كويز تفاعلي: هيكل الجبر

لجمع الكسرين، نوحد المقامات بضرب كل كسر في مقام الآخر. المقام المشترك هو (x+2)(x-1). $\frac{x(x-1)}{(x+2)(x-1)} + \frac{x(x+2)}{(x+2)(x-1)} = \frac{x^2-x+x^2+2x}{(x+2)(x-1)} = \frac{2x^2+x}{(x+2)(x-1)}$

نحسب البسط والمقام بشكل منفصل ثم نقسم. البسط: $1+\frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$ المقام: $1-\frac{1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2} = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}$ الكسر المركب: $\frac{\frac{x+1}{x}}{\frac{(x-1)(x+1)}{x^2}} = \frac{x+1}{x} \cdot \frac{x^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x}{x-1}$

لأن b-a = -(a-b), فالتعبير يصبح $\frac{a-b}{-(a-b)} = -1$

لحل المعادلة، نضرب الطرفين في z²: $3z = 3 \Rightarrow z = 1$. يجب التأكد أن المقام لا يساوي صفرًا عند z=1, وهو $1^2=1 \ne 0$. لذا z=1 هو الحل الصحيح.

الحل الدخيل هو القيمة التي تجعل أحد المقامات صفرًا. في هذه المعادلة، المقامات هي x-2 و x. إذا كان x-2=0 فإن x=2. إذا كان x=0. عند x=2, يصبح المقام x-2 صفرًا. لذلك x=2 هو حل دخيل. المعادلة x² - 2x + 2 = 0 لا توجد لها حلول حقيقية. السؤال يطلب الحل الدخيل، وهو قيمة x التي تجعل المقام صفرًا، وهي x=2 أو x=0. بما أن x=2 هو الخيار المطروح.

لحل المعادلة، نضرب الطرفين في المقام المشترك x(x+1) (بشرط $x \ne 0$ و $x \ne -1$): $3x - (x+1) = 1 \Rightarrow 3x - x - 1 = 1 \Rightarrow 2x - 1 = 1 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$. بما أن x=1 لا يجعل أي مقام صفرًا، فهو الحل الصحيح.

لحل التناسب، نوحد المقامات في الطرف الأيسر. المقام المشترك هو 4x: $\frac{4}{4x} + \frac{2}{4x} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{6}{4x} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{3}{2x} = \frac{3}{4}$. نضرب الطرفين في الوسطين: $3 \times 4 = 3 \times 2x \Rightarrow 12 = 6x \Rightarrow x = 2$.

هذه مسألة عمل. إذا كان أحمد يطلي الجدار في 4 ساعات، فإن معدل عمله هو $\frac{1}{4}$ من الجدار في الساعة. إذا كان عمر يطلي الجدار في 6 ساعات، فإن معدل عمله هو $\frac{1}{6}$ من الجدار في الساعة. عندما يعملان معاً، فإن معدل عملهما المشترك هو $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$. إذا كان معدل عملهما المشترك هو $\frac{5}{12}$ من الجدار في الساعة، فإن الوقت المستغرق لطلاء جدار كامل هو مقلوب هذا المعدل: $\frac{12}{5} = 2.4$ ساعة.

لإيجاد خط التقارب الرأسي، نساوي المقام بالصفر (بعد التأكد من عدم وجود عوامل مشتركة مع البسط). $x-4 = 0 \Rightarrow x=4$. خط التقارب الرأسي هو x=4.

بما أن درجة البسط تساوي درجة المقام (كلاهما 1)، فإن خط التقارب الأفقي هو قسمة المعاملات الرئيسية. $y = \frac{2}{1} = 2$. خط التقارب الأفقي هو y=2.

تحدث الفجوة في الدالة النسبية عندما يكون هناك عامل مشترك بين البسط والمقام يمكن إلغاؤه. $f(x) = \frac{x-2}{x^2-4} = \frac{x-2}{(x-2)(x+2)}$. العامل المشترك هو (x-2). عند إلغائه، تتبقى الدالة $f(x) = \frac{1}{x+2}$. القيمة التي تجعل العامل الملغي يساوي صفرًا هي التي تحدث عندها الفجوة: $x-2=0 \Rightarrow x=2$. عند x=2 توجد فجوة في الدالة.

بما أن درجة البسط (2) تساوي درجة المقام (2)، فإن خط التقارب الأفقي هو قسمة المعاملات الرئيسية: $y = \frac{2}{2} = 1$. خط التقارب الأفقي هو y=1.

الدالة $y = \frac{1}{x}$ لها خط تقارب أفقي عند y=0. الدالة $f(x) = \frac{1}{x} + 3$ هي إزاحة للدالة الأصلية $y = \frac{1}{x}$ بمقدار 3 وحدات للأعلى. وبالتالي، خط التقارب الأفقي ينتقل إلى y=3. هذا يعني أن المدى هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء y=3.

المقطع السيني هو قيمة x عندما y=0. نساوي البسط بالصفر: $x^2-x-6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0 \Rightarrow x=3$ أو x=-2. يجب التأكد أن هذه القيم لا تجعل المقام صفرًا. عند x=3, المقام $3+1=4 \ne 0$. عند x=-2, المقام $-2+1=-1 \ne 0$. إذن، المقطعان السينيان هما 3 و -2.

المقطع الصادي هو قيمة y عندما x=0. نعوض x=0 في الدالة: $f(0) = \frac{2(0)-4}{0+2} = \frac{-4}{2} = -2$. المقطع الصادي هو -2.

للتقارب الرأسي، نجعل المقام يساوي صفرًا: $x+2=0 \Rightarrow x=-2$. هذا ينطبق على (A) و (B). للتقارب الأفقي، إذا كانت درجة البسط أقل من درجة المقام، يكون التقارب الأفقي y=0. في الخيار (A)، درجة البسط (0) أقل من درجة المقام (1)، لذا y=0 هو خط التقارب الأفقي. في الخيار (B)، $f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x-2$ (مع فجوة عند x=-2). ليس لها خط تقارب أفقي y=0. لذا الخيار (A) هو الصحيح.

التغير العكسي يعني أن $y = \frac{k}{x}$. نوجد ثابت التناسب k باستخدام القيم المعطاة: $4 = \frac{k}{3} \Rightarrow k = 4 \times 3 = 12$. الآن نجد y عندما x=6: $y = \frac{12}{6} = 2$.

التغير المشترك يعني أن y = kxz. نوجد ثابت التناسب k باستخدام القيم المعطاة: $20 = k \times 5 \times 2 \Rightarrow 20 = 10k \Rightarrow k = 2$. الآن نجد y عندما x=3, z=4: y = 2 × 3 × 4 = 24.

التغير الطردي والعكسي يعني أن $y = \frac{kx}{z^2}$. نوجد ثابت التناسب k باستخدام القيم المعطاة: $5 = \frac{k \times 10}{2^2} = \frac{10k}{4} \Rightarrow 20 = 10k \Rightarrow k = 2$. الآن نجد y عندما x=4, z=1: $y = \frac{2 \times 4}{1^2} = \frac{8}{1} = 8$.

لنفترض أن سرعة التيار هي c. سرعة السفينة مع التيار = 10+c. سرعة السفينة ضد التيار = 10-c. الزمن = المسافة / السرعة. زمن ضد التيار = $\frac{20}{10-c}$. زمن مع التيار = $\frac{30}{10+c}$. بما أن الزمن متساوٍ: $\frac{20}{10-c} = \frac{30}{10+c}$. نضرب الطرفين في الوسطين: $20(10+c) = 30(10-c) \Rightarrow 200 + 20c = 300 - 30c \Rightarrow 50c = 100 \Rightarrow c = 2$. سرعة التيار هي 2 كم/س.

لإيجاد سلوك طرفي الدالة عندما $x \to \infty$، ننظر إلى درجات البسط والمقام. بما أن درجة البسط (2) تساوي درجة المقام (2)، فإن النهاية هي قسمة المعاملات الرئيسية. $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2+1}{x^2+4} = \frac{3}{1} = 3$. إذن، $f(x) \to 3$.

نحلل الدالة: $f(x) = \frac{x-2}{x^2-4} = \frac{x-2}{(x-2)(x+2)}$. العامل (x-2) موجود في كل من البسط والمقام، وعند إلغائه تحدث فجوة عند x=2. العامل (x+2) يبقى في المقام، وعند مساواته بالصفر (x+2=0) ينتج خط تقارب رأسي عند x=-2. إذن، العبارة الصحيحة هي تقارب x=-2 وفجوة x=2.

لجمع الكسرين، نوحد المقامات. المقام المشترك هو xy. $\frac{x \cdot x}{xy} + \frac{y \cdot y}{xy} = \frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{x^2+y^2}{xy}$.

نستخدم قانون فرق المربعين في البسط: x²-y² = (x-y)(x+y). $\frac{(x-y)(x+y)}{x-y} = x+y$ (بشرط $x \ne y$).

كمية الحمض النقية في المحلول الأصلي: $10 \text{ لتر} \times 20\% = 2$ لتر. لنفترض أننا نضيف x لتراً من الحمض النقي. إجمالي كمية الحمض النقية الجديدة = 2 + x. إجمالي حجم المحلول الجديد = 10 + x. يجب أن تكون النسبة المئوية للحمض 50%: $\frac{2+x}{10+x} = 0.50 \Rightarrow 2+x = 0.5(10+x) \Rightarrow 2+x = 5 + 0.5x \Rightarrow 0.5x = 3 \Rightarrow x = 6$ لتر. يجب إضافة 6 لترات من الحمض النقي.

لحل المعادلة، يمكننا ضرب الطرفين في المقام المشترك x²-1. $x^2 = 1 \Rightarrow x^2 - 1 = 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) = 0$. إذن x=1 أو x=-1. لكن عندما تكون x=1 أو x=-1, يصبح المقام x²-1 = 0. لا يمكن أن يكون المقام صفرًا في الدالة الأصلية. لذلك، كلا الحلين (1 و -1) هما حلول دخيلة. وبالتالي، لا يوجد حل حقيقي للمعادلة.