e-y(1+y)=2e-x(1+x)+c.
السؤال 229
النقاط: 1
المعادلة التفاضلية $y'=\frac{\sqrt{1-y^2}}{x\ln x}$ قابلة للفصل. أوجد الحل العام بصيغة صريحة إذا أمكن.
The differential equation $y'=\frac{\sqrt{1-y^2}}{x\ln x}$ is separable. Find the general solution, in an explicit form if possible.
تفسير الإجابة
بالفصل نحصل على $\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=\int\frac{dx}{x\ln x}$، أي sin-1y=ln(ln x)+c.
السؤال 230
النقاط: 1
المعادلة التفاضلية $y'=\frac{\cos x}{\sin y}$ قابلة للفصل. أوجد الحل العام بصيغة صريحة إذا أمكن.
The differential equation $y'=\frac{\cos x}{\sin y}$ is separable. Find the general solution, in an explicit form if possible.
المعادلة التفاضلية $y'=x\cos^2y$ قابلة للفصل. أوجد الحل العام بصيغة صريحة إذا أمكن.
The differential equation $y'=x\cos^2y$ is separable. Find the general solution, in an explicit form if possible.
تفسير الإجابة
نقسم على cos2y فنحصل على $\sec^2y\,dy=x\,dx$، ومنه $\tan y=\frac{x^2}{2}+c$.
السؤال 232
النقاط: 1
المعادلة التفاضلية $y'=\frac{xy}{1+x^2}$ قابلة للفصل. أوجد الحل العام بصيغة صريحة إذا أمكن.
The differential equation $y'=\frac{xy}{1+x^2}$ is separable. Find the general solution, in an explicit form if possible.
تفسير الإجابة
بالفصل: $\frac{dy}{y}=\frac{x}{1+x^2}dx$، فنحصل على $\ln|y|=\ln\sqrt{x^2+1}+c$.
السؤال 233
النقاط: 1
المعادلة التفاضلية $y'=\frac{2}{xy+y}$ قابلة للفصل. أوجد الحل العام بصيغة صريحة إذا أمكن.
The differential equation $y'=\frac{2}{xy+y}$ is separable. Find the general solution, in an explicit form if possible.
تفسير الإجابة
لأن xy+y=y(x+1)، فإن $y\,dy=\frac{2}{x+1}dx$، وبالتالي $\frac{y^2}{2}=2\ln|x+1|+c$.
السؤال 234
النقاط: 1
أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية $y'=2(y^2+1)$
Find the general solution of the differential equation $y'=2(y^2+1)$
إليك اختبارات إضافية لـ الصف الثاني عشر المتقدم بحسب الفصل الثالث والمادة رياضيات
لا يتم عرض هذا الجزء إلا عند النزول إليه، لتخفيف تحميل الصفحة.
...
🍪
إشعار ملفات تعريف الارتباط
يستخدم هذا الموقع ملفات تعريف الارتباط لتحسين تجربة التصفح وقياس الأداء وعرض المحتوى بشكل أفضل.
باستخدامك للموقع فإنك توافق على استخدامنا لها وفق
سياسة الخصوصية.
