يرجى الانتباه إلى أن المعلم قام بإعداد الأسئلة فقط، ولم يقم بإعداد الإجابات أو الشروحات المرفقة. وقد تم توليد الإجابات باستخدام تقنيات الذكاء الاصطناعي، لذلك قد تتضمن بعض الأخطاء أو عدم الدقة.
للحصول على الإجابات الصحيحة والمضمونة، يُرجى الرجوع إلى المعلم أو المصدر الدراسي المعتمد.
السؤال 1
النقاط: 1
رياضة: نبيلة وميسون عضوتان في فريق كرة يد يتكون من 20 عضواً. إذا أعطيت الفتيات العشرون أرقام قمصان عشوائية من 1 إلى 20، فما احتمال أن يكون قميص نبيلة رقم 1 وقميص ميسون رقم 2؟
تفسير الإجابة
عدد النتائج الممكنة الكلي يمثل تباديل 20 قميصاً لفتاتين وهو P(20, 2) = 20 × 19 = 380. والحدث المطلوب هو ترتيب واحد محدد، لذا الاحتمال هو $\frac{1}{380}$.
السؤال 2
النقاط: 1
توافيق: يريد مدرب اختيار 4 لاعبين عشوائياً من بين 12 لاعباً متميزاً لخوض المباراة النهائية بدوري مدارس الشارقة. ما احتمال اختيار أربعة لاعبين معينين بالاسم (أحمد، محمد، علي، وعمر) ضمن الفريق المختار؟
تفسير الإجابة
بما أن الترتيب غير مهم عند الاختيار، نستخدم التوافيق لحساب حجم الفضاء العيني: $C(12, 4) = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = 495$. اختيار مجموعة محددة هو نتيجة واحدة مرغوبة من أصل 495.
السؤال 3
النقاط: 1
احتمال تباديل دائرية: يقوم غانم بترتيب 6 مفاتيح مختلفة لسيارات ومكاتب عشوائياً في حلقة مفاتيح دائرية. ما احتمال أن يكون مفتاح مكتبه بجوار مفتاح منزله تماماً؟
تفسير الإجابة
عدد الطرق الكلية لترتيب 6 عناصر في حلقة دائرية هو $(6-1)! = 120$. باعتبار مفتاحي المكتب والمنزل كعنصر واحد، تترتب العناصر المتبقية (5 عناصر) بـ $(5-1)! \times 2! = 48$ طريقة. الاحتمال هو $\frac{48}{120} = \frac{2}{5}$.
السؤال 4
النقاط: 1
حوادث غير مستقلة: يحتوي صندوق على 5 كرات حمراء، و4 كرات زرقاء، و3 كرات بيضاء. إذا سُحبت كرتان على التوالي عشوائياً دون إرجاع، فما احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والكرة الثانية بيضاء؟
تفسير الإجابة
احتمال سحب الكرة الأولى حمراء هو $P(R_1) = \frac{5}{12}$. بعد السحب دون إرجاع، يتبقى 11 كرة منها 3 بيضاء، فاحتمال الثانية بيضاء هو $P(W_2|R_1) = \frac{3}{11}$. الاحتمال الكلي هو $\frac{5}{12} \times \frac{3}{11} = \frac{15}{132} = \frac{5}{44}$.
السؤال 5
النقاط: 1
الاحتمال الشرطي: في استطلاع للرأي شمل 100 طالب من الصف العاشر المتقدم، وجد أن 60 طالباً يفضلون الرياضيات، و45 يفضلون الفيزياء، و20 يفضلون المادتين معاً. إذا اختير طالب عشوائياً وتبين أنه يفضل الفيزياء، فما احتمال أنه يفضل الرياضيات أيضاً؟
تفسير الإجابة
نستخدم صيغة الاحتمال الشرطي: $P(M|P) = \frac{P(M \cap P)}{P(P)}$. لدينا عدد الطلاب الذين يفضلون الفيزياء 45، والذين يفضلون المادتين معاً 20، إذن الاحتمال هو $\frac{20}{45} = \frac{4}{9}$.
السؤال 6
النقاط: 1
احتمال المتممة: احتمال نجاح مروان في اختبار رخصة القيادة هو 0.82، واحتمال نجاح طارق في نفس الاختبار بشكل مستقل هو 0.75. ما احتمال ألا ينجح أي منهما في الاختبار؟
تفسير الإجابة
احتمال رسوب مروان = 1 - 0.82 = 0.18، واحتمال رسوب طارق = 1 - 0.75 = 0.25. بما أن الحدثين مستقلان، فإن احتمال ألا ينجح كلاهما هو 0.18 × 0.25 = 0.045.
السؤال 7
النقاط: 1
تبسيط التعابير النسبية: بسط التعبير النسبي التالي لأبسط صورة ممكنة: $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6} \cdot \frac{x + 2}{x^2 - 6x + 9}$
تفسير الإجابة
بتحليل الحدود: x2 - 9 = (x - 3)(x + 3) و x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) و x2 - 6x + 9 = (x - 3)2. بالتعويض والاختصار نجد أن المقدار يتبسط إلى $\frac{1}{x - 3}$.
البسط هو $\frac{2(y - x)}{xy}$ والمقام هو $\frac{4(y^2 - x^2)}{x^2 y^2} = \frac{4(y - x)(y + x)}{x^2 y^2}$. بقسمة البسط على المقام والاختصار يتبقى لدينا $\frac{xy}{2(x + y)}$.
السؤال 9
النقاط: 1
المعادلات النسبية والحلول الدخيلة: ما هي مجموعة الحلول الحقيقية والمعتمدة للمعادلة النسبية الآتية؟ $\frac{3}{x - 2} + \frac{x}{x + 2} = \frac{12}{x^2 - 4}$
تفسير الإجابة
بضرب طرفي المعادلة في LCD = (x-2)(x+2) نحصل على $3(x+2) + x(x-2) = 12 \implies x^2 + x - 6 = 0$. إذن x=2 أو x=-3. وبما أن x=2 تجعل المقام صفراً فهي حل دخيل، فيتبقى الحل الصحيح x=-3.
السؤال 10
النقاط: 1
النسب المثلثية في المثلث القائم: في المثلث ABC القائم الزاوية في B، إذا كانت قيمة $\sin A = \frac{5}{13}$، فما قيمة النسبية العكسية $\cot C$؟
تفسير الإجابة
من المعطيات $\sin A = \frac{5}{13}$، إذن المقابل لـ A هو 5 والوتر 13. المجاور لـ A (المقابل لـ C) هو $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12$. وبما أن المجاور لـ C هو 5، فإن $\cot C = \frac{\text{المجاور}}{\text{المقابل}} = \frac{5}{12}$.
السؤال 11
النقاط: 1
زوايا الارتفاع والانخفاض: يقف مهندس على قمة جبل ارتفاعه 50 متراً ويرصد سفينة في مياه الخليج العربي بزاوية انخفاض قياسها $30^\circ$. كم تبلغ المسافة الأفقية الفاصلة بين قاعدة الجبل والسفينة؟
قانون الجيب (Law of Sines): في المثلث XYZ، إذا كان طول الضلع x = 8 cm، و sin X = 0.4 و sin Y = 0.75. أوجد طول الضلع المقابل y؟
تفسير الإجابة
باستخدام قانون الجيب: $\frac{x}{\sin X} = \frac{y}{\sin Y} \implies \frac{8}{0.4} = \frac{y}{0.75} \implies 20 = \frac{y}{0.75} \implies y = 15 \text{ cm}$.
السؤال 13
النقاط: 1
قانون جيب التمام (Law of Cosines): في المثلث ABC، إذا كان طول الضلع a = 5 cm وطول الضلع b = 8 cm والزاوية المحصورة بينهما $C = 60^\circ$. ما طول الضلع الثالث c؟
تفسير الإجابة
باستخدام قانون جيب التمام: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \implies c^2 = 5^2 + 8^2 - 2(5)(8) \cos(60^\circ) \implies c^2 = 89 - 40 = 49 \implies c = 7 \text{ cm}$.
السؤال 14
النقاط: 1
مساحة المثلث العام: احسب مساحة المثلث PQR الذي فيه طول الضلع p = 12 cm وطول الضلع q = 10 cm وقياس الزاوية المحصورة بينهما $R = 150^\circ$؟
تفسير الإجابة
مساحة المثلث تساوي: $A = \frac{1}{2} pq \sin R = \frac{1}{2} \times 12 \times 10 \times \sin(150^\circ)$. بما أن $\sin(150^\circ) = 0.5$، فإن المساحة = 60 × 0.5 = 30 cm2.
السؤال 15
النقاط: 1
دائرة الوحدة والنسب الدائرية: إذا كانت النقطة المثلثية $P(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ هي نقطة تقاطع الضلع النهائي للزاوية الموجهة $\theta$ مع دائرة الوحدة، فما قيمة المقدار الدائري $\csc \theta$؟
تفسير الإجابة
في دائرة الوحدة، الإحداثي الصادي يمثل الجيب: $\sin \theta = y = -\frac{1}{2}$. وبما أن مقلوب الجيب هو قاطع التمام: $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{1}{-1/2} = -2$.
السؤال 16
النقاط: 1
الدوال الدورية: ما هي القيمة الرياضية الدقيقة والتامة للمقدار المثلثي التالي؟ $\cos\left( \frac{17\pi}{3} \right)$
تفسير الإجابة
نطرح دورات كاملة: $\frac{17\pi}{3} - 4\pi = \frac{5\pi}{3}$. الزاوية $\frac{5\pi}{3}$ تقع في الربع الرابع حيث جيب التمام موجب، وزاويتها المرجعية هي $\frac{\pi}{3}$. بالتالي: $\cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
إزاحة الطور تُحسب بالقانون $\frac{c}{b} = \frac{\pi/2}{3} = \frac{\pi}{6}$. وبما أن الإشارة داخل القوس سالبة، فإن اتجاه الإزاحة يكون لليمين.
السؤال 19
النقاط: 1
الدوال المثلثية العكسية: أوجد القيمة الرياضية الدقيقة للتعبير الموضح أدناه: $\cos\left( \sin^{-1} \left( -\frac{4}{5} \right) \right)$
تفسير الإجابة
نفرض أن $\alpha = \sin^{-1}(-4/5)$، مما يعني $\sin \alpha = -4/5$. تقع الزاوية في الربع الرابع حيث جيب التمام موجب. نستخدم المتطابقة الفيثاغورسية: $\cos \alpha = \sqrt{1 - (-4/5)^2} = \sqrt{1 - 16/25} = \sqrt{9/25} = \frac{3}{5}$.
السؤال 20
النقاط: 1
تبسيط التعبيرات باستخدام المتطابقات: بسط التعبير التالي لأبسط صورة جبرية ممكنة: $\frac{\sec \theta - \cos \theta}{\tan \theta}$
بضرب جميع الحدود في 2(x-3) نحصل على $4x - (x-3) = 12 \implies 3x + 3 = 12 \implies 3x = 9 \implies x = 3$. ولكن القيمة x=3 تسبب مقاماً صفرياً في المعادلة الأصلية، لذا فهي حل مستبعد ودخيل.
السؤال 27
النقاط: 1
متطابقة ضعف الزاوية للظل: إذا كانت قيمة $\tan \theta = \frac{1}{2}$، فما قيمة التعبير الدائري التالي؟ $\tan(2\theta)$
متطابقات الزوايا المتممة: بسط التعبير المثلثي التالي لأبسط قيمة عددية ممكنة: $\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) \cdot \sec \theta$
تفسير الإجابة
باستخدام متطابقة الزاوية المتممة $\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$. وبما أن $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$، فإن حاصل ضربهما هو 1.
السؤال 29
النقاط: 1
الاحتمالات المتقدمة: في مدرسة ثانوية بدبي، يشارك 40% من الطلاب في نادي الرياضيات، و50% في نادي العلوم، و20% من جميع الطلاب يشاركون في المادتين معاً. إذا علمنا أنه تم اختيار طالب عشوائياً وكان مشاركاً في نادي العلوم، فما احتمال أنه لا يشارك في نادي الرياضيات؟
تفسير الإجابة
نحسب أولاً احتمال مشاركته في الرياضيات علماً بأنه في العلوم: $P(M|S) = \frac{20\%}{50\%} = 0.4$. احتمال عدم المشاركة هو المتممة: $1 - 0.4 = 0.6 = 60\%$.
السؤال 30
النقاط: 1
حل المعادلات التربيعية المثلثية: أوجد جميع حلول المعادلة التالية في الفترة $[0, 2\pi)$ : $2 \cos^2 \theta + 3 \sin \theta - 3 = 0$
تطبيقات هندسية للمثلثات: تبحر سفينة تجارية من ميناء راشد بدبي باتجاه شمال شرق. إذا كانت الزاوية المحصورة بين مسار السفينة والاتجاه الأفقي (الشرق) هي $40^\circ$ وقطعت السفينة مسافة إجمالية مقدارها 80 km، فما المسافة الأفقية المقطوعة باتجاه الشرق (مقربة لأقرب كيلومتر)؟
حالات قانون الجيب المبهمة (Ambiguous Case): في المثلث ABC، إذا كان قياس الزاوية المعلومة $A = 30^\circ$، والضلع المقابل لها a = 6، وطول الضلع المجاور b = 8. كم عدد المثلثات الفريدة الممكن تشكيلها تحت هذه الشروط؟
تفسير الإجابة
الارتفاع h = b × sin A = 8 × 0.5 = 4. بما أن الارتفاع (4) أصغر من الضلع المقابل (6) وهو بدوره أصغر من الضلع المجاور (8)، أي h < a < b، فهذا يحقق شرط تكوين مثلثين مختلفين.
السؤال 33
النقاط: 1
المسائل اللفظية للمعدلات والكسور النسبية: يملأ الأنبوب الأول الخزان منفرداً خلال 6 ساعات، بينما يستغرق الأنبوب الثاني منفرداً 4 ساعات لملئه بالكامل. كم من الوقت يستغرق ملء الخزان إذا فُتح الأنبوبان معاً؟
تفسير الإجابة
المعدل المشترك لكل ساعة هو $\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12}$. الوقت المستغرق هو مقلوب المعدل $\frac{12}{5} = 2.4$ ساعة.
خط التقارب الرأسي نجده بمساواة المقام بالصفر: $2x + 4 = 0 \implies x = -2$. ودرجة البسط تساوي درجة المقام، فخط التقارب الأفقي هو معامل القيادة في البسط على المقام 3/2 = 1.5.
السؤال 35
النقاط: 1
المعادلات المثلثية بالظل: أوجد جميع الحلول الممكنة للمعادلة المثلثية الآتية في الفترة $[0, 2\pi)$ : $\tan^2 \theta - 3 = 0$
تفسير الإجابة
$\tan^2 \theta = 3 \implies \tan \theta = \pm\sqrt{3}$. الزاوية المرجعية التي ظلها $\sqrt{3}$ هي $\frac{\pi}{3}$. بما أن الإشارة تحتمل الموجب والسالب، فإن الحلول تقع في الأرباع الأربعة: $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.
إليك اختبارات إضافية لـ الصف العاشر المتقدم بحسب الفصل الثالث والمادة رياضيات
لا يتم عرض هذا الجزء إلا عند النزول إليه، لتخفيف تحميل الصفحة.
...
🍪
إشعار ملفات تعريف الارتباط
يستخدم هذا الموقع ملفات تعريف الارتباط لتحسين تجربة التصفح وقياس الأداء وعرض المحتوى بشكل أفضل.
باستخدامك للموقع فإنك توافق على استخدامنا لها وفق
سياسة الخصوصية.
