قوانين اللوغاريتمات وتغيير الأساس
الفكرة
اللوغاريتم يجيب عن سؤال: إلى أي قوة نرفع الأساس لنحصل على عدد معين؟ لذلك فإن \(\log_b a=c\) تعني b^c=a. قوانين اللوغاريتمات تسمح بتبسيط العبارات أو توسيعها أو حل المعادلات.
القوانين الأساسية
من أهم القوانين: \(\log_b(MN)=\log_b M+\log_b N\)، و\(\log_b(\frac{M}{N})=\log_b M-\log_b N\)، و\(\log_b(M^r)=r\log_b M\). ويشترط دائمًا أن تكون المدخلات موجبة وأن يكون الأساس موجبًا ولا يساوي 1.
قانون تغيير الأساس
إذا أردت حساب لوغاريتم بأساس غير موجود في الآلة الحاسبة، نستخدم: \(\log_b a=\frac{\log a}{\log b}\) أو \(\frac{\ln a}{\ln b}\). هذا القانون مهم في المسائل التي تطلب قيمة تقريبية.
مثال محلول 1
بسّط: \(\log_2 8 + \log_2 4\). نستخدم قانون الضرب: \(\log_2(8\cdot4)=\log_2 32=5\). ويمكن أيضًا حساب كل جزء: 3+2=5.
مثال محلول 2
وسّع: \(\log_3(\frac{x^2y}{z})\). باستخدام القوانين: \(2\log_3 x+\log_3 y-\log_3 z\).
مثال محلول 3
احسب تقريبًا \(\log_5 20\). نكتب \(\log_5 20=\frac{\log 20}{\log 5}\). يمكن استخدام الآلة الحاسبة بعد ذلك للحصول على قيمة تقريبية.
أخطاء شائعة
لا يجوز كتابة log(M+N)=log M+log N؛ هذا خطأ. القانون يعمل مع الضرب لا الجمع. كذلك يجب فحص المجال قبل الحل؛ داخل اللوغاريتم يجب أن يكون أكبر من صفر.
خلاصة سريعة
هذا الدرس يساعد الطالب على فهم فكرة السؤال قبل اختيار القانون. أفضل طريقة للمذاكرة هي حل مثالين على الأقل بعد قراءة القاعدة، ثم مقارنة الخطوات لا الناتج فقط.