مشتقات الدوال المثلثية والعكسية المثلثية
الفكرة
الدوال المثلثية تظهر كثيرًا في التفاضل، خصوصًا في أسئلة الميل والحركة والدوال الدورية. لذلك يجب حفظ مشتقاتها الأساسية وفهم كيفية دمجها مع قاعدة السلسلة.
مشتقات أساسية
من أهم القواعد: \(\frac{d}{dx}\sin x=\cos x\)، و\(\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x\)، و\(\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2 x\).
مشتقات عكسية مهمة
من القواعد الشائعة: \(\frac{d}{dx}\sin^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)، و\(\frac{d}{dx}\tan^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}\). هذه الصيغ تحتاج انتباهًا للمجال والداخل إذا كانت الدالة مركبة.
مثال محلول 1
أوجد مشتقة y=3sin x-2cos x. نشتق كل حد: \(y'=3\cos x+2\sin x\). لاحظ أن مشتقة -2cos x تصبح 2sin x.
مثال محلول 2
أوجد مشتقة y=tan-1(2x). نستخدم قاعدة السلسلة: \(y'=\frac{1}{1+(2x)^2}\cdot2=\frac{2}{1+4x^2}\).
أخطاء شائعة
لا تنس الإشارة السالبة في مشتقة جيب التمام. كذلك لا تعامل sin-1x كأنها \(\frac{1}{\sin x}\)؛ فهي دالة عكسية وليست مقلوبًا.
خلاصة سريعة
هذا المقال يركز على الفهم العملي للمهارة، مع ربط القاعدة بطريقة الحل في أسئلة الاختيار من متعدد والأسئلة المقالية القصيرة. الأفضل أن يقرأ الطالب المثال ثم يعيد حله دون النظر إلى الخطوات، لأن القراءة وحدها في الرياضيات تشبه مشاهدة شخص يتمرن نيابة عنك.