جد الدالة f(x) التي تحقق الشروط المعطاة: $f''(x) = 12x^2 + 2e^x$, $f'(0) = 2$, f(0) = 3
أ
f(x) = x4 + e^x + 2
ب
f(x) = 4x3 + 2e^x + 3
ج
f(x) = x4 + 2e^x + 1
د
f(x) = x4 + 2e^x + 3
تفسير الإجابة
بإجراء التكامل الأول: $f'(x) = 4x^3 + 2e^x + C$. بما أن $f'(0) = 2$ فإن C = 0 . بإجراء التكامل الثاني: f(x) = x4 + 2e^x + C . بما أن f(0) = 3 فإن C = 1 .
جد الدالة f(x) التي تحقق الشروط المعطاة: $f''(x) = 20x^3 + 2e^{2x}$, $f'(0) = -3$, f(0) = 2
أ
$f(x) = x^5 + \frac{1}{2}e^{2x} - 3x + \frac{3}{2}$
ب
$f(x) = 5x^4 + \frac{1}{2}e^{2x} - 4x + \frac{3}{2}$
ج
f(x) = x5 + e2x - 4x + 1
د
$f(x) = x^5 + \frac{1}{2}e^{2x} - 4x + \frac{3}{2}$
تفسير الإجابة
المشتقة الأولى: $f'(x) = 5x^4 + e^{2x} + C$. من $f'(0)=-3$ نجد C=-4 . الدالة: $f(x) = x^5 + \frac{1}{2}e^{2x} - 4x + C$. من f(0)=2 نجد C=3/2 .
جد الدالة f(t) التي تحقق الشروط المعطاة: $f''(t) = 4 + 6t$, f(1) = 3 , f(-1) = -2
أ
$f(t) = 2t^2 + t^3 + \frac{3}{2}t - \frac{3}{2}$
ب
$f(t) = 4t^2 + t^3 + \frac{3}{2}t - \frac{3}{2}$
ج
$f(t) = 2t^2 + t^3 - \frac{5}{2}t + \frac{5}{2}$
د
$f(t) = 2t^2 + 3t^3 + \frac{5}{2}t - \frac{5}{2}$
تفسير الإجابة
بعد التكامل مرتين واستخدام الشروط الحدودية f(1) و f(-1) لحل الثوابت، نحصل على الدالة المذكورة.
استخدم قواعد المجموع لحساب المجموع: $\sum_{i=1}^{70} (3i - 1)$
أ
7215
ب
7455
ج
7525
د
7385
تفسير الإجابة
بتطبيق قوانين المجموع: $3 \frac{70(71)}{2} - 70 = 7455 - 70 = 7385$.
استخدم قواعد المجموع لحساب المجموع: $\sum_{i=1}^{45} (3i - 4)$
أ
2745
ب
3015
ج
3105
د
2925
تفسير الإجابة
بتطبيق قوانين المجموع: $3 \frac{45(46)}{2} - 4(45) = 3105 - 180 = 2925$.
استخدم قواعد المجموع لحساب المجموع: $\sum_{i=1}^{40} (4 - i^2)$
أ
-22300
ب
21980
ج
-21980
د
-22140
تفسير الإجابة
المجموع يساوي $4(40) - \frac{40(41)(81)}{6} = 160 - 22140 = -21980$.
استخدم قواعد المجموع لحساب المجموع: $\sum_{i=1}^{50} (8 - i)$
أ
-475
ب
875
ج
-875
د
-1275
تفسير الإجابة
المجموع يساوي $8(50) - \frac{50(51)}{2} = 400 - 1275 = -875$.
احسب المجموع: $\sum_{i=6}^{10} (i + 4)$
تفسير الإجابة
المجموع هو 10+11+12+13+14 = 60 .
احسب المجموع: $\sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x$, f(x) = 3x + 5 , x_i = 2, 4, 6 , n = 3 , $\Delta x = 2$
تفسير الإجابة
المجموع هو 2[f(2) + f(4) + f(6)] = 2[11 + 17 + 23] = 2(51) = 102 .
احسب المجموع: $\sum_{i=5}^{9} (i^2 + 3)$
تفسير الإجابة
المجموع هو 28 + 39 + 52 + 67 + 84 = 270 .
اكتب التكامل المحدود الذي يمثله مجموع ريمان التالي: $\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \sin(c_i) \Delta x$, $[0, 2\pi]$
أ
$\int_0^\pi \cos x \, dx$
ب
$\int_0^{2\pi} \cos x \, dx$
ج
$\int_0^\pi \sin x \, dx$
د
$\int_0^{2\pi} \sin x \, dx$
تفسير الإجابة
حسب تعريف التكامل المحدود، المجموع يؤول إلى تكامل الدالة sin x على الفترة المعطاة.
باستخدام قاعدة نقطة المنتصف، حدد نقاط المنتصف عندما n=3 على الفترة [0, 6]
أ
0, 2, 4
ب
1, 3, 5
ج
2, 4, 6
د
1, 2, 3
تفسير الإجابة
عرض الفترة الجزئية $\Delta x = 2$. الفترات هي [0,2], [2,4], [4,6] . نقاط المنتصف هي 1، 3، 5.
اكتب التكامل المحدود الذي يمثله مجموع ريمان التالي: $\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n (2 + \frac{3i}{n}) \frac{3}{n}$
أ
$\int_0^1 (2+3x) \, dx$
ب
$\int_2^5 x \, dx$
ج
$\int_0^3 (2+x) \, dx$
د
$\int_0^2 (2+3x) \, dx$
تفسير الإجابة
بفرض $\Delta x = 3/n$ و x_i = 3i/n تكون الدالة f(x) = 2+x على الفترة [0, 3] .
إذا كان عرض كل فترة جزئية كما يلي، فما معنى ذلك بالنسبة للفترة؟ $\Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{5}{n}$
أ
b-a = 5
ب
b = 5a
ج
n = 5(b-a)
د
$b-a = \frac{1}{5}$
تفسير الإجابة
بمقارنة بسط الكسر، نجد أن طول الفترة الكلية b-a يساوي 5.
حدد التكامل المحدود المكافئ للتعبير العام التالي: $\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x, x_i = a + i\Delta x$
أ
$\int_a^b f(x) \, dx$
ب
$\int_a^{a+\Delta x} f(x) \, dx$
ج
$\int_0^n f(x) \, dx$
د
$\int_0^b f(x) \, dx$
تفسير الإجابة
هذا هو التعريف الأساسي للتكامل المحدود كنهائية لمجموع ريمان على الفترة [a, b] .
في تعريف التكامل المحدود، ماذا تمثل النقطة المختارة داخل الفترة الجزئية؟ $f(c_i) \Delta x$
أ
c_i = b-a
ب
$c_i \in [x_{i-1}, x_i]$
ج
$c_i = \Delta x$
د
c_i = i
تفسير الإجابة
النقطة c_i هي أي نقطة يتم اختيارها ضمن الفترة الجزئية i لحساب قيمة الدالة عندها.
أوجد قيمة التكامل: $\int_1^3 e^{3 \ln x} \, dx$
تفسير الإجابة
الدالة تبسط إلى x3 . تكامل x3 من 1 إلى 3 هو $[\frac{x^4}{4}]_1^3 = \frac{81}{4} - \frac{1}{4} = 20$.
أوجد قيمة التكامل غير المحدود: $\int (x\sqrt{x} + 1) \, dx$
أ
$\frac{2x^{5/2}}{5} + \frac{x^2}{2} + C$
ب
$\frac{x^2\sqrt{x}}{5} + x + C$
ج
x2 + x + C
د
$\frac{2x^{5/2}}{5} + x + C$
تفسير الإجابة
الدالة هي x3/2 + 1 . التكامل يعطي $\frac{x^{5/2}}{5/2} + x + C = \frac{2}{5}x^{5/2} + x + C$.
أوجد قيمة التكامل المحدود: $\int_0^2 \sqrt{4 - x^2} \, dx$
أ
$\frac{\pi}{2}$
ب
$\frac{\pi}{4}$
ج
$\pi$
د
$2\pi$
تفسير الإجابة
يمثل هذا التكامل مساحة ربع دائرة نصف قطرها 2. المساحة هي $\frac{1}{4} \pi (2)^2 = \pi$.
أوجد قيمة التكامل المحدود: $\int_0^{\pi/4} (\sin^2 x - \cos^2 x) \, dx$
تفسير الإجابة
الدالة تكافئ -cos(2x) . التكامل هو $[-\frac{1}{2}\sin(2x)]_0^{\pi/4} = -1/2(1-0) = -1/2$.
حدد الدالة المكانية s(t) إذا كان a(t) = t2 + 1, v(0) = 4, s(0) = 0
أ
$s(t) = \frac{t^4}{12} + \frac{t^2}{2} + 4t$
ب
$s(t) = \frac{t^4}{4} + t^2 + 4t$
ج
$s(t) = \frac{t^3}{3} + t + 4$
د
$s(t) = \frac{t^3}{3} + 2t + 4$
تفسير الإجابة
بتكامل التسارع نجد $v(t) = \frac{1}{3}t^3 + t + 4$. بتكامل السرعة نجد $s(t) = \frac{1}{12}t^4 + \frac{1}{2}t^2 + 4t$.
اكتب المساحة فوق المحور x وتحت المنحنى y = 4x - x2 في صورة تكامل
أ
$\int_0^4 (4x - x^2) \, dx$
ب
$\int_4^0 -(4x - x^2) \, dx$
ج
$\int_0^4 -(4x - x^2) \, dx$
د
$\int_0^2 (4x - x^2) \, dx$
تفسير الإجابة
نقاط التقاطع مع المحور x هي 0 و 4، والدالة موجبة بينهما، لذا المساحة هي التكامل من 0 إلى 4.
اكتب المساحة فوق المحور x وتحت المنحنى y = 4 - x2 في صورة تكامل
أ
$\int_{-2}^0 -(4 - x^2) \, dx$
ب
$\int_{-2}^2 (4 - x^2) \, dx$
ج
$\int_0^4 (4 - x^2) \, dx$
د
$\int_{-2}^0 -(4 - x^2) \, dx$
تفسير الإجابة
نقاط التقاطع هي $x = \pm 2$. المساحة هي التكامل من -2 إلى 2 للدالة.
أوجد قيمة التكامل المحدود: $\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx$
أ
$2 - \sqrt{3}$
ب
$2 + \sqrt{3}$
ج
$2 - \sqrt{2}$
د
$2 + 2\sqrt{3}$
تفسير الإجابة
باستخدام التعويض u = 4 - x2 نجد أن قيمة التكامل هي $\sqrt{4} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}$.
أوجد قيمة التكامل بالتمثيل الهندسي: $\int_{-3}^3 \sqrt{9 - x^2} \, dx$
أ
$\frac{3\pi}{2}$
ب
$\frac{9\pi}{2}$
ج
$\frac{3\pi}{4}$
د
$\frac{9\pi}{4}$
تفسير الإجابة
هذا يمثل مساحة نصف دائرة نصف قطرها 3. المساحة هي $\frac{1}{2} \pi (3)^2 = 4.5\pi = \frac{9\pi}{2}$.
إذا كان $\int_1^3 f(x) \, dx = 3$ و $\int_1^3 g(x) \, dx = -2$، أوجد: $\int_1^3 [f(x) + g(x)] \, dx$
تفسير الإجابة
حسب خاصية خطية التكامل: $\int (f+g) = \int f + \int g = 3 + (-2) = 1$.
إذا كان $\int_1^3 f(x) \, dx = 3$ و $\int_1^3 g(x) \, dx = -2$، أوجد: $\int_1^3 [2f(x) - g(x)] \, dx$
تفسير الإجابة
2(3) - (-2) = 6 + 2 = 8 .
إذا كان $\int_1^3 f(x) \, dx = 3$ و $\int_1^3 g(x) \, dx = -2$، أوجد: $\int_1^3 [f(x) - g(x)] \, dx$
تفسير الإجابة
3 - (-2) = 3 + 2 = 5 .
إذا كان $\int_1^3 f(x) \, dx = 3$ و $\int_1^3 g(x) \, dx = -2$، أوجد: $\int_1^3 [4g(x) - 3f(x)] \, dx$
تفسير الإجابة
4(-2) - 3(3) = -8 - 9 = -17 .
أوجد قيمة التكامل حيث: $\int_0^3 f(x) \, dx, f(x) = \begin{cases} 4x, & x \le 2 \\ 1, & x > 2 \end{cases}$
تفسير الإجابة
يتم تقسيم التكامل: $\int_0^2 4x \, dx + \int_2^3 1 \, dx = [2x^2]_0^2 + [x]_2^3 = 8 + 1 = 9$.
إذا كان $\int_2^4 g(x) \, dx = 3$ و $\int_2^4 f(x) \, dx = -5$، أوجد: $\int_2^4 [4g(x) - 3f(x)] \, dx$
تفسير الإجابة
4(3) - 3(-5) = 12 + 15 = 27 .
