اختبار اختيار من متعدد تفاعلي: اختبار الرياضيات ريفيل الصف الثامن الوحدة العاشرة الفصل الثالث لعام 2025 - 2026

لحساب حجم الأسطوانة، نستخدم الصيغة $V = \pi r^2 h$. نحن نعلم أن نصف القطر r = 3 بوصات والارتفاع h = 5 بوصات. بالتعويض في الصيغة: $V = \pi (3^2) (5) = \pi (9) (5) = 45\pi$. باستخدام قيمة تقريبية لـ $\pi \approx 3.14$: V = 45 × 3.14 = 141.3 بوصة مكعبة.

من الصورة، نصف قطر الأسطوانة r = 1.9 بوصة والارتفاع h = 6.2 بوصة. صيغة حجم الأسطوانة هي $V = \pi r^2 h$. بالتعويض: $V = \pi (1.9)^2 (6.2) = \pi (3.61) (6.2) = 22.382\pi$. باستخدام قيمة تقريبية لـ $\pi \approx 3.14$: V = 22.382 × 3.14 = 70.27988 بوصة مكعبة. أقرب إجابة هي 70.279 بوصة مكعبة.

قطر الخزان 6 أقدام، إذن نصف القطر r = 3 أقدام. الارتفاع h = 4 أقدام. حجم الخزان $V_{tank} = \pi r^2 h = \pi (3^2)(4) = 36\pi$ قدم مكعب. باستخدام $\pi \approx 3.14$: V_tank = 36 × 3.14 = 113.04 قدم مكعب. بتحويل الحجم إلى جالونات: 113.04 ft³ × 7.5 gallons/ft³ = 847.8 جالون. معدل الملء هو 10 جالونات في الدقيقة. الوقت المستغرق بالدقائق $= \frac{847.8}{10} = 84.78$ دقيقة. بتحويل الدقائق إلى ساعات: $84.78 \text{ min} \div 60 \text{ min/hr} \approx 1.413$ ساعة. بالتقريب لأقرب جزء من عشرة، يكون الوقت 1.4 ساعة.

حجم المخروط يُعطى بالصيغة $V_{cone} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$، بينما حجم الأسطوانة يُعطى بالصيغة $V_{cylinder} = \pi r^2 h$. إذا كان لهما نفس القاعدة (أي نفس نصف القطر r) ونفس الارتفاع h، فإن حجم المخروط هو ثلث حجم الأسطوانة.

لحساب حجم المخروط، نستخدم الصيغة $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. نصف القطر r = 2 بوصة والارتفاع h = 4.6 بوصة. بالتعويض: $V = \frac{1}{3}\pi (2^2) (4.6) = \frac{1}{3}\pi (4) (4.6) = \frac{18.4}{3}\pi \approx 6.133\pi$. باستخدام $\pi \approx 3.14$: $V \approx 6.133 \times 3.14 \approx 19.263$ بوصة مكعبة. بالتقريب لأقرب جزء من عشرة، يكون الحجم 19.3 بوصة مكعبة.

صيغة حجم المخروط هي $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. بما أن الارتفاع h متساوٍ لكلا المخروطين، فإن نسبة الحجم تتناسب طرديًا مع مربع نصف القطر: $\frac{V_B}{V_A} = \frac{\frac{1}{3}\pi r_B^2 h}{\frac{1}{3}\pi r_A^2 h} = \frac{r_B^2}{r_A^2}$. نحن نعلم أن V_B = 4 V_A، لذا $\frac{V_B}{V_A} = 4$. إذن، $\frac{r_B^2}{r_A^2} = 4 \implies r_B^2 = 4 r_A^2$. بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، r_B = 2 r_A. بما أن القطر d = 2r، فإن d_B = 2 d_A. لذا، قطر المخروط B أطول بمرتين من قطر المخروط A.

لحساب حجم الكرة، نستخدم الصيغة $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. نصف القطر r = 3 بوصات. بالتعويض: $V = \frac{4}{3}\pi (3^3) = \frac{4}{3}\pi (27) = 4 \times 9 \pi = 36\pi$. باستخدام $\pi \approx 3.14$: V = 36 × 3.14 = 113.04 بوصة مكعبة.

من الصورة، قطر نصف الكرة هو 12 ملم، لذا نصف القطر r = 6 ملم. حجم نصف الكرة يُعطى بالصيغة $V = \frac{2}{3}\pi r^3$. بالتعويض: $V = \frac{2}{3}\pi (6^3) = \frac{2}{3}\pi (216) = 2 \times 72 \pi = 144\pi$. باستخدام $\pi \approx 3.14$: V = 144 × 3.14 = 452.16 ملم مكعب. أقرب إجابة هي 452.2 ملم مكعب.

حجم الصندوق المستطيل V_box = الطول × العرض × الارتفاع = 13.1 × 4.5 × 4.5 = 265.275 سم مكعب. قطر كل كرة جولف = 4.3 سم، لذا نصف القطر r = 2.15 سم. حجم كرة الجولف الواحدة $V_{ball} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (2.15)^3 \approx 41.63$ سم مكعب. حجم 3 كرات جولف = 3 × 41.63 = 124.89 سم مكعب. حجم الفراغ = V_box - V_3balls = 265.275 - 124.89 = 140.385 سم مكعب. بالتقريب لأقرب جزء من عشرة، يكون 140.4 سم مكعب.

صيغة حجم المخروط هي $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. لإيجاد r، الخطوة الأولى بعد التعويض بالقيم هي عزل r². للقيام بذلك، نضرب طرفي المعادلة في 3 للتخلص من الكسر 1/3، لتصبح المعادلة $3V = \pi r^2 h$.

صيغة حجم الكرة هي $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. نحن نعلم أن V = 113.04 سم مكعب. بالتعويض: $113.04 = \frac{4}{3}\pi r^3$. باستخدام $\pi \approx 3.14$: $113.04 = \frac{4}{3} (3.14) r^3 = 4.1866... r^3$. $r^3 = \frac{113.04}{4.1866...} \approx 27$. إذن $r = \sqrt[3]{27} = 3$ سم.

صيغة حجم الأسطوانة هي $V = \pi r^2 h$. نحن نعلم أن V = 1130.97 بوصة مكعبة والارتفاع h = 10 بوصات. بالتعويض: $1130.97 = \pi r^2 (10)$. $r^2 = \frac{1130.97}{10\pi} = \frac{113.097}{\pi}$. باستخدام $\pi \approx 3.14159$: $r^2 \approx 36$. إذن نصف القطر $r = \sqrt{36} = 6$ بوصات. قطر الأسطوانة d_case = 2r = 12 بوصة. قطر القاعدة 18 بوصة. المسافة على كل جانب = $\frac{\text{قطر القاعدة} - \text{قطر الأسطوانة}}{2} = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$ بوصات.

الجسم المركب يتكون من شكلين هندسيين أو أكثر. لإيجاد حجمه، يجب أولاً تقسيم الجسم المركب إلى أشكاله الهندسية الأساسية (مثل الأسطوانات، المخاريط، أو الكرات)، ثم حساب حجم كل شكل على حدة وجمع الأحجام.

يتكون المملحة من أسطوانة ونصف كرة في الأعلى. نصف القطر المشترك r = 1.2 بوصة. ارتفاع الأسطوانة h_cyl = 2.4 بوصة. حجم الأسطوانة $V_{cyl} = \pi r^2 h_{cyl} = \pi (1.2)^2 (2.4) = 3.456\pi$. حجم نصف الكرة $V_{hemi} = \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi (1.2)^3 = \frac{2}{3}\pi (1.728) = 1.152\pi$. الحجم الكلي $V_{total} = V_{cyl} + V_{hemi} = 3.456\pi + 1.152\pi = 4.608\pi$. باستخدام $\pi \approx 3.14$: V_total = 4.608 × 3.14 = 14.47952 بوصة مكعبة. بالتقريب لأقرب جزء من عشرة، يكون الحجم 14.5 بوصة مكعبة.

حجم المنشور المستطيل V_prism = الطول × العرض × الارتفاع = 12 × 10 × 20 = 2400 سم مكعب. قطر المخروط = 8 سم، لذا نصف القطر r = 4 سم. ارتفاع المخروط h_cone = 12 سم. حجم المخروط $V_{cone} = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{cone} = \frac{1}{3}\pi (4^2) (12) = \frac{1}{3}\pi (16) (12) = 64\pi$. باستخدام $\pi \approx 3.14$: V_cone = 64 × 3.14 = 200.96 سم مكعب. حجم المادة المستخدمة = V_prism - V_cone = 2400 - 200.96 = 2199.04 سم مكعب. بالتقريب لأقرب جزء من عشرة، يكون 2199.0 سم مكعب.