اختبار اختيار من متعدد تفاعلي: الوحدة الثانية النهايات والاتصال

بتقسيم الفترة $[0, \frac{\pi}{2}]$ إلى قطعتين متساويتين، تكون نقاط التقسيم هي $x_0=0, x_1=\frac{\pi}{4}, x_2=\frac{\pi}{2}$. النقاط على المنحنى هي (0,0) و $(\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ و $(\frac{\pi}{2}, 1)$. باستخدام قانون المسافة $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ نجد أن طول القطعة الأولى $\approx 1.057$ وطول الثانية $\approx 0.838$ ومجموعهما هو 1.895.

نستخدم النقاط (-2,5),(-1,2),(0,1),(1,2),(2,5). مجموع المسافات بين كل نقطتين متتاليتين هو $2\sqrt{10}+2\sqrt2\approx9.153$.

الميل اللحظي هو $f^{\prime}(x)=3x^2$، وبالتالي $f^{\prime}(2)=3(2)^2=12$.

عند x=1 تقترب الدالة من 2 من اليسار ومن -1 من اليمين، لذا النهاية الثنائية غير موجودة ولا تساوي -1.

قيم الدالة من اليسار تقترب من 1، ومن اليمين تقترب من 2؛ لذلك النهاية الثنائية غير موجودة.

عند الاقتراب من الصفر من اليسار يقترب الفرع الأيسر من النقطة ذات الإحداثي الرأسي -1.

عند الاقتراب من الصفر من اليمين يقترب الفرع الأيمن من الدائرة المفتوحة عند y=-2.

النهاية اليسرى -1 واليمنى -2، ولأنهما غير متساويتين فالنهاية الثنائية غير موجودة.

من اليسار يقترب الرسم من الدائرة المفتوحة عند (2,2)، لذا النهاية تساوي 2.

من اليمين يقترب الرسم من الدائرة المفتوحة عند (2,0)، لذا النهاية تساوي 0.

النهاية اليسرى 2 واليمنى 0، لذلك النهاية الثنائية غير موجودة، بصرف النظر عن قيمة f(2).

الفرع المرسوم متصل قرب x=4 ويمر عند القيمة y=3، لذا النهاية تساوي 3.

النقطة الموجودة على المنحنى عند x=4 لها الإحداثي الرأسي 3، ومن ثم f(4)=3.

قيمة الدالة تحددها النقطة المصمتة عند x=2، وهي تقع عند y=1.

من الرسم $\lim_{x\to-2}f(x)=1$ و$\lim_{x\to-2}g(x)=-1$، لذا النهاية 1+5(-1)=-4.

تقترب f(x) من 2، بينما تقترب g(x) من -2 يسارًا ومن -1 يمينًا؛ لذلك نهايتا حاصل الضرب مختلفتان.

من اليسار تقترب $|g(x)|$ من 2، ومن اليمين تقترب من 1؛ لذلك النهاية الثنائية غير موجودة.

عند الاقتراب من 6 من اليسار يهبط المنحنى بلا حد، لذا النهاية $-\infty$.

عند الاقتراب من 6 من اليمين يرتفع المنحنى بلا حد، لذا النهاية $+\infty$.

النهاية اليسرى $-\infty$ واليمنى $+\infty$، لذلك النهاية الثنائية غير موجودة.

يرتفع الفرع الأيسر بلا حد عند الاقتراب من -3، لذا النهاية $+\infty$.

يرتفع الفرع الأيمن بلا حد عند الاقتراب من -3، لذا النهاية $+\infty$.

كلتا النهايتين الجانبيتين تساويان $+\infty$، لذا النهاية $+\infty$.

عند x=a يقترب المنحنى من 4 من الجهتين. أما عند x=b فالنهايتان الجانبيتان 4 و5، لذلك النهاية عند b غير موجودة.

عند x=-3 توجد دائرة مفتوحة بلا نقطة مصمتة، بينما يقترب الفرع نفسه من قيمة واحدة من الجهتين.

يلتقي الرسم بمحور x اتصالًا عند x=-2 وعند x=2، لذا النهاية تساوي صفرًا عند القيمتين.

الفرع الواقع يمين x=4 يبدأ بدائرة مفتوحة عند y=3، ولذلك النهاية اليمنى عند c=4 تساوي 3.

نحلل: x³-1=(x-1)(x²+x+1) وx²+2x-3=(x-1)(x+3). بعد الاختصار تكون النهاية 3/4=0.75.

من اليمين يساوي التعبير الأول صفرًا، ومن اليسار يساوي 4/x ويتجه إلى $-\infty$؛ لذلك النهاية غير موجودة. أما النهايات الأخرى فتساوي 5/6 و4 و1.

لأن $x\cot x=\frac{x\cos x}{\sin x}=\cos x\cdot\frac{x}{\sin x}$، فالنهاية تساوي $1\cdot1=1$.

نكتبها $e^x\cdot\frac{x}{\tan x}$. عندما $x\to0$ يقترب العاملان من 1، فتكون النهاية 1.

لأن $b-x=-(x-b)=-(\sqrt{x}-\sqrt b)(\sqrt{x}+\sqrt b)$، تصبح النهاية $-(\sqrt{x}+\sqrt b)\to-2\sqrt b$.

النهاية اليسرى k/5. ولأن x>2 قرب النهاية، فإن $|x+1|-3=x-2$، فتكون النهاية اليمنى $1/(x+2)\to1/4$. إذن k/5=1/4 ومنه k=5/4.

النهاية اليسرى تساوي 6k². ومن يمين 2 تكون دالة الجزء الصحيح [x]=2، فتساوي النهاية اليمنى 24. إذن 6k²=24 ومنه $k=\pm2$.

حتى تزول صورة القسمة على صفر يجب أن يكون البسط صفرًا عند x=2: 4-2k-6=0، ومنه k=-1.

عندما $x\to0$ تصبح 5/x² غير محدودة، فتتذبذب قيمة جيب التمام بين -1 و1 دون الاقتراب من قيمة واحدة. لذلك النهاية غير موجودة؛ وطلب المصدر استعمال نظرية الحصر هنا لا ينتج نهاية.

لأن $0\le|g(x)+4|<2(3-x)^2$ والطرف الأيمن يقترب من صفر، فإن $g(x)+4\to0$، ومنه $g(x)\to-4$.

يشترط اللوغاريتم x²-1>0، ويشترط المقام الجذري x²-2x>0. تقاطع الشرطين هو x<-1 أو x>2.

يجب أن يكون sin x>0، وهذا يحدث على الفترات $(2n\pi,(2n+1)\pi)$ حيث $n\in\mathbb Z$.

النهايتان الجانبيتان تساويان 4، لكن قيمة الدالة f(2)=3، لذلك الدالة غير متصلة عند 2 بانقطاع قابل للإزالة.

من اليمين $\frac{5x^2-8x}{\sin2x}\to-4$، ومن اليسار $4x/|x|=-4$، كما أن f(0)=-4؛ إذن الدالة متصلة.

الاتصال عند 0 يعطي 2a=3، لذا a=3/2. وعند 3 نحصل على 2e^3b+1=9، أي e^3b=4 ومنه $b=\ln4/3$.

النهاية اليسرى $2\lim_{x\to0}\sin x/x=2$، والنهاية اليمنى $b\cos0=b$. للاتصال يلزم a=2 وb=2.

عند x=1: a+b=3. وعند x=2: 6+a-b=6، أي a=b. بحل المعادلتين نحصل على a=b=3/2.

قرب x=4 يكون $|x-5|-1=4-x$، والبسط x(4-x). بعد الاختصار تصبح الدالة x، لذا النهاية عند 4 تساوي 4.

الدالة $x/\sqrt{4-x^2}$ معرفة فقط بين -2 و2، ويصبح مقامها صفرًا عند الطرفين، فتملك خطي تقارب رأسيين ولا تملك سلوكًا عند $x\to\pm\infty$ يعطي خطًا أفقيًا.

عندما $x\to\infty$ فإن $\tan^{-1}x\to\pi/2$، وعندما $x\to-\infty$ فإنها تقترب من $-\pi/2$. إذن الخطان $y=2\pi+1$ و$y=-2\pi+1$.

المقام يساوي صفرًا عند $x=\pm5$ دون اختصار. وبالقسمة المطولة $\frac{x^3}{25-x^2}=-x+\frac{25x}{25-x^2}$، لذا الخط المائل y=-x.

الأس $\frac{x+1}{x^2+1}$ يقترب من صفر، ولذلك تقترب الدالة الأسية من e⁰=1.

عندما $x\to0^+$ فإن $\ln x\to-\infty$، ومن ثم $\tan^{-1}(\ln x)\to-\pi/2$. لا يمكن الاقتراب من اليسار لأن اللوغاريتم غير معرف هناك.

عندما $x\to-\infty$ يكون $-x=|x|$، فتساوي النهاية $1/\sqrt a$. بحل $1/\sqrt a=2$ نحصل على a=1/4.

المقام يساوي صفرًا عند $x=-\sqrt[3]{2}$. وبالقسمة $\frac{x^4}{x^3+2}=x-\frac{2x}{x^3+2}$، لذا خط التقارب المائل y=x.

بالمرافق تصبح العبارة $\frac{-2x+1}{\sqrt{4x^2-2x+1}+2x}$. بقسمة البسط والمقام على x تكون النهاية -2/(2+2)=-1/2.

وجود الخطين الرأسيين يقتضي q(x)=k(x²-9). ونسبة معاملي x² عند اللانهاية هي 1/k=2، لذلك k=1/2 وq(x)=(x²-9)/2.