اختبار اختيار من متعدد تفاعلي: اختبار شامل لجميع الأسئلة الموضوعية MCQ للسنوات السابقة
مجموعة من الأسئلة الامتحانية الوزارية لمادة الرياضيات حول موضوع إيجاد الدالة الأصلية (التكامل غير المحدود). تغطي الأسئلة قواعد التكامل الأساسية للدوال المثلثية (الساين، الكوساين، السيكانت، والكوسيكانت) والدالة الأسية. الاختبار مستخرج من نماذج امتحانات وزارة التربية والتعليم للأعوام الدراسية 2021-2022 و 2022-2023.
🏆 انضم إلى التحدي واحصل على ترتيبك
اختبار شهادة تدريبي مؤقت للصف والمادة والفصل نفسه.
اختر إجابة واحدة لكل سؤال. عند الاختيار ستظهر النتيجة فورًا: الأخضر صحيح، والأحمر خطأ، وسيظهر تفسير الإجابة مباشرة إن كان متوفرًا. وبعد آخر سؤال ستظهر الدرجة النهائية تلقائيًا.
أوجد الدالة الأصلية: Find the general antiderivative $\int (2\text{s}in x + \cos x) dx$
تفسير الإجابة
باستخدام قواعد التكامل: $\int \text{s}in x dx = -\cos x$ و $\int \cos x dx = \text{s}in x$. لذا، $\int (2\text{s}in x + \cos x) dx = -2\cos x + \text{s}in x + c$.
أوجد الدالة الأصلية: Find the general antiderivative $\int 2\text{s}ec x \tan x dx$
تفسير الإجابة
بما أن مشتقة sec x هي sec x tan x، فإن تكامل $\int \text{s}ec x \tan x dx = \text{s}ec x$. وبالتالي $\int 2\text{s}ec x \tan x dx = 2\text{s}ec x + c$.
أوجد الدالة الأصلية: Find the general antiderivative $\int 4 \frac{\cos x}{\text{s}in^2 x} dx$
تفسير الإجابة
يمكن تبسيط الدالة إلى $4 \frac{\cos x}{\text{s}in x} \cdot \frac{1}{\text{s}in x} = 4 \cot x \csc x$. تكامل $\csc x \cot x$ هو $-\csc x$. لذا الناتج $-4 \csc x + c$.
أوجد قيمة n إذا كان $\int 3\sin\left(\frac{x}{3n}\right)\,dx=-45\cos\left(\frac{x}{3n}\right)+c$
Find n if $\int 3\sin\left(\frac{x}{3n}\right)\,dx=-45\cos\left(\frac{x}{3n}\right)+c$
تفسير الإجابة
تكامل $3\sin\left(\frac{x}{3n}\right)$ هو $-9n\cos\left(\frac{x}{3n}\right)+c$. بمقارنة المعامل مع -45 نجد -9n=-45، إذن n=5.
أوجد قيمة التكامل: $\int \frac{1}{4+x^2}\,dx$
Evaluate the integral: $\int \frac{1}{4+x^2}\,dx$
تفسير الإجابة
نستخدم القاعدة $\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c$، ومع a=2 يكون الناتج $\frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+c$.
جد الدالة f(x) التي تحقق الشروط المعطاة: $f^{\prime\prime}(x)=12x^2+2e^x,\f^\prime(0)=2,\f(0)=3$
Find the function f(x) satisfying: $f^{\prime\prime}(x)=12x^2+2e^x,\f^\prime(0)=2,\f(0)=3$
تفسير الإجابة
بالتكامل مرتين: $f'(x)=4x^3+2e^x+c_1$. من $f'(0)=2$ نجد c1=0. ثم f(x)=x4+2e^x+c2. ومن f(0)=3 نجد c2=1.
جد الدالة f(x) التي تحقق الشروط المعطاة: $f^{\prime\prime}(x)=20x^3+2e^{2x},\f^\prime(0)=-3,\f(0)=2$
Find the function f(x) satisfying: $f^{\prime\prime}(x)=20x^3+2e^{2x},\f^\prime(0)=-3,\f(0)=2$
تفسير الإجابة
بالتكامل: $f'(x)=5x^4+e^{2x}+c_1$. من $f'(0)=-3$ نحصل على c1=-4. ثم $f(x)=x^5+\frac{1}{2}e^{2x}-4x+c_2$. ومن f(0)=2 نحصل على $c_2=\frac{3}{2}$.
جد الدالة f(t) التي تحقق الشروط المعطاة: $f^{\prime\prime}(t)=2+2t,\f(0)=2,\f(3)=2$
Find the function f(t) satisfying: $f^{\prime\prime}(t)=2+2t,\f(0)=2,\f(3)=2$
تفسير الإجابة
بالتكامل مرتين: $f(t)=t^2+\frac{t^3}{3}+c_1t+c_2$. من f(0)=2 نجد c2=2، ومن f(3)=2 نجد c1=-6.
جد الدالة f(t) التي تحقق الشروط المعطاة: $f^{\prime\prime}(t)=4+6t,\f(1)=3,\f(-1)=-2$
Find the function f(t) satisfying: $f^{\prime\prime}(t)=4+6t,\f(1)=3,\f(-1)=-2$
تفسير الإجابة
بالتكامل مرتين: f(t)=2t2+t3+c1t+c2. من الشرطين f(1)=3 و f(-1)=-2 نحصل على $c_1=\frac{3}{2}$ و $c_2=-\frac{3}{2}$.
إذا كان $\int_2^6 f(x)\,dx=5$، أوجد $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x$ على الفترة [2,6].
If $\int_2^6 f(x)\,dx=5$, find $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x$ on [2,6].
تفسير الإجابة
مجموع ريمان على الفترة [2,6] يساوي التكامل المحدد نفسه، لذلك قيمته 5.
إذا كان $\int_1^4 (f(x)-3)\,dx=2$، أوجد $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x$ على الفترة [1,4].
If $\int_1^4 (f(x)-3)\,dx=2$, find $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x$ on [1,4].
إذا كان $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x=8$ على الفترة [3,7]، أوجد $\int_7^3 2f(x)\,dx$.
If $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x=8$ on [3,7], find $\int_7^3 2f(x)\,dx$.
تفسير الإجابة
القيمة المعطاة تعني أن $\int_3^7 f(x)\,dx=8$. إذن $\int_7^3 2f(x)\,dx=-2\int_3^7 f(x)\,dx=-16$.
أي تكامل محدد يمثله مجموع ريمان التالي: $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}(5c_i+4)\Delta x$ على الفترة [-1,2]؟
Which definite integral is represented by $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}(5c_i+4)\Delta x$ on [-1,2]?
تفسير الإجابة
الدالة داخل مجموع ريمان هي 5x+4، والفترة هي [-1,2]، لذلك التكامل هو $\int_{-1}^{2}(5x+4)\,dx$.
أي تكامل محدد يمثله مجموع ريمان التالي: $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{2i^2}{n^2}$؟
Which definite integral is represented by $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{2i^2}{n^2}$?
تفسير الإجابة
هنا $\Delta x=\frac{1}{n}$ و $x_i=\frac{i}{n}$، والحد داخل المجموع يساوي $2x_i^2\Delta x$، إذن التكامل هو $\int_0^1 2x^2\,dx$.
أي تكامل محدد يمثله مجموع ريمان التالي: $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\sin\left(\frac{\pi i}{n}\right)$؟
Which definite integral is represented by $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\sin\left(\frac{\pi i}{n}\right)$?
تفسير الإجابة
بما أن $\Delta x=\frac{1}{n}$ و $x_i=\frac{i}{n}$، فإن $\sin\left(\frac{\pi i}{n}\right)=\sin(\pi x_i)$، لذلك التكامل هو $\int_0^1\sin(\pi x)\,dx$.
بفرض أن $\int_1^3 f(x)\,dx=3$ و $\int_1^3 g(x)\,dx=-2$، أوجد $\int_1^3 [f(x)+g(x)]\,dx$.
Assume that $\int_1^3 f(x)\,dx=3$ and $\int_1^3 g(x)\,dx=-2$. Find $\int_1^3 [f(x)+g(x)]\,dx$.
تفسير الإجابة
نستخدم خاصية الجمع في التكامل: $\int(f+g)=\int f+\int g=3+(-2)=1$.
بفرض أن $\int_1^3 f(x)\,dx=3$ و $\int_1^3 g(x)\,dx=-2$، أوجد $\int_1^3 [2f(x)-g(x)]\,dx$.
Assume that $\int_1^3 f(x)\,dx=3$ and $\int_1^3 g(x)\,dx=-2$. Find $\int_1^3 [2f(x)-g(x)]\,dx$.
بفرض أن $\int_1^3 f(x)\,dx=3$ و $\int_1^3 g(x)\,dx=-2$، أوجد $\int_1^3 [4g(x)-3f(x)]\,dx$.
Assume that $\int_1^3 f(x)\,dx=3$ and $\int_1^3 g(x)\,dx=-2$. Find $\int_1^3 [4g(x)-3f(x)]\,dx$.
بفرض أن $\int_1^3 3f(x)\,dx=3$ و $\int_3^1 g(x)\,dx=-2$، أوجد $\int_1^3 [f(x)-g(x)]\,dx$.
Assume that $\int_1^3 3f(x)\,dx=3$ and $\int_3^1 g(x)\,dx=-2$. Find $\int_1^3 [f(x)-g(x)]\,dx$.
تفسير الإجابة
من $\int_1^3 3f=3$ نحصل على $\int_1^3 f=1$. ومن $\int_3^1 g=-2$ نحصل على $\int_1^3 g=2$. إذن الناتج 1-2=-1.
بفرض أن $\int_1^3 6f(x)\,dx=12$ و $\int_1^3 g(x)\,dx=-2$، أوجد $\int_1^3 [4g(x)-3f(x)+2x]\,dx$.
Assume that $\int_1^3 6f(x)\,dx=12$ and $\int_1^3 g(x)\,dx=-2$. Find $\int_1^3 [4g(x)-3f(x)+2x]\,dx$.
تفسير الإجابة
من المعطيات $\int f=2$ و $\int g=-2$. كذلك $\int_1^3 2x\,dx=8$. إذن الناتج 4(-2)-3(2)+8=-6.
بفرض أن $\int_1^3 f(x)\,dx=4$ و $\int_1^3 g(x)\,dx=-3$، أوجد $\int_1^3 [2g(x)-5f(x)]\,dx$.
Assume that $\int_1^3 f(x)\,dx=4$ and $\int_1^3 g(x)\,dx=-3$. Find $\int_1^3 [2g(x)-5f(x)]\,dx$.
بفرض أن $\int_2^4 f(x)\,dx=-5$ و $\int_2^4 g(x)\,dx=3$، أوجد $\int_2^4 [4g(x)-3f(x)]\,dx$.
Assume that $\int_2^4 f(x)\,dx=-5$ and $\int_2^4 g(x)\,dx=3$. Find $\int_2^4 [4g(x)-3f(x)]\,dx$.
بفرض أن $\int_1^4 f(x)\,dx=5$ و $\int_1^4 g(x)\,dx=-3$، أوجد $\int_1^4 [2f(x)-g(x)]\,dx$.
Assume that $\int_1^4 f(x)\,dx=5$ and $\int_1^4 g(x)\,dx=-3$. Find $\int_1^4 [2f(x)-g(x)]\,dx$.
اكتب التعبير في صورة تكامل منفرد: $\int_0^5 f(x)\,dx-\int_2^5 f(x)\,dx$.
Write the expression as a single integral: $\int_0^5 f(x)\,dx-\int_2^5 f(x)\,dx$.
تفسير الإجابة
بطرح المساحة من 2 إلى 5 من المساحة من 0 إلى 5 يبقى التكامل من 0 إلى 2.
استخدم القوانين الهندسية لحساب التكامل $\int_{-3}^{0}\sqrt{9-x^2}\,dx$.
Use the geometric formula to evaluate the integral $\int_{-3}^{0}\sqrt{9-x^2}\,dx$.
تفسير الإجابة
المنحنى يمثل ربع دائرة نصف قطرها 3، لذلك المساحة $\frac{1}{4}\pi(3)^2=\frac{9\pi}{4}$.
السؤال 62
62
النقاط: 1
من الرسم: من 0 إلى 2 مثلث قاعدته 2 وارتفاعه 4، ومن 2 إلى 3 مستطيل ارتفاعه 1. أوجد $\int_0^3 f(x)\,dx$.
From the graph: from 0 to 2 there is a triangle with base 2 and height 4, and from 2 to 3 a rectangle with height 1. Find $\int_0^3 f(x)\,dx$.
تفسير الإجابة
مساحة المثلث $\frac{1}{2}\cdot2\cdot4=4$، ومساحة المستطيل $1\cdot1=1$، فيكون المجموع 5.
السؤال 63
63
النقاط: 1
أوجد قيمة c التي تحقق نتيجة نظرية القيمة المتوسطة للتكامل $\int_0^2 3x^2\,dx=8$.
Find a value of c that satisfies the conclusion of the integral Mean Value Theorem for $\int_0^2 3x^2\,dx=8$.
تفسير الإجابة
القيمة المتوسطة هي $\frac{1}{2-0}\cdot8=4$. نحل 3c2=4 فنحصل على $c=\frac{2}{\sqrt{3}}$ داخل الفترة [0,2].
أوجد قيمة c التي تحقق نتيجة نظرية القيمة المتوسطة للتكامل $\int_{-1}^{1}(x^2-2x)\,dx=\frac{2}{3}$.
Find a value of c that satisfies the conclusion of the integral Mean Value Theorem for $\int_{-1}^{1}(x^2-2x)\,dx=\frac{2}{3}$.
تفسير الإجابة
القيمة المتوسطة هي $\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$. نحل $c^2-2c=\frac{1}{3}$، والقيمة الواقعة في [-1,1] هي $\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$.
أوجد $h'(2)$ إذا كانت $h(x)=\int_{-1}^{g(x)} f(t)\,dt$، وبحسب الجدول: g(2)=1 و $g'(2)=3$ و f(1)=-5
Find $h'(2)$ if $h(x)=\int_{-1}^{g(x)} f(t)\,dt$ using the table: g(2)=1, $g'(2)=3$, and f(1)=-5
تفسير الإجابة
باستخدام قاعدة السلسلة: $h'(x)=f(g(x))g'(x)$. إذن $h'(2)=f(g(2))g'(2)=f(1)\cdot3=-5\cdot3=-15$.
السؤال 83
83
النقاط: 1
أوجد معادلة المماس للمعادلة $y=\int_0^x \sin\sqrt{\pi^2+t^2}\,dt$ عند x=0
Find an equation of the tangent line for $y=\int_0^x \sin\sqrt{\pi^2+t^2}\,dt$ at x=0
تفسير الإجابة
عند x=0 تكون y=0. والميل $y'=\sin\sqrt{\pi^2+x^2}$، لذلك $m=\sin\pi=0$، فتكون معادلة المماس y=0.
أوجد معادلة المماس للمعادلة $y=\int_{-1}^x \ln(t^2+2t+2)\,dt$ عند x=-1
Find an equation of the tangent line for $y=\int_{-1}^x \ln(t^2+2t+2)\,dt$ at x=-1
تفسير الإجابة
عند x=-1 يكون y=0، والميل $y'=\ln(x^2+2x+2)$. بالتعويض x=-1 نحصل على $\ln1=0$، إذن y=0.
أوجد معادلة المماس للمعادلة $y=\int_1^{x^2} \text{s}qrt{t^2+1}\,dt$ عند x=1
Find an equation of the tangent line for $y=\int_1^{x^2} \text{s}qrt{t^2+1}\,dt$ at x=1
تفسير الإجابة
عند x=1 يكون y=0. وبقاعدة السلسلة $y'=\text{s}qrt{x^4+1}(2x)$، ومنه عند x=1 الميل 2sqrt2، فالمماس y=2sqrt2(x-1).
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int \frac{\text{s}in x}{\text{s}qrt{\cos x}}\,dx$
Evaluate the indicated integral $\int \frac{\text{s}in x}{\text{s}qrt{\cos x}}\,dx$
تفسير الإجابة
نضع u=cos x فيكون du=-sin xdx، لذلك التكامل $-\int u^{-1/2}du=-2\text{s}qrt{\cos x}+c$.
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int \text{s}in x(\cos x+3)^{\frac{3}{4}}\,dx$
Evaluate the indicated integral $\int \text{s}in x(\cos x+3)^{\frac{3}{4}}\,dx$
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int \frac{e^{\text{s}qrt{x}}}{\text{s}qrt{x}}\,dx$
Evaluate the indicated integral $\int \frac{e^{\text{s}qrt{x}}}{\text{s}qrt{x}}\,dx$
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int \frac{\text{s}in\text{s}qrt{x}}{\text{s}qrt{x}}\,dx$
Evaluate the indicated integral $\int \frac{\text{s}in\text{s}qrt{x}}{\text{s}qrt{x}}\,dx$
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيات y=x و y=2-x و y=0، واختر المتغير المناسب لكتابتها على صورة تكامل واحد
Find the area bounded by the graphs y=x, y=2-x, and y=0. Choose the variable of integration to write the area as a single integral.
تفسير الإجابة
باستخدام شرائح أفقية يكون y من 0 إلى 1، والحد الأيمن x=2-y والأيسر x=y، لذلك العرض 2-2y.
السؤال 114
114
النقاط: 1
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيات y=x و y=2 و y=6-x و y=0، واختر المتغير المناسب لكتابتها على صورة تكامل واحد
Find the area bounded by the graphs y=x, y=2, y=6-x, and y=0. Choose the variable of integration to write the area as a single integral.
تفسير الإجابة
باستخدام شرائح أفقية من y=0 إلى y=2 يكون الحد الأيسر x=y والحد الأيمن x=6-y، فيكون العرض 6-2y.
السؤال 115
115
النقاط: 1
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيات y=x و x=-y و x=1، واختر المتغير المناسب لكتابتها على صورة تكامل واحد
Find the area bounded by the graphs y=x, x=-y, and x=1. Choose the variable of integration to write the area as a single integral.
تفسير الإجابة
باستخدام شرائح رأسية من x=0 إلى x=1 يكون الحد العلوي y=x والسفلي y=-x، لذلك الارتفاع 2x.
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين x=3y و x=2+y2، واختر المتغير المناسب لكتابتها على صورة تكامل واحد
Find the area bounded by the graphs x=3y and x=2+y2. Choose the variable of integration to write the area as a single integral.
تفسير الإجابة
نقاط التقاطع من 3y=2+y2 هي y=1 و y=2. الحد الأيمن x=3y والأيسر x=2+y2، لذلك العرض 3y-2-y2.
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيات y=2x حيث x>0، و y=3-x2، و x=0، واختر المتغير المناسب لكتابتها على صورة تكامل واحد
Find the area bounded by the graphs y=2x for x>0, y=3-x2, and x=0. Choose the variable of integration to write the area as a single integral.
تفسير الإجابة
يتقاطع y=2x مع y=3-x2 عند x=1 في الجهة الموجبة. على [0,1] الحد الأعلى 3-x2 والأسفل 2x، لذلك الفرق 3-x2-2x.
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين x=y2 و x=4، واختر المتغير المناسب لكتابتها على صورة تكامل واحد
Find the area bounded by the graphs x=y2 and x=4. Choose the variable of integration to write the area as a single integral.
تفسير الإجابة
نقاط التقاطع عند $y=\pm2$. الحد الأيمن x=4 والأيسر x=y2، لذلك المساحة $\int_{-2}^{2}(4-y^2)dy$.
السؤال 119
119
النقاط: 1
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين y=2-x و y=x2 بالنسبة إلى y، واختر المتغير المناسب لكتابتها على صورة تكامل واحد
Find the area bounded by the graphs of y=2-x and y=x2 with respect to y. Choose the variable of integration to write the area as a single integral.
تفسير الإجابة
بالنسبة إلى y: من y=x2 نحصل على $x=\sqrt y$، ومن y=2-x نحصل على x=2-y. على $0\le y\le1$ يكون العرض $2-y-\sqrt y$.
السؤال 120
120
النقاط: 1
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيات y=-x و y=sqrt{x} و y=2، واختر المتغير المناسب لكتابتها على صورة تكامل واحد
Find the area bounded by the graphs of y=-x, y=sqrt{x}, and y=2. Choose the variable of integration to write the area as a single integral.
تفسير الإجابة
بالنسبة إلى y: من y=-x نحصل على x=-y، ومن y=sqrt{x} نحصل على x=y2. العرض هو y2-(-y)=y2+y من 0 إلى 2.
احسب حجم المجسم الذي تكوّن من دوران المنطقة المحددة بواسطة y=4-2x, x=0, y=0 حول المحور x
Compute the volume of the solid formed by revolving the region bounded by y=4-2x, x=0, y=0 about the x-axis
تفسير الإجابة
عند الدوران حول المحور x نستخدم طريقة الأقراص: نصف القطر هو r=4-2x وحدود التكامل من 0 إلى 2، لذلك $v=\pi\int_0^2(4-2x)^2dx$.
السؤال 122
122
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=4-2x, x=0, y=0. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم y=-4
Let R be the region bounded by y=4-2x, x=0, y=0. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line y=-4
تفسير الإجابة
حول المستقيم y=-4 يكون نصف القطر الخارجي 8-2x والداخلي 4، وحدود x من 0 إلى 2.
السؤال 123
123
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=4-2x, x=0, y=0. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم y=4
Let R be the region bounded by y=4-2x, x=0, y=0. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line y=4
تفسير الإجابة
حول y=4 يكون نصف القطر الخارجي 4 والداخلي 2x، لذلك الحجم $\pi\int_0^2(4^2-(2x)^2)dx$.
السؤال 124
124
النقاط: 1
احسب حجم المجسم الذي تكوّن من دوران المنطقة المحددة بواسطة y=4-2x, x=0, y=0 حول المحور y
Compute the volume of the solid formed by revolving the region bounded by y=4-2x, x=0, y=0 about the y-axis
تفسير الإجابة
نكتب $x=\frac{4-y}{2}$، وعند الدوران حول المحور y يكون نصف القطر $r=\frac{4-y}{2}$ وحدود y من 0 إلى 4.
السؤال 125
125
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=4-2x, x=0, y=0. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم x=2
Let R be the region bounded by y=4-2x, x=0, y=0. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line x=2
تفسير الإجابة
باستخدام الشرائح الأفقية: نصف القطر الخارجي 2 والداخلي $\frac{y}{2}$، إذن $V=\pi\int_0^4\left(4-\frac{y^2}{4}\right)dy=\frac{32}{3}\pi$.
السؤال 126
126
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=4-2x, x=0, y=0. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم x=-2
Let R be the region bounded by y=4-2x, x=0, y=0. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line x=-2
تفسير الإجابة
حول x=-2 يكون نصف القطر الخارجي $2+\frac{4-y}{2}$ والداخلي 2، وبالتكامل من 0 إلى 4 نحصل على $\frac{64}{3}\pi$.
السؤال 127
127
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=x2 و y=4. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المحور y
Let R be the region bounded by y=x2 and y=4. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the y-axis
تفسير الإجابة
حول المحور y تتكون أقراص نصف قطرها $\sqrt{y}$ من y=0 إلى y=4، لذلك $V=\pi\int_0^4(\sqrt{y})^2dy$.
السؤال 128
128
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=x2 و y=4. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم x=2
Let R be the region bounded by y=x2 and y=4. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line x=2
تفسير الإجابة
حول x=2 يكون نصف القطر الخارجي $2+\sqrt{y}$ والداخلي $2-\sqrt{y}$.
السؤال 129
129
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=x2 و y=4. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم x=-4
Let R be the region bounded by y=x2 and y=4. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line x=-4
تفسير الإجابة
محور الدوران x=-4 يقع يسار المنطقة، لذلك الخارجي $\sqrt{y}+4$ والداخلي $4-\sqrt{y}$.
السؤال 130
130
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=x2 و y=4. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم y=4
Let R be the region bounded by y=x2 and y=4. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line y=4
تفسير الإجابة
حول y=4 يكون نصف القطر 4-x2 وحدود x من -2 إلى 2، فينتج $V=\pi\int_{-2}^{2}(4-x^2)^2dx=\frac{512}{15}\pi$.
السؤال 131
131
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=x2 و y=4. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم y=6
Let R be the region bounded by y=x2 and y=4. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line y=6
تفسير الإجابة
حول y=6 يكون الخارجي 6-x2 والداخلي 2، لذلك $V=\pi\int_{-2}^{2}\left((6-x^2)^2-2^2\right)dx=\frac{384}{5}\pi$.
السؤال 132
132
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=x2 و y=4. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم y=-2
Let R be the region bounded by y=x2 and y=4. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line y=-2
تفسير الإجابة
حول y=-2 يكون الخارجي 6 والداخلي x2+2، وبالتكامل من -2 إلى 2 نحصل على $\frac{1408}{15}\pi$.
السؤال 133
133
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=6-2x, y=0, x=0. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المحور y
Let R be the region bounded by y=6-2x, y=0, and x=0. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the y-axis
تفسير الإجابة
نكتب $x=\frac{6-y}{2}$، وحول المحور y يكون نصف القطر هذا التعبير، وحدود y من 0 إلى 6.
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=x2, y=0, x=1. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المحور x
Let R be the region bounded by y=x2, y=0, and x=1. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the x-axis
تفسير الإجابة
حول المحور x يكون نصف القطر x2، إذن $V=\pi\int_0^1(x^2)^2dx=\frac{1}{5}\pi$.
احسب حجم المجسم الناتج من دوران المنطقة المحددة بواسطة y=9-x2 و y=2 من x=0 إلى $x=\sqrt{7}$ حول المحور y
Compute the volume of the solid formed by revolving the region bounded by y=9-x2 and y=2 from x=0 to $x=\sqrt{7}$ about the y-axis
تفسير الإجابة
من y=9-x2 نحصل على x2=9-y. عند الدوران حول المحور y يكون r2=9-y، لذلك $V=\pi\int_2^9(9-y)dy$.
السؤال 136
136
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=0, y=2-x, x=0. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المحور x
Let R be the region bounded by y=0, y=2-x, and x=0. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the x-axis
تفسير الإجابة
حول المحور x يكون نصف القطر هو 2-x وحدود x من 0 إلى 2.
السؤال 137
137
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=2-x, y=0, x=0. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم y=3
Let R be the region bounded by y=2-x, y=0, and x=0. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line y=3
تفسير الإجابة
حول y=3 يكون الخارجي 3 والداخلي 3-(2-x)، لذلك نطرح مربع نصف القطر الداخلي من الخارجي.
السؤال 138
138
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=x2 و y=4-x2. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المحور x
Let R be the region bounded by y=x2 and y=4-x2. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the x-axis
تفسير الإجابة
نقاط التقاطع عند $x=\pm\sqrt{2}$. حول المحور x نستخدم الحلقات: الخارجي 4-x2 والداخلي x2، فيكون الحجم $\frac{64\sqrt{2}\pi}{3}$.
السؤال 139
139
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة y=x2 و y=4-x2. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم y=4
Let R be the region bounded by y=x2 and y=4-x2. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line y=4
تفسير الإجابة
حول y=4 تكون أنصاف الأقطار 4-x2 و x2 بعد القياس من محور الدوران، فينتج نفس الحجم $\frac{64\sqrt{2}\pi}{3}$.
السؤال 140
140
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة $y=\sqrt{x}$, y=2, x=0. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المحور y
Let R be the region bounded by $y=\sqrt{x}$, y=2, and x=0. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the y-axis
تفسير الإجابة
نكتب x=y2، وحول المحور y يكون نصف القطر y2 من 0 إلى 2، إذن $V=\pi\int_0^2y^4dy=\frac{32\pi}{5}$.
السؤال 141
141
النقاط: 1
لتكن R هي المنطقة المحدودة بواسطة $y=\sqrt{x}$, y=2, x=0. احسب حجم المجسم الناتج من دوران R حول المستقيم x=4
Let R be the region bounded by $y=\sqrt{x}$, y=2, and x=0. Compute the volume of the solid formed by revolving R about the line x=4
تفسير الإجابة
حول x=4 يكون الخارجي 4 والداخلي 4-y2، لذلك $V=\pi\int_0^2\left(4^2-(4-y^2)^2\right)dy=\frac{224\pi}{15}$.
السؤال 142
142
النقاط: 1
احسب حجم المجسم الناتج من دوران المنطقة المحددة بواسطة y=x2 و x=y2 حول المحور y
Compute the volume of the solid formed by revolving the region bounded by y=x2 and x=y2 about the y-axis
تفسير الإجابة
بالنسبة إلى y: الحد الأيمن $x=\sqrt{y}$ والحد الأيسر x=y2. حول المحور y: $V=\pi\int_0^1[(\sqrt{y})^2-(y^2)^2]dy$.
السؤال 143
143
النقاط: 1
احسب حجم المجسم الناتج من دوران المنطقة المحددة بواسطة y=x2 و x=y2 حول المستقيم x=1
Compute the volume of the solid formed by revolving the region bounded by y=x2 and x=y2 about the line x=1
تفسير الإجابة
حول x=1 يكون الخارجي 1-y2 والداخلي $1-\sqrt{y}$، لذلك نستخدم الفرق بين مربعيهما من 0 إلى 1.
السؤال 144
144
النقاط: 1
أوجد طول القوس لجزء من المنحنى y=2x-x2 حيث $0\le x\le2$
Find the arc length of the portion of curve y=2x-x2 for $0\le x\le2$
تفسير الإجابة
نستخدم قانون طول القوس $s=\int_0^2\text{s}qrt{1+(2-2x)^2}\,dx$، وبالحساب نحصل على $\text{s}qrt{5}+\frac{1}{2}\ln(2+\text{s}qrt{5})$.
أوجد مساحة السطح المتولد من تدوير المنحنى y=x3-4x حيث $-2\le x\le0$ حول المحور x
Find the surface area generated by revolving y=x3-4x, $-2\le x\le0$, about the x-axis
تفسير الإجابة
مساحة السطح حول المحور x هي $s=\int 2\pi y\text{s}qrt{1+(y')^2}dx$، و $y'=3x^2-4$.
أوجد مساحة السطح المتولد من تدوير المنحنى y=e^x حيث $0\le x\le1$ حول المحور x
Find the surface area generated by revolving y=e^x, $0\le x\le1$, about the x-axis
تفسير الإجابة
نستخدم $s=\int 2\pi y\text{s}qrt{1+(y')^2}dx$، ومع y=e^x يكون $y'=e^x$.
أوجد مساحة السطح المتولد من تدوير المنحنى y=cos x حيث $0\le x\le\frac{\pi}{2}$ حول المحور x
Find the surface area generated by revolving y=cos x, $0\le x\le\frac{\pi}{2}$, about the x-axis
تفسير الإجابة
هنا y=cos x و $y'=-\text{s}in x$، إذن التكامل الصحيح هو $2\pi\int\cos x\text{s}qrt{1+\text{s}in^2x}dx$.
حدد مساحة السطح المتولد من تدوير المنحنى y=ln x حيث $1\le x\le2$ حول المحور x
Select the surface area generated by revolving y=ln x, $1\le x\le2$, about the x-axis
تفسير الإجابة
نستخدم $2\pi y\sqrt{1+(y')^2}$، حيث y=ln x و $y'=\frac1x$.
حدد التكامل لمساحة السطح الدوراني الذي يتكون بدوران y=sqrt{x} حيث $1\le x\le2$ حول المحور x
Identify the integral for the surface area of revolution for y=sqrt{x}, $1\le x\le2$, revolved about the x-axis
تفسير الإجابة
لأن y=sqrt{x} و $y'=\frac{1}{2\text{s}qrt{x}}$، فإن العامل هو $2\pi\text{s}qrt{x}\text{s}qrt{1+\frac1{4x}}$.
حدد مساحة السطح المتولد من تدوير المنحنى y=sqrt{2x} حيث $1\le x\le2$ حول المحور x
Select the surface area generated by revolving y=sqrt{2x}, $1\le x\le2$, about the x-axis
تفسير الإجابة
إذا y=sqrt{2x} فإن $y'=\frac1{\text{s}qrt{2x}}$، لذلك $(y')^2=\frac1{2x}$، ونضرب في $2\pi y$.
أوجد مساحة السطح المتولد من تدوير المنحنى y=sin x حيث $0\le x\le\pi$ حول المحور x
Find the surface area generated by revolving y=sin x, $0\le x\le\pi$, about the x-axis
تفسير الإجابة
لأن y=sin x و $y'=\cos x$، فالتكامل هو $2\pi\int\text{s}in x\text{s}qrt{1+\cos^2x}dx$.
أوجد مساحة السطح المتولد من تدوير المنحنى y=x2 حيث $0\le x\le1$ حول المحور x
Find the surface area generated by revolving y=x2, $0\le x\le1$, about the x-axis
تفسير الإجابة
نستخدم $2\pi y\text{s}qrt{1+(y')^2}$، حيث y=x2 و $y'=2x$.
حدد التكامل لمساحة السطح الدوراني الذي يتكون بدوران y=x4 حيث $1\le x\le2$ حول المحور x
Find the surface area of the surface generated by revolving y=x4, $1\le x\le2$, about the x-axis
تفسير الإجابة
هنا y=x4 و $y'=4x^3$، إذن $(y')^2=16x^6$، ونستخدم $2\pi y\text{s}qrt{1+(y')^2}$.
يسقط غطاس من ارتفاع $30\ft$ فوق الماء. ما السرعة المتجهة للغطاس لحظة الاصطدام؟
A diver drops from $30\ft$ above the water. What is the diver's velocity at impact?
تفسير الإجابة
عند السقوط من السكون: $v=-\sqrt{2gh}=-\sqrt{2(32)(30)}=-8\sqrt{30}\ft/s$.
السؤال 162
162
النقاط: 1
يسقط غطاس من ارتفاع $120\ft$ فوق الماء. ما السرعة المتجهة للغطاس لحظة الاصطدام؟
A diver drops from $120\ft$ above the water. What is the diver's velocity at impact?
قارن بين سرعات تأثير الأجسام الساقطة من ارتفاعات $30\ft$, $120\ft$, و $3000\ft$. إذا زاد الارتفاع بمعامل h فبأي عامل تزداد سرعة التأثير؟
Compare the impact velocities of objects falling from $30\ft$, $120\ft$, and $3000\ft$. If height is increased by a factor of h, by what factor does the impact velocity increase?
تفسير الإجابة
سرعة التأثير تتناسب مع الجذر التربيعي للارتفاع لأن $v=\sqrt{2gh}$، لذلك العامل هو $\sqrt{h}$.
يسقط غطاس من ارتفاع $36\m$ فوق الماء. ما السرعة المتجهة للغطاس لحظة الاصطدام؟
A diver drops from $36\m$ above the water. What is the diver's velocity at impact?
تفسير الإجابة
باستخدام $g=9.8\m/s^2$: $v=-\sqrt{2(9.8)(36)}\approx-26.6\m/s$.
يطلق جسم بزاوية $\theta=\frac{\pi}{3}$ من الأفقي مع سرعة ابتدائية $98\m/s$. حدد زمن التحليق والمدى الأفقي.
An object is launched at angle $\theta=\frac{\pi}{3}$ from the horizontal with an initial speed of $98\m/s$. Determine the time of flight and the horizontal range.
تفسير الإجابة
زمن التحليق $T=\frac{2v\sin\theta}{g}=10\sqrt3\s$، والمدى $R=\frac{v^2\sin 2\theta}{g}=490\sqrt3\m$.
السؤال 166
166
النقاط: 1
أوجد زمن التحليق والمدى الأفقي لجسم أطلق بزاوية $30^\circ$ مع سرعة ابتدائية $40\m/s$.
Find the time of flight and horizontal range of an object launched at angle $30^\circ$ with initial speed $40\m/s$.
تفسير الإجابة
باستخدام $g=9.8\m/s^2$: $T=\frac{2(40)\sin30^\circ}{9.8}\approx4.08\s$ و $R=40\cos30^\circ\times T\approx141.4\m$.
السؤال 167
167
النقاط: 1
فينوس وليامز سددت ضربة من ارتفاع $10\ft$ بسرعة ابتدائية $176\ft/s$ وبزاوية $6^\circ$ تحت الأفقي. أوجد زمن التحليق.
Venus Williams hits a serve from a height of $10\ft$ at an initial speed of $176\ft/s$ and at an angle of $6^\circ$ below the horizontal. Find the time of flight.
تفسير الإجابة
الحركة الرأسية تحقق $0=10-176\sin6^\circ\,t-16t^2$، وبحلها نحصل تقريباً على $t=0.4\s$.
السؤال 168
168
النقاط: 1
فينوس وليامز سددت ضربة من ارتفاع $10\ft$ بسرعة ابتدائية $176\ft/s$ وبزاوية $6^\circ$ تحت الأفقي. أوجد المدى الأفقي.
Venus Williams hits a serve from a height of $10\ft$ at an initial speed of $176\ft/s$ and at an angle of $6^\circ$ below the horizontal. Find the horizontal range.
أوجد زمن التحليق لجسم أطلق بزاوية $60^\circ$ مع سرعة ابتدائية $30\m/s$.
Find the time of flight of an object launched at angle $60^\circ$ with initial speed $30\m/s$.
تفسير الإجابة
زمن التحليق $T=\frac{2v\sin\theta}{g}=\frac{2(30)\sin60^\circ}{9.8}\approx5.30\s$.
يتم إطلاق جسم من الأرض بزاوية $20^\circ$ بسرعة ابتدائية $48\ft/s$. أوجد زمن التحليق متجاهلاً مقاومة الهواء.
An object is launched from the ground at an angle $20^\circ$ with an initial speed of $48\ft/s$. Find the time of flight, ignoring air resistance.
تفسير الإجابة
باستخدام $g=32\ft/s^2$: $T=\frac{2(48)\sin20^\circ}{32}=3\sin20^\circ\approx1.026\s$.
ما التعويض الذي يمكن استخدامه لإيجاد قيمة التكامل $\int\frac{x^2}{\text{s}qrt{16-x^2}}\,dx$؟
Which substitution can be used to evaluate the integral $\int\frac{x^2}{\text{s}qrt{16-x^2}}\,dx$?
تفسير الإجابة
لأن الجذر من الصورة sqrt{a2-x2}، نستخدم $x=a\text{s}in\theta$، وهنا a=4.
ما التعويض الذي يمكن استخدامه لإيجاد قيمة التكامل $\int\frac{1}{\text{s}qrt{x^2-25}}\,dx$؟
Which substitution can be used to evaluate the integral $\int\frac{1}{\text{s}qrt{x^2-25}}\,dx$?
تفسير الإجابة
لأن الجذر من الصورة sqrt{x2-a2}، نستخدم $x=a\text{s}ec\theta$، وهنا a=5.
حل المعادلة التفاضلية $y'=4y$ والتي تحقق الشرط الابتدائي y(0)=2
Find the solution of the differential equation $y'=4y$ satisfying the initial condition y(0)=2
حل المعادلة التفاضلية $y'=3y$ والتي تحقق الشرط الابتدائي y(0)=-2
Find the solution of the differential equation $y'=3y$ satisfying the initial condition y(0)=-2
حل المعادلة التفاضلية $y'=-3y$ والتي تحقق الشرط الابتدائي y(0)=5
Find the solution of the differential equation $y'=-3y$ satisfying the initial condition y(0)=5
حل المعادلة التفاضلية $y'=-2y$ والتي تحقق الشرط الابتدائي y(0)=-6
Find the solution of the differential equation $y'=-2y$ satisfying the initial condition y(0)=-6
تفسير الإجابة
الحل العام y=Ce-2x، وبالتعويض y(0)=-6 نحصل على C=-6.
حل المعادلة التفاضلية $y'=2y$ والتي تحقق الشرط الابتدائي y(1)=2
Find the solution of the differential equation $y'=2y$ satisfying the initial condition y(1)=2
حل المعادلة التفاضلية $y'=-y$ والتي تحقق الشرط الابتدائي y(1)=2
Find the solution of the differential equation $y'=-y$ satisfying the initial condition y(1)=2
حل المعادلة التفاضلية $y'=2y$ والتي تحقق الشرط الابتدائي y(-1)=2
Find the solution of the differential equation $y'=2y$ satisfying the initial condition y(-1)=2
تفسير الإجابة
الحل y=Ce2x، ومن y(-1)=2 نحصل على C=2e2، إذن y=2e2x+2.
حل المعادلة التفاضلية $y'=-y$ والتي تحقق الشرط الابتدائي y(-1)=2
Find the solution of the differential equation $y'=-y$ satisfying the initial condition y(-1)=2
تفسير الإجابة
الخيار الصحيح في المصدر غير مضبوط، لذلك صُحح الخيار الثاني. الحل y=Ce-x، ومن y(-1)=2 نجد C=2e-1، إذن y=2e-x-1.
حل المعادلة التفاضلية $y'=3y$ والتي تحقق الشرط الابتدائي y(1)=2
Find the solution of the differential equation $y'=3y$ satisfying the initial condition y(1)=2
تفسير الإجابة
الحل y=Ce3x، ومن y(1)=2 نحصل على C=2e-3، إذن y=2e3x-3.
المعادلة التفاضلية $y'=\frac{2x}{y}e^{y-x}$ قابلة للفصل. أوجد الحل العام بصيغة صريحة إذا أمكن.
The differential equation $y'=\frac{2x}{y}e^{y-x}$ is separable. Find the general solution, in an explicit form if possible.
تفسير الإجابة
بالفصل: ye-ydy=2xe-xdx، ثم التكامل يعطي e-y(1+y)=2e-x(1+x)+c.
المعادلة التفاضلية $y'=\frac{\sqrt{1-y^2}}{x\ln x}$ قابلة للفصل. أوجد الحل العام بصيغة صريحة إذا أمكن.
The differential equation $y'=\frac{\sqrt{1-y^2}}{x\ln x}$ is separable. Find the general solution, in an explicit form if possible.
تفسير الإجابة
بالفصل نحصل على $\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=\int\frac{dx}{x\ln x}$، أي sin-1y=ln(ln x)+c.
المعادلة التفاضلية $y'=\frac{\cos x}{\sin y}$ قابلة للفصل. أوجد الحل العام بصيغة صريحة إذا أمكن.
The differential equation $y'=\frac{\cos x}{\sin y}$ is separable. Find the general solution, in an explicit form if possible.
المعادلة التفاضلية $y'=x\cos^2y$ قابلة للفصل. أوجد الحل العام بصيغة صريحة إذا أمكن.
The differential equation $y'=x\cos^2y$ is separable. Find the general solution, in an explicit form if possible.
تفسير الإجابة
نقسم على cos2y فنحصل على $\sec^2y\,dy=x\,dx$، ومنه $\tan y=\frac{x^2}{2}+c$.
المعادلة التفاضلية $y'=\frac{xy}{1+x^2}$ قابلة للفصل. أوجد الحل العام بصيغة صريحة إذا أمكن.
The differential equation $y'=\frac{xy}{1+x^2}$ is separable. Find the general solution, in an explicit form if possible.
تفسير الإجابة
بالفصل: $\frac{dy}{y}=\frac{x}{1+x^2}dx$، فنحصل على $\ln|y|=\ln\sqrt{x^2+1}+c$.
المعادلة التفاضلية $y'=\frac{2}{xy+y}$ قابلة للفصل. أوجد الحل العام بصيغة صريحة إذا أمكن.
The differential equation $y'=\frac{2}{xy+y}$ is separable. Find the general solution, in an explicit form if possible.
تفسير الإجابة
لأن xy+y=y(x+1)، فإن $y\,dy=\frac{2}{x+1}dx$، وبالتالي $\frac{y^2}{2}=2\ln|x+1|+c$.
إليك اختبارات إضافية لـ الصف الثاني عشر المتقدم بحسب الفصل الثالث والمادة رياضيات
لا يتم عرض هذا الجزء إلا عند النزول إليه، لتخفيف تحميل الصفحة.
...
🍪
إشعار ملفات تعريف الارتباط
يستخدم هذا الموقع ملفات تعريف الارتباط لتحسين تجربة التصفح وقياس الأداء وعرض المحتوى بشكل أفضل.
باستخدامك للموقع فإنك توافق على استخدامنا لها وفق
سياسة الخصوصية.
