حول التعبير الجبري $\frac{x^2 - 5x - 24}{x^2 - 64}$ إلى أبسط صورة:
أ
$\frac{x-3}{x-8}$
ب
$\frac{x-3}{x+8}$
ج
$\frac{x-3}{x-8}$
د
$\frac{x+3}{x+8}$
تفسير الإجابة
بتحليل البسط إلى (x-8)(x+3) والمقام إلى (x-8)(x+8) ، ثم حذف العامل المشترك (x-8) ، يتبقى $\frac{x+3}{x+8}$.
حدد جميع قيم x التي تجعل التعبير $\frac{x+7}{x^2 - 3x - 28}$ غير معرف:
أ
7 , 4
ب
-4 , 7
ج
4 , -7 , 7
د
-7 , 4
تفسير الإجابة
يكون التعبير غير معرف عندما يكون المقام صفراً. بتحليل المقام (x-7)(x+4) = 0 نجد أن القيم هي 7 و -4 .
بسطي المقدار $\frac{y^2 + 3y - 40}{25 - y^2}$:
أ
$\frac{y+8}{y+5}$
ب
$\frac{y-8}{y+5}$
ج
$-\frac{y+8}{y+5}$
د
$\frac{y-8}{y-5}$
تفسير الإجابة
البسط يتحلل إلى (y+8)(y-5) والمقام إلى (5-y)(5+y) . بما أن (y-5) = -(5-y) ، فإن التبسيط هو $-\frac{y+8}{y+5}$.
بسطي المقدار $\frac{27x^2 y^4}{16yz^3} \times \frac{8z}{9xy^3}$:
أ
$\frac{3x}{2z^2}$
ب
$\frac{2x}{3z^2}$
ج
$\frac{2x}{5z^2}$
د
$\frac{3z}{2x^2}$
تفسير الإجابة
بعد اختصار الأعداد (27/9 = 3) و (8/16 = 1/2) واختصار المتغيرات، نحصل على النتيجة $\frac{3x}{2z^2}$.
أوجد المقدار المكافئ للعملية التالية: $\frac{12x^3 y}{13ab^2} \div \frac{36xy^3}{26b}$
أ
$\frac{2x^2}{3aby^2}$
ب
$\frac{3x^2}{2aby^2}$
ج
$\frac{3y^2}{2abx^2}$
د
$\frac{2y^2}{3abx^2}$
تفسير الإجابة
نحول القسمة إلى ضرب في مقلوب الكسر الثاني: $\frac{12x^3 y}{13ab^2} \times \frac{26b}{36xy^3}$، ثم نختصر الأعداد والمتغيرات لتصل إلى $\frac{2x^2}{3aby^2}$.
بسطي المقدار $\frac{x^2 - 4x - 21}{x^2 - 6x + 8} \cdot \frac{x - 4}{x^2 - 2x - 35}$:
أ
$\frac{x - 3}{(x+2)(x-5)}$
ب
x+3
ج
$\frac{x+3}{(x-2)(x+5)}$
د
$\frac{x+3}{(x-2)(x+5)}$
تفسير الإجابة
بتحليل جميع الحدود: $\frac{(x-7)(x+3)}{(x-4)(x-2)} \cdot \frac{x-4}{(x-7)(x+5)}$. بعد حذف العوامل المشتركة يتبقى $\frac{x+3}{(x-2)(x+5)}$.
أوجد المقدار المكافئ لـ $\frac{c^2 - 6c - 16}{c^2 - d^2} \div \frac{c^2 - 8c}{c + d}$:
أ
$\frac{c - 2}{c^2 - cd}$
ب
$\frac{c + 2}{c^2 - cd}$
ج
$\frac{c - 2}{c^2 + cd}$
د
$\frac{c + 2}{c^2 + cd}$
تفسير الإجابة
بعد تحويل القسمة لضرب والتحليل: $\frac{(c-8)(c+2)}{(c-d)(c+d)} \times \frac{c+d}{c(c-8)} = \frac{c+2}{c(c-d)} = \frac{c+2}{c^2-cd}$.
يبلغ حجم الأسطوانة الموضحة على اليسار $(x+3)(x^2 - 3x - 18) \pi \text{ cm}^3$. جد ارتفاع الأسطوانة.
أ
x + 6
ب
x - 6
ج
x - 5
د
x + 5
تفسير الإجابة
بتحليل مقدار الحجم: $V = \pi (x+3)(x-6)(x+3) = \pi (x+3)^2 (x-6)$. وبما أن نصف القطر هو x+3 (من الشكل)، فإن الارتفاع h = x-6 .
بسطي المقدار: $\frac{\frac{x - y}{a + b}}{\frac{x^2 - y^2}{b^2 - a^2}}$
أ
$\frac{b - a}{x - y}$
ب
$\frac{b + a}{x - y}$
ج
$\frac{b - a}{x + y}$
د
$\frac{b + a}{x + y}$
تفسير الإجابة
نحول القسمة إلى ضرب: $\frac{x-y}{a+b} \times \frac{(b-a)(b+a)}{(x-y)(x+y)}$. بعد الاختصار يتبقى $\frac{b-a}{x+y}$.
أوجد قيمة التعبير المكافئ للرمز K في المعادلة التالية: $\frac{x-6}{x+3} \times \frac{K}{x-6} = x-2$
أ
x2 + x + 6
ب
x2 + x - 6
ج
x2 - x + 6
د
x2 - x - 6
تفسير الإجابة
بالتبسيط، $\frac{K}{x+3} = x-2$. ومنه K = (x-2)(x+3) = x2 + x - 6 .
تبلغ مساحة مثلث (3x2 + 9x - 54) cm2 . إذا كان ارتفاع المثلث (x + 6) cm ، جد طول القاعدة:
أ
6(x - 3)
ب
6(x + 3)
ج
3(x + 6)
د
3(x - 6)
تفسير الإجابة
المساحة = 0.5 × b × h . إذن 3(x+6)(x-3) = 0.5 × b × (x+6) . بقسمة الطرفين على 0.5(x+6) نجد b = 6(x-3) .
جد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للمقادير التالية: 15abd3 , 40a2 c3 d4 , 24cd
أ
100 a4 b c2 d2
ب
96 a3 b c4 d3
ج
80 a3 b c3 d4
د
120 a2 b c3 d4
تفسير الإجابة
المضاعف للأرقام (15، 40، 24) هو 120. وللمتغيرات نأخذ أكبر أس متاح لكل متغير: a2 , b, c3 , d4 .
جد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لكثيرات الحدود: x2 + x - 30, x2 - 9x + 20
أ
(x + 5)(x + 4)(x + 6)
ب
(x - 5)(x - 4)(x + 6)
ج
(x - 5)(x - 4)(x - 6)
د
(x + 5)(x + 4)(x - 6)
تفسير الإجابة
بتحليل كثيرات الحدود: (x+6)(x-5) و (x-5)(x-4) . المضاعف هو حاصل ضرب العوامل دون تكرار: (x-5)(x-4)(x+6) .
بسطي المقدار: $\frac{12y}{5x} + \frac{5x}{4y^3}$
أ
$\frac{48y^4 - 25x^2}{20xy^3}$
ب
$\frac{25y^4 + 48x^2}{20xy^3}$
ج
$\frac{48y^4 + 25x^2}{20xy^3}$
د
$\frac{25y^4 + 48x^2}{20xy^3}$
تفسير الإجابة
بتوحيد المقامات على 20xy3 : نضرب الكسر الأول في 4y3 والثاني في 5x لينتج $\frac{48y^4 + 25x^2}{20xy^3}$.
أوجد المقدار المكافئ لـ: $\frac{y^2}{8c^2 d^2} - \frac{3x}{14c^4 d}$
أ
$\frac{7c^2 y^2 - 12dx}{56c^4 d^2}$
ب
$\frac{7c^2 y^2 - 12d^2}{56c^4 d^2}$
ج
$\frac{12c^2 y^2 + 7dx}{56c^4 d^2}$
د
$\frac{7c^2 y^2 - 12d^2}{56d^4 c^2}$
تفسير الإجابة
المقام المشترك هو 56c4 d2 . نضرب حدود الكسر الأول في 7c2 والثاني في 4d لنحصل على النتيجة.
جد محيط مستطيل طولا ضلعيه $\frac{3}{x-2}$ و $\frac{4}{x+1}$:
أ
$\frac{14x^2 + 10}{x^2 - x - 2}$
ب
$\frac{14x^2 - 10}{x^2 - x - 2}$
ج
$\frac{14x^2 + 10}{x^2 + x + 2}$
د
$\frac{14x^2 + 10}{x^2 - x - 2}$
تفسير الإجابة
المحيط = $2 \times (\frac{3}{x-2} + \frac{4}{x+1}) = 2 \times (\frac{3(x+1) + 4(x-2)}{(x-2)(x+1)}) = 2 \times \frac{7x-5}{x^2-x-2} = \frac{14x-10}{x^2-x-2}$ (تم اختيار الخيار الأقرب المتوفر في الأوراق).
حول التعبير $\frac{8}{y-3} + \frac{2y-5}{y^2 - 12y + 27}$ إلى أبسط صورة:
أ
$\frac{10y + 77}{y^2 - 12y - 27}$
ب
$\frac{10y - 77}{y^2 - 12y + 27}$
ج
$\frac{10y - 77}{y^2 + 12y + 27}$
د
$\frac{10y + 77}{y^2 + 12y + 27}$
تفسير الإجابة
بتحليل المقام الثاني (y-9)(y-3) ، نضرب الكسر الأول في (y-9) ليصبح $\frac{8y-72 + 2y-5}{(y-9)(y-3)} = \frac{10y-77}{y^2-12y+27}$.
بسطي المقدار: $\frac{\frac{3}{x} + \frac{2}{y}}{1 + \frac{4}{y}}$
أ
$\frac{2y + 3x}{xy - 4x}$
ب
$\frac{3y - 2x}{xy - 4x}$
ج
$\frac{3y + 2x}{xy + 4x}$
د
$\frac{2y - 3x}{xy + 4x}$
تفسير الإجابة
بتبسيط البسط: $\frac{3y+2x}{xy}$ والمقام: $\frac{y+4}{y}$. بالقسمة نصل إلى $\frac{3y+2x}{xy} \times \frac{y}{y+4} = \frac{3y+2x}{x(y+4)} = \frac{3y+2x}{xy+4x}$.
تذهب وفاء إلى شاطئ يبعد 100 km . قطعت نصف المسافة بمعدل ما، وقطعت المسافة المتبقية بمعدل أبطأ بمقدار 15 km/h . إذا كانت x تمثل الوتيرة الأسرع، فأي تعبير يمثل الزمن الإجمالي للرحلة؟
أ
$\frac{50}{x} - \frac{50}{x-15}$
ب
$\frac{50}{x} + \frac{50}{x-15}$
ج
$\frac{50}{x} - \frac{50}{x+15}$
د
$\frac{50}{x} + \frac{50}{x+15}$
تفسير الإجابة
الزمن = المسافة / السرعة. الزمن الأول هو 50/x والزمن الثاني هو 50/(x-15) . الزمن الكلي هو مجموعهما.
حدد مجال الدالة الموضحة في الرسم والمنبثقة من القاعدة $f(x) = \frac{5}{x+3}$:
أ
$R \setminus \{3\}$
ب
$R \setminus \{0\}$
ج
$R \setminus \{-3\}$
د
$R \setminus \{1\}$
تفسير الإجابة
المجال هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا القيم التي تجعل المقام صفراً (x+3=0 ) وهي x=-3 .
خط التقارب الرأسي للدالة $f(x) = \frac{2}{x - 4} + 2$ هو:
أ
y = 2
ب
y = -2
ج
x = -2
د
x = 4
تفسير الإجابة
خط التقارب الرأسي يحدث عند القيمة التي تجعل المقام صفراً، وهي x=4 .
حدد مدى الدالة الموضحة بالتمثيل البياني المرفق:
أ
$R \setminus \{6\}$
ب
$R \setminus \{-4\}$
ج
$R \setminus \{-6\}$
د
$R \setminus \{4\}$
تفسير الإجابة
بناءً على شكل الدالة (التي تقترب من y=4 ولا تلمسها)، فإن المدى هو R ما عدا 4 .
خط التقارب الأفقي للدالة $f(x) = \frac{2}{x - 4} + 2$ هو:
أ
y = 2
ب
x = 2
ج
x = -2
د
y = -2
تفسير الإجابة
في الدالة المكتوبة بصيغة الإزاحة، يمثل الثابت المضاف في النهاية خط التقارب الأفقي، وهو y=2 .
إذا كان $f(x) = \frac{1}{x}$، فأي من الدوال التالية تمثل f(x) بعد الإزاحة 3 وحدات اتجاه اليمين ووحدتان لأعلى؟
أ
$f(x) = \frac{1}{x+3} + 2$
ب
$f(x) = \frac{1}{x-3} - 2$
ج
$f(x) = \frac{1}{x+3} - 2$
د
$f(x) = \frac{1}{x-3} + 2$
تفسير الإجابة
الإزاحة لليمين تعني طرح 3 من x داخل المقام، والإزاحة للأعلى تعني إضافة 2 خارج الكسر.
في أي اتجاه يجب إزاحة التمثيل البياني لـ $y = \frac{1}{x}$ لينتج التمثيل البياني لـ $y = \frac{1}{x} + 2$؟
أ
الأسفل
ب
الأعلى
ج
اليمين
د
اليسار
تفسير الإجابة
إضافة ثابت موجب للوظيفة الأصلية تؤدي إلى إزاحة رأسية للأعلى.
اكتب الدالة الموضحة في التمثيل البياني:
أ
$f(x) = \frac{1}{x+2} - 3$
ب
$f(x) = \frac{1}{x-2} + 3$
ج
$f(x) = \frac{1}{x-2} - 3$
د
$f(x) = \frac{1}{x+2} + 3$
تفسير الإجابة
من الرسم نلاحظ خط تقارب رأسي عند x=-2 (مما يعني وجود x+2 في المقام) وخط تقارب أفقي عند y=3 .
خط التقارب الأفقي للدالة $f(x) = \frac{2x+1}{3x-4}$ هو:
أ
$y = -\frac{2}{3}$
ب
$x = \frac{2}{3}$
ج
$y = \frac{2}{3}$
د
$x = -\frac{2}{3}$
تفسير الإجابة
بما أن درجة البسط تساوي درجة المقام، فإن خط التقارب الأفقي هو معامل القوة الأعلى في البسط مقسوماً على معاملها في المقام (2/3 ).
أي مما يلي ليس خطاً مقارباً للدالة $f(x) = \frac{1}{x^2 - 49}$؟
أ
x = 7
ب
f(x) = 0
ج
x = -7
د
f(x) = 1
تفسير الإجابة
خطوط التقارب لهذه الدالة هي x=7 و x=-7 (رأسية) و y=0 (أفقية). لذا f(x)=1 ليس خط تقارب لها.
خط التقارب المائل للدالة $f(x) = \frac{x^2 + 8x + 20}{x + 2}$ هو:
أ
y = x + 6
ب
y = x - 6
ج
y = x - 2
د
y = x + 3
تفسير الإجابة
بقسمة البسط على المقام (قسمة طويلة أو تركيبية)، نحصل على x+6 مع وجود باقٍ، لذا y=x+6 هو خط التقارب المائل.
أي مما يلي يمثل إحداثي x لفجوة عند تمثيل الدالة $f(x) = \frac{x^2 - 4x - 5}{x + 1}$ بيانياً؟
أ
x = 1
ب
x = -1
ج
x = 5
د
x = -5
تفسير الإجابة
تحدث الفجوة عند القيمة التي يتم اختصارها من البسط والمقام. بتحليل البسط نجد (x-5)(x+1) ، لذا الفجوة عند x=-1 .
أوجد قيمة x التي تحقق المعادلة: $\frac{10}{2x + 1} + \frac{4}{3} = 2$
تفسير الإجابة
بنقل 4/3 للطرف الآخر نجد $\frac{10}{2x+1} = 2/3$. بضرب الطرفين في الوسطين نجد 30 = 4x+2 ومنها x=7 .
حل المعادلة التالية: $\frac{14}{x - 8} - \frac{5}{x - 6} = \frac{82}{x^2 - 14x + 48}$
أ
x = 12
ب
x = 14
ج
x = 11
د
x = 13
تفسير الإجابة
المقام المشترك هو (x-8)(x-6) . بالضرب في المقام المشترك نحصل على 14(x-6) - 5(x-8) = 82 . بالتبسيط: $9x - 44 = 82 \implies 9x = 126 \implies x=14$.
حدد النقطة أو النقاط التي يتقاطع عندها منحنى الدالة $f(x) = \frac{2}{x-1} - \frac{x+4}{3}$ مع المحور x :
تفسير الإجابة
بمساواة الدالة بالصفر: $\frac{2}{x-1} = \frac{x+4}{3} \implies 6 = x^2+3x-4 \implies x^2+3x-10=0$. بالتحليل (x+5)(x-2)=0 .
يستطيع راشد حفر حفرة في 5 ساعات، ويستطيع زايد حفر نفس الحفرة في 6 ساعات. كم من الزمن سيستغرقان إذا عملا معاً؟
أ
1.5 ساعة
ب
2.73 ساعة
ج
2.34 ساعة
د
2.52 ساعة
تفسير الإجابة
نستخدم قانون العمل المشترك: 1/5 + 1/6 = 11/30 . الزمن المستغرق هو المقلوب $30/11 \approx 2.727$ ساعات، أي بالتقريب 2.73.
يحتوي 9 kg من المكسرات على 55% فول سوداني، ممزوجاً بـ 6 kg من نوع آخر يحتوي على 40% فول سوداني. فكم نسبة الفول السوداني في المزيج الجديد؟
أ
$58 \%$
ب
$51 \%$
ج
$49 \%$
د
$47 \%$
تفسير الإجابة
كمية الفول الإجمالية = (9 × 0.55) + (6 × 0.40) = 4.95 + 2.40 = 7.35 . النسبة المئوية = $(7.35 / 15) \times 100 = 49\%$.
حل المتباينة التالية: $\frac{1}{3b} + \frac{1}{4b} < \frac{1}{5}$
أ
b > 0 أو $b > \frac{35}{12}$
ب
b < 0 أو $b > \frac{35}{12}$
ج
b > 0 أو $b < \frac{35}{12}$
د
b < 0 أو $b < \frac{35}{12}$
تفسير الإجابة
بتبسيط الطرف الأيسر: 7/(12b) < 1/5 . إذا كان b موجباً نجد $35 < 12b \implies b > 35/12$. وإذا كان b سالباً فالمتباينة تتحقق دائماً.
