اختر إجابة واحدة لكل سؤال. عند الاختيار ستظهر النتيجة فورًا: الأخضر صحيح، والأحمر خطأ، وسيظهر تفسير الإجابة مباشرة إن كان متوفرًا. وبعد آخر سؤال ستظهر الدرجة النهائية تلقائيًا.
رياضة: نبيلة وميسون عضوتان في فريق كرة يد يتكون من 20 عضواً. إذا أعطيت الفتيات العشرون أرقام قمصان عشوائية من 1 إلى 20، فما احتمال أن يكون قميص نبيلة رقم 1 وقميص ميسون رقم 2؟
تفسير الإجابة
عدد النتائج الممكنة الكلي يمثل تباديل 20 قميصاً لفتاتين وهو P(20, 2) = 20 × 19 = 380. والحدث المطلوب هو ترتيب واحد محدد، لذا الاحتمال هو $\frac{1}{380}$.
توافيق: يريد مدرب اختيار 4 لاعبين عشوائياً من بين 12 لاعباً متميزاً لخوض المباراة النهائية بدوري مدارس الشارقة. ما احتمال اختيار أربعة لاعبين معينين بالاسم (أحمد، محمد، علي، وعمر) ضمن الفريق المختار؟
تفسير الإجابة
بما أن الترتيب غير مهم عند الاختيار، نستخدم التوافيق لحساب حجم الفضاء العيني: $C(12, 4) = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = 495$. اختيار مجموعة محددة هو نتيجة واحدة مرغوبة من أصل 495.
احتمال تباديل دائرية: يقوم غانم بترتيب 6 مفاتيح مختلفة لسيارات ومكاتب عشوائياً في حلقة مفاتيح دائرية. ما احتمال أن يكون مفتاح مكتبه بجوار مفتاح منزله تماماً؟
تفسير الإجابة
عدد الطرق الكلية لترتيب 6 عناصر في حلقة دائرية هو $(6-1)! = 120$. باعتبار مفتاحي المكتب والمنزل كعنصر واحد، تترتب العناصر المتبقية (5 عناصر) بـ $(5-1)! \times 2! = 48$ طريقة. الاحتمال هو $\frac{48}{120} = \frac{2}{5}$.
حوادث غير مستقلة: يحتوي صندوق على 5 كرات حمراء، و4 كرات زرقاء، و3 كرات بيضاء. إذا سُحبت كرتان على التوالي عشوائياً دون إرجاع، فما احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والكرة الثانية بيضاء؟
تفسير الإجابة
احتمال سحب الكرة الأولى حمراء هو $P(R_1) = \frac{5}{12}$. بعد السحب دون إرجاع، يتبقى 11 كرة منها 3 بيضاء، فاحتمال الثانية بيضاء هو $P(W_2|R_1) = \frac{3}{11}$. الاحتمال الكلي هو $\frac{5}{12} \times \frac{3}{11} = \frac{15}{132} = \frac{5}{44}$.
الاحتمال الشرطي: في استطلاع للرأي شمل 100 طالب من الصف العاشر المتقدم، وجد أن 60 طالباً يفضلون الرياضيات، و45 يفضلون الفيزياء، و20 يفضلون المادتين معاً. إذا اختير طالب عشوائياً وتبين أنه يفضل الفيزياء، فما احتمال أنه يفضل الرياضيات أيضاً؟
تفسير الإجابة
نستخدم صيغة الاحتمال الشرطي: $P(M|P) = \frac{P(M \cap P)}{P(P)}$. لدينا عدد الطلاب الذين يفضلون الفيزياء 45، والذين يفضلون المادتين معاً 20، إذن الاحتمال هو $\frac{20}{45} = \frac{4}{9}$.
احتمال المتممة: احتمال نجاح مروان في اختبار رخصة القيادة هو 0.82، واحتمال نجاح طارق في نفس الاختبار بشكل مستقل هو 0.75. ما احتمال ألا ينجح أي منهما في الاختبار؟
تفسير الإجابة
احتمال رسوب مروان = 1 - 0.82 = 0.18، واحتمال رسوب طارق = 1 - 0.75 = 0.25. بما أن الحدثين مستقلان، فإن احتمال ألا ينجح كلاهما هو 0.18 × 0.25 = 0.045.
النسب المثلثية في المثلث القائم: في المثلث ABC القائم الزاوية في B، إذا كانت قيمة $\sin A = \frac{5}{13}$، فما قيمة النسبية العكسية $\cot C$؟
تفسير الإجابة
من المعطيات $\sin A = \frac{5}{13}$، إذن المقابل لـ A هو 5 والوتر 13. المجاور لـ A (المقابل لـ C) هو $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12$. وبما أن المجاور لـ C هو 5، فإن $\cot C = \frac{\text{المجاور}}{\text{المقابل}} = \frac{5}{12}$.
زوايا الارتفاع والانخفاض: يقف مهندس على قمة جبل ارتفاعه 50 متراً ويرصد سفينة في مياه الخليج العربي بزاوية انخفاض قياسها $30^\circ$. كم تبلغ المسافة الأفقية الفاصلة بين قاعدة الجبل والسفينة؟
قانون جيب التمام (Law of Cosines): في المثلث ABC، إذا كان طول الضلع a = 5 cm وطول الضلع b = 8 cm والزاوية المحصورة بينهما $C = 60^\circ$. ما طول الضلع الثالث c؟
تفسير الإجابة
باستخدام قانون جيب التمام: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \implies c^2 = 5^2 + 8^2 - 2(5)(8) \cos(60^\circ) \implies c^2 = 89 - 40 = 49 \implies c = 7 \text{ cm}$.
دائرة الوحدة والنسب الدائرية: إذا كانت النقطة المثلثية $P(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ هي نقطة تقاطع الضلع النهائي للزاوية الموجهة $\theta$ مع دائرة الوحدة، فما قيمة المقدار الدائري $\csc \theta$؟
تفسير الإجابة
في دائرة الوحدة، الإحداثي الصادي يمثل الجيب: $\sin \theta = y = -\frac{1}{2}$. وبما أن مقلوب الجيب هو قاطع التمام: $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{1}{-1/2} = -2$.
الدوال الدورية: ما هي القيمة الرياضية الدقيقة والتامة للمقدار المثلثي التالي؟ $\cos\left( \frac{17\pi}{3} \right)$
تفسير الإجابة
نطرح دورات كاملة: $\frac{17\pi}{3} - 4\pi = \frac{5\pi}{3}$. الزاوية $\frac{5\pi}{3}$ تقع في الربع الرابع حيث جيب التمام موجب، وزاويتها المرجعية هي $\frac{\pi}{3}$. بالتالي: $\cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
الدوال المثلثية العكسية: أوجد القيمة الرياضية الدقيقة للتعبير الموضح أدناه: $\cos\left( \sin^{-1} \left( -\frac{4}{5} \right) \right)$
تفسير الإجابة
نفرض أن $\alpha = \sin^{-1}(-4/5)$، مما يعني $\sin \alpha = -4/5$. تقع الزاوية في الربع الرابع حيث جيب التمام موجب. نستخدم المتطابقة الفيثاغورسية: $\cos \alpha = \sqrt{1 - (-4/5)^2} = \sqrt{1 - 16/25} = \sqrt{9/25} = \frac{3}{5}$.
بضرب جميع الحدود في 2(x-3) نحصل على $4x - (x-3) = 12 \implies 3x + 3 = 12 \implies 3x = 9 \implies x = 3$. ولكن القيمة x=3 تسبب مقاماً صفرياً في المعادلة الأصلية، لذا فهي حل مستبعد ودخيل.
الاحتمالات المتقدمة: في مدرسة ثانوية بدبي، يشارك 40% من الطلاب في نادي الرياضيات، و50% في نادي العلوم، و20% من جميع الطلاب يشاركون في المادتين معاً. إذا علمنا أنه تم اختيار طالب عشوائياً وكان مشاركاً في نادي العلوم، فما احتمال أنه لا يشارك في نادي الرياضيات؟
تفسير الإجابة
نحسب أولاً احتمال مشاركته في الرياضيات علماً بأنه في العلوم: $P(M|S) = \frac{20\%}{50\%} = 0.4$. احتمال عدم المشاركة هو المتممة: $1 - 0.4 = 0.6 = 60\%$.
تطبيقات هندسية للمثلثات: تبحر سفينة تجارية من ميناء راشد بدبي باتجاه شمال شرق. إذا كانت الزاوية المحصورة بين مسار السفينة والاتجاه الأفقي (الشرق) هي $40^\circ$ وقطعت السفينة مسافة إجمالية مقدارها 80 km، فما المسافة الأفقية المقطوعة باتجاه الشرق (مقربة لأقرب كيلومتر)؟
حالات قانون الجيب المبهمة (Ambiguous Case): في المثلث ABC، إذا كان قياس الزاوية المعلومة $A = 30^\circ$، والضلع المقابل لها a = 6، وطول الضلع المجاور b = 8. كم عدد المثلثات الفريدة الممكن تشكيلها تحت هذه الشروط؟
تفسير الإجابة
الارتفاع h = b × sin A = 8 × 0.5 = 4. بما أن الارتفاع (4) أصغر من الضلع المقابل (6) وهو بدوره أصغر من الضلع المجاور (8)، أي h < a < b، فهذا يحقق شرط تكوين مثلثين مختلفين.
المسائل اللفظية للمعدلات والكسور النسبية: يملأ الأنبوب الأول الخزان منفرداً خلال 6 ساعات، بينما يستغرق الأنبوب الثاني منفرداً 4 ساعات لملئه بالكامل. كم من الوقت يستغرق ملء الخزان إذا فُتح الأنبوبان معاً؟
تفسير الإجابة
المعدل المشترك لكل ساعة هو $\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12}$. الوقت المستغرق هو مقلوب المعدل $\frac{12}{5} = 2.4$ ساعة.
خط التقارب الرأسي نجده بمساواة المقام بالصفر: $2x + 4 = 0 \implies x = -2$. ودرجة البسط تساوي درجة المقام، فخط التقارب الأفقي هو معامل القيادة في البسط على المقام 3/2 = 1.5.
المعادلات المثلثية بالظل: أوجد جميع الحلول الممكنة للمعادلة المثلثية الآتية في الفترة $[0, 2\pi)$ : $\tan^2 \theta - 3 = 0$
تفسير الإجابة
$\tan^2 \theta = 3 \implies \tan \theta = \pm\sqrt{3}$. الزاوية المرجعية التي ظلها $\sqrt{3}$ هي $\frac{\pi}{3}$. بما أن الإشارة تحتمل الموجب والسالب، فإن الحلول تقع في الأرباع الأربعة: $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.
إليك اختبارات إضافية لـ الصف العاشر المتقدم بحسب الفصل الثالث والمادة رياضيات
لا يتم عرض هذا الجزء إلا عند النزول إليه، لتخفيف تحميل الصفحة.
...
🍪
إشعار ملفات تعريف الارتباط
يستخدم هذا الموقع ملفات تعريف الارتباط لتحسين تجربة التصفح وقياس الأداء وعرض المحتوى بشكل أفضل.
باستخدامك للموقع فإنك توافق على استخدامنا لها وفق
سياسة الخصوصية.
