أسئلة الهيكل الوزاري الجزء الإلكتروني: مشتقات الدوال الأسية والمماس الأفقي – البند 16

يتضمن الملف المرفق أسئلة الهيكل الوزاري الجزء الإلكتروني لمادة الرياضيات للصف الثاني عشر المتقدم، وهو يركز على البند 16 من الهيكل الوزاري. يتناول الملف موضوع مشتقات الدوال الأسية وكيفية إيجاد المماس الأفقي لمنحنيات هذه الدوال، ويقدم ملخصًا للقوانين الأساسية مع أمثلة محلولة توضح خطوات الحل.

ملخص قوانين مشتقات الدوال الأسية والمماس

يقدم الملف في البداية ملخصًا شاملًا للقوانين المتعلقة بمشتقات الدوال الأسية والمفاهيم المرتبطة بها، وذلك ضمن الدرس 3-7 من منهج مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية. يستند هذا الملخص إلى محتوى الكتاب المدرسي باللغتين الإنجليزية (ص 194) والعربية (ص 196)، بالإضافة إلى أسئلة الكتاب من تمارين 29 و 30، ويتضمن أيضًا أسئلة من إعداد المعلم وأسئلة وزارية سابقة.

مشتقة الدالة الأسية الطبيعية: يوضح الملف قاعدتي اشتقاق الدالة الأسية الطبيعية، حيث أن مشتقة e^x هي e^x، ومشتقة e^u هي e^u مضروبة في مشتقة u (u'). ويؤكد أن الدالة الأسية معرفة وقابلة للاشتقاق لجميع الأعداد الحقيقية.

مشتقة الدالة الأسية العامة: يشرح الملف قواعد اشتقاق الدالة الأسية العامة a^x، حيث تكون مشتقتها a^x مضروبة في ln a. وفي حالة الدالة a^u، تكون مشتقتها a^u مضروبة في ln a مضروبة في مشتقة u (u')، مع التأكيد على أن الأساس a يجب أن يكون أكبر من الصفر.

قاعدة الضرب: يتضمن الملخص قاعدة الضرب لاشتقاق حاصل ضرب دالتين (f g)'، والتي تنص على أن المشتقة تساوي f'g + fg'.

المماس الأفقي: يوضح الملف أن شرط وجود مماس أفقي لمنحنى دالة هو أن تكون مشتقة الدالة (f'(x)) تساوي صفرًا. ويشير إلى أن الدالة الأسية موجبة دائمًا ولا تساوي صفرًا، وهو ما يتعلق بقيمة الدالة نفسها وليس مشتقتها.

معادلة المماس: يقدم الملف صيغة معادلة المماس وهي y = f(a) + f'(a) (x - a)، حيث يمثل f'(a) ميل المماس عند نقطة التماس.

أمثلة محلولة على إيجاد المماس الأفقي

يقدم الملف ثلاثة أمثلة محلولة تفصيليًا لتطبيق القوانين المذكورة أعلاه في إيجاد القيم التي يكون عندها المماس لمنحنى دالة معينة أفقيًا. كل مثال يتضمن الدالة المعطاة، خطوات إيجاد المشتقة، وتحديد قيم x التي تجعل المشتقة صفرًا.

المثال الأول: يطلب إيجاد جميع القيم التي يكون عندها المماس لمنحنى الدالة f(x) = xe^-2x أفقيًا. يبدأ الحل بإيجاد مشتقة الدالة باستخدام قاعدة الضرب، حيث f'(x) = e^-2x(1 - 2x). ثم يتم مساواة المشتقة بالصفر، وبما أن e^-2x لا تساوي صفرًا أبدًا، فإن 1 - 2x = 0، مما يعطي x = 1/2. يتم تقديم هذا الحل ضمن خيارات متعددة.

المثال الثاني: يتناول دالة مشابهة وهي f(x) = xe^-3x. بنفس الطريقة، يتم إيجاد المشتقة f'(x) = e^-3x(1 - 3x). بمساواة المشتقة بالصفر، وبما أن e^-3x لا تساوي صفرًا، فإن 1 - 3x = 0، مما يؤدي إلى x = 1/3. هذا الحل أيضًا مقدم ضمن خيارات متعددة.

المثال الثالث: يطلب إيجاد القيم التي يكون عندها المماس لمنحنى الدالة f(x) = x^2e^-2x أفقيًا. يتم اشتقاق الدالة باستخدام قاعدة الضرب، لتكون f'(x) = 2xe^-2x - 2x^2e^-2x. بعد أخذ العامل المشترك 2xe^-2x، تصبح المشتقة f'(x) = 2xe^-2x(1 - x). بمساواة المشتقة بالصفر، وبما أن e^-2x لا تساوي صفرًا، فإن 2x(1 - x) = 0، مما يعطي حلين: x = 0 أو x = 1. هذا الحل أيضًا مقدم ضمن خيارات متعددة.

ملاحظة: قد يتضمن الملف المرفق محتويات تعليمية وتدريبات وموضوعات إضافية متنوعة لم تُذكر في هذا المقال.