أسئلة الهيكل الوزاري – الجزء الإلكتروني (البنود 6-10)

يتضمن الملف المرفق أسئلة الهيكل الوزاري لمادة الرياضيات للصف الثاني عشر المتقدم، وهو الجزء الإلكتروني الذي يغطي البنود من 6 إلى 10، ويُعد هذا الملف هو الثاني من أصل أربعة ملفات ضمن هذه السلسلة. تم إعداد هذا المحتوى التعليمي بواسطة الأستاذ محمد طه، ويستهدف طلاب المسار المتقدم في دولة الإمارات العربية المتحدة للعام الدراسي 2026/2027، ضمن منهج الفصل الدراسي الأول. يركز الملف بشكل خاص على موضوع الاتصال في الدوال، مستفيدًا من مراجع مثل الكتاب المدرسي باللغتين الإنجليزية والعربية.

ملخص قوانين الاتصال (البند 6)

يقدم الملف ملخصًا شاملاً لقوانين وخصائص الاتصال في الدوال، وهو جزء أساسي من الدرس 4-2 المتعلق بالاتصال ونتائجه. يشمل الملخص عدة مفاهيم رئيسية:

يُعرف الاتصال عند نقطة بأن الدالة f(x) تكون متصلة عند x=a إذا كانت نهاية الدالة f(x) عندما تقترب x من a تساوي قيمة الدالة عند النقطة f(a). هذا التعريف هو الأساس لفهم سلوك الدوال عند نقاط محددة.

يوضح الملخص خصائص مهمة للدوال المتصلة، فإذا كانت الدالتان f و g متصلتين عند نقطة معينة c، فإن العمليات الحسابية عليهما تحافظ على الاتصال. هذا يعني أن مجموع الدالتين (f ± g)، وحاصل ضربهما (f * g)، وحاصل قسمتهما (f / g) – بشرط ألا يكون مقام الدالة g(c) يساوي صفرًا – تكون جميعها دوال متصلة عند النقطة c.

يتناول الملف مفهوم اتصال الدالة المركبة، حيث يوضح أنه إذا كانت الدالة g متصلة عند النقطة a، وكانت الدالة f متصلة عند قيمة g(a)، فإن الدالة المركبة f(g(x)) تكون متصلة عند النقطة a. ويُقدم القانون الرياضي الذي يربط بين نهاية الدالة المركبة وقيم الدوال الداخلية والخارجية.

يشرح الملخص كيفية إزالة عدم الاتصال لدالة عند نقطة معينة. إذا كانت الدالة f(x) غير متصلة عند x=a ولكن نهايتها موجودة عند هذه النقطة، فيمكن إعادة تعريف الدالة g(x) لتصبح متصلة. يتم ذلك بجعل g(x) تساوي f(x) عندما x لا تساوي a، وتساوي قيمة النهاية عندما x تساوي a.

يسرد الملف أمثلة على دوال متصلة على جميع الأعداد الحقيقية، أي على الفترة (-∞, ∞). تشمل هذه الدوال: الدوال كثيرة الحدود (p(x))، ودوال الجيب (sin x)، ودوال جيب التمام (cos x)، والدوال الأسية (e^x)، ودوال الظل العكسي (tan^-1 x).

يُقدم الملف أيضًا أمثلة لدوال تكون متصلة على مجالها الخاص. من هذه الدوال: الدوال الكسرية (p(x)/q(x)) بشرط أن يكون المقام q(x) لا يساوي صفرًا، ودوال الجذر التربيعي (√x) حيث x أكبر من أو تساوي صفرًا، ودوال اللوغاريتم الطبيعي (ln x) حيث x أكبر من صفر، ودوال الجيب العكسي (sin^-1 x)، ودوال الظل (tan x).

أسئلة تطبيقية مع الحلول

يحتوي الملف على مجموعة من الأسئلة التطبيقية المحلولة التي تساعد الطلاب على فهم وتطبيق مفاهيم الاتصال:

يتناول هذا السؤال دالة معرفة على شكل قطع، ويطلب تحديد قيمة الثابت 'a' التي تجعل الدالة متصلة عند نقطة معينة (x=1). الدالة المعطاة هي g(x) = { (x^2 + 2x - 3) / (x - 1) إذا كانت x ≠ 1، و a إذا كانت x = 1 }. الحل يتضمن إيجاد نهاية الجزء الكسري من الدالة عندما تقترب x من 1، حيث يتم تحليل البسط واختصار العامل المشترك (x-1)، لتصبح النهاية تساوي 4. وبناءً على شرط الاتصال، يجب أن تكون قيمة a مساوية لهذه النهاية، أي a=4. هذا السؤال مصنف ضمن المستوى الأساسي.

يطرح هذا السؤال كيفية استخدام خصائص الاتصال لحساب قيمة نهاية دالة جذر تربيعي. المطلوب هو إيجاد نهاية الدالة √(x^2 + 5) عندما تقترب x من 2. يوضح الحل أن الدالة الداخلية (x^2 + 5) هي دالة متصلة، وقيمتها عند x=2 موجبة (9)، مما يسمح بتطبيق خاصية اتصال الدالة المركبة. وبالتالي، يمكن حساب النهاية بالتعويض المباشر، لتكون النتيجة √9 = 3. هذا السؤال مصنف ضمن المستوى الأساسي.

يتعامل هذا السؤال مع دالة غير متصلة عند نقطة معينة (x=0) ويطلب تحديد القيمة التي يجب أن تُعرف بها الدالة عند هذه النقطة لتصبح متصلة. الدالة المعطاة هي f(x) = sin(3x) / x. الحل يستفيد من النهاية الخاصة المعروفة للدالة sin(kx)/x عندما تقترب x من الصفر، والتي تساوي k. بتطبيق هذه القاعدة، تكون نهاية الدالة sin(3x)/x عندما تقترب x من الصفر هي 3. لجعل الدالة متصلة، يجب تعريف f(0) بالقيمة 3. هذا السؤال مصنف ضمن المستوى المتوسط.

ملاحظة: قد يتضمن الملف المرفق محتويات تعليمية وتدريبات وموضوعات إضافية متنوعة لم تُذكر في هذا المقال.