ما المقصود بالحركة الدائرية الرأسية؟
الحركة الدائرية الرأسية هي حركة جسم في دائرة تقع في مستوى رأسي، مثل حجر مربوط بخيط ويدور في دائرة رأسية، أو عربة في لعبة الأفعوانية عند مرورها في حلقة رأسية. في هذه الحركة لا يكفي أن نقول إن الجسم يتحرك في دائرة؛ لأن الوزن يغيّر تأثيره حسب موضع الجسم في الدائرة.
القوة المركزية المطلوبة دائمًا تتجه نحو مركز الدائرة، لكن اتجاه الوزن ثابت إلى أسفل. لذلك تتغير معادلة القوى بين أعلى المسار وأسفله وجانبيه.
القوى المؤثرة في جسم مربوط بخيط
إذا كان الجسم مربوطًا بخيط ويدور رأسيًا، فهناك قوتان مهمتان غالبًا:
- الوزن \( mg \): يتجه دائمًا إلى أسفل.
- قوة الشد \( T \): تتجه دائمًا على امتداد الخيط نحو مركز الدائرة.
القوة المحصلة في اتجاه المركز يجب أن تساوي:
\( F_c = \frac{mv^2}{r} \)
حيث إن \( m \) كتلة الجسم، و\( v \) سرعته، و\( r \) نصف قطر الدائرة.
عند أسفل المسار
عند أسفل الدائرة يكون مركز الدائرة أعلى الجسم. لذلك يكون اتجاه القوة المركزية إلى أعلى. الشد يتجه إلى أعلى نحو المركز، أما الوزن فيتجه إلى أسفل بعيدًا عن المركز.
إذن:
\( T - mg = \frac{mv^2}{r} \)
ومنها:
\( T = \frac{mv^2}{r} + mg \)
لذلك يكون الشد عند أسفل المسار كبيرًا؛ لأنه يجب أن يغلب الوزن ويوفر القوة المركزية أيضًا.
مثال عند أسفل المسار
جسم كتلته 0.5 kg يتحرك في دائرة نصف قطرها 1 m بسرعة 4 m/s عند أسفل المسار. احسب الشد، مع اعتبار \( g = 9.8 \; m/s^2 \).
\( T = \frac{mv^2}{r} + mg \)
\( T = \frac{0.5 \times 4^2}{1} + 0.5 \times 9.8 \)
\( T = 8 + 4.9 = 12.9 \; N \)
إذن الشد يساوي \( 12.9 \; N \).
عند أعلى المسار
عند أعلى الدائرة يكون مركز الدائرة أسفل الجسم. الشد يتجه إلى أسفل نحو المركز، والوزن أيضًا يتجه إلى أسفل. أي إن القوتين تساعدان على توفير القوة المركزية.
لذلك:
\( T + mg = \frac{mv^2}{r} \)
ومنها:
\( T = \frac{mv^2}{r} - mg \)
هنا قد يصبح الشد صغيرًا جدًا، وقد يصل إلى صفر عند الحد الأدنى للسرعة اللازمة لاستمرار الحركة الدائرية.
السرعة الدنيا عند أعلى المسار
إذا كان الخيط على وشك أن يرتخي عند أعلى المسار، يصبح الشد \( T = 0 \). عندئذ يكون الوزن وحده هو القوة المركزية:
\( mg = \frac{mv^2}{r} \)
نختصر الكتلة:
\( g = \frac{v^2}{r} \)
إذن:
\( v = \sqrt{gr} \)
هذه هي السرعة الدنيا عند أعلى المسار حتى لا يرتخي الخيط. إذا كانت السرعة أقل من ذلك، يفشل الجسم في إكمال الحركة الدائرية المنتظمة.
مثال على السرعة الدنيا
جسم يدور في دائرة رأسية نصف قطرها 0.8 m. احسب السرعة الدنيا عند أعلى المسار.
\( v = \sqrt{gr} = \sqrt{9.8 \times 0.8} \)
\( v = \sqrt{7.84} = 2.8 \; m/s \)
إذن يجب أن تكون السرعة عند أعلى المسار حوالي \( 2.8 \; m/s \) على الأقل.
الحركة في الأفعوانية
في ألعاب الأفعوانية، يشعر الراكب أحيانًا بأنه أخف عند أعلى الحلقة وأثقل عند أسفلها. السبب أن القوة العمودية من المقعد تتغير مثلما يتغير الشد في الخيط. عند أسفل الحلقة تكون القوة المطلوبة نحو المركز كبيرة وفوق الوزن، فيشعر الراكب بضغط أكبر. وعند أعلى الحلقة يساعد الوزن في توفير القوة المركزية، فتقل القوة العمودية وقد يشعر الراكب بالخفة.
أخطاء شائعة
- استخدام معادلة أعلى المسار في أسفله أو العكس.
- اعتبار الشد دائمًا مساويًا للوزن.
- نسيان أن اتجاه المركز يتغير حسب موضع الجسم.
- الخلط بين القوة المركزية وقوة واحدة بعينها؛ فقد تكون محصلة الشد والوزن.
- إهمال شرط السرعة الدنيا عند أعلى المسار.
خلاصة
في الحركة الدائرية الرأسية يجب تحليل القوى في اتجاه المركز عند كل موضع. عند أسفل المسار: \( T - mg = \frac{mv^2}{r} \). عند أعلى المسار: \( T + mg = \frac{mv^2}{r} \). والسرعة الدنيا عند أعلى المسار تساوي \( \sqrt{gr} \) عندما يكون الشد على وشك أن يصبح صفرًا.
