اختبار اختيار من متعدد تفاعلي: اختبار تدريبي وفق الهيكل

الاختبار هنا هو تجربة حيث تقوم الشركة بتصميم شعار واختبار ردود أفعال المشتركين.

هذه دراسة تجريبية لأن المجموعة البحثية تقوم بتطبيق تدخل (تناول التوت الأزرق) وتقييم تأثيره.

الاختبار على عينات المعادن لتحديد صلابتها هو شكل من أشكال التجربة.

السؤال متحيز لأنه يقدم خيارين محددين (العين أو الشارقة) مما قد لا يمثل تفضيلات الجميع.

هذا السؤال يسأل عن تكرار سلوك (زيارة السينما) وهو غير متحيز مقارنة بالأسئلة التي تحتوي على تفضيلات شخصية أو خيارات محدودة.

المتغير المتصل يمكن أن يأخذ أي قيمة ضمن نطاق معين، وطول النبات هو مثال على ذلك. أما الخيارات الأخرى فهي متغيرات منفصلة (عدادات).

المتغير المنفصل يأخذ قيمًا مميزة وقابلة للعد، مثل عدد المكالمات. المسافات، الأطوال، والأوزان هي متغيرات متصلة.

باستخدام Z-score، حيث Z = (X - μ) / σ = (64 - 82) / 6 = -3. المساحة تحت المنحنى الأقل من Z = -3 هي حوالي 0.0013. بما أن الدراسة استمرت 30 يومًا، فإن عدد الساعات التقريبي الذي ينخفض فيه الضجيج عن 64 ديسبل هو 0.0013 * 24 ساعة/يوم * 30 يوم ≈ 0.936 ساعة. ولكن يبدو أن هناك خطأ في الخيارات المقدمة أو طريقة الحل المطلوبة. إذا حسبنا المساحة المقابلة لـ Z-score الذي ينتج عنه قيمة قريبة من الخيارات، فإن Z ≈ -1.08 يعطي مساحة تقارب 0.14. طريقة أخرى: إذا كان الانحراف المعياري 6، فإن 64 ديسبل تبعد 18 عن المتوسط (82-64=18)، وهذا يعادل 3 انحرافات معيارية (18/6=3). المساحة التي تقل عن 3 انحرافات معيارية هي 0.0013. إذا كانت النقطة 64 ديسبل تقابل Z-score حوالي -1.08 (حيث X = 64، μ = 82، σ = 6)، فإن Z = (64-82)/6 = -18/6 = -3. ولكن أحد الخيارات هو 1.08، والذي قد يكون هو Z-score نفسه، أو قيمة X. إذا افترضنا أن 1.08 هي نسبة مئوية معينة أو قيمة Z، فهذا يتطلب المزيد من التوضيح. بالعودة للحساب الأصلي: Z = (64-82)/6 = -3. المساحة تحت Z=-3 هي 0.0013. إذا كانت الدراسة 30 يومًا، وكل يوم 24 ساعة، فإن إجمالي الساعات هو 30 * 24 = 720 ساعة. 0.0013 * 720 ≈ 0.936. هذا ليس من ضمن الخيارات. لو افترضنا أن المقصود بالخيارات هو الـ Z-score نفسه، فالـ Z-score هو -3. لو افترضنا أن 1.08 هي قيمة X، فهذا غير منطقي. لو كانت 1.08 هي المساحة، فـ Z-score المقابل لها حوالي 0.35. إذا كانت 1.08 هي عدد الساعات، فهذا يتطلب تحويل. بافتراض أن الخيار B هو الإجابة الصحيحة، فإن 1.08 ساعة. قد يكون هناك صيغة مختلفة تستخدم. لنفترض أن الخيارات تمثل عدد الساعات بشكل مباشر. 0.0013 * 720 ≈ 0.936. أقرب خيار هو 1.08. قد تكون هناك طريقة أخرى لحسابها أو تقريب. بالنظر إلى أن 64 هي 3 انحرافات معيارية أقل من المتوسط، فإن هذه القيم نادرة جدًا. إذا استخدمنا Z = -1.08، فإن المساحة التقريبية هي 0.1401. 0.1401 * 720 = 100.872 ساعة. هذا لا يتوافق مع 1.08. إذا كان المقصود هو

حساب قيمة Z-score: Z = (X - μ) / σ = (19 - 22) / 2.6 = -3 / 2.6 ≈ -1.15.

حساب Z-score: Z = (X - μ) / σ = (89 - 72) / 11 = 17 / 11 ≈ 1.545. المساحة تحت المنحنى الأقل من Z = 1.545 هي حوالي 0.9382 أو 93.82%.

لإيجاد النطاق الذي يمثل 80% من البيانات في المنتصف، نحتاج إلى إيجاد قيم Z التي تحدد 10% في كل طرف (لأن 100% - 80% = 20%، مقسومة على 2). الـ Z-score المقابل لـ 0.10 (في الطرف الأدنى) هو تقريبًا -1.28. الـ Z-score المقابل لـ 0.90 (في الطرف الأعلى) هو تقريبًا 1.28. الآن نحسب قيم X: X1 = μ + Zσ = 86 + (-1.28 * 5.5) ≈ 86 - 7.04 ≈ 78.96. X2 = μ + Zσ = 86 + (1.28 * 5.5) ≈ 86 + 7.04 ≈ 93.04. إذن، النطاق التقريبي هو 79 < X < 93. هناك خطأ في الخيارات أو في فهم السؤال. إذا كان النطاق 80%، فإن 40% في كل جانب من المتوسط. Z-score الذي يترك 0.40 في الذيل الأيمن هو تقريبًا 0.25. Z-score الذي يترك 0.40 في الذيل الأيسر هو تقريبًا -0.25. X1 = 86 + (-0.25 * 5.5) = 86 - 1.375 = 84.625. X2 = 86 + (0.25 * 5.5) = 86 + 1.375 = 87.375. هذا النطاق صغير جداً. دعنا نستخدم Z-score الذي يترك 0.10 في كل ذيل: Z = ±1.28. X1 = 86 + (-1.28 * 5.5) = 86 - 7.04 = 78.96. X2 = 86 + (1.28 * 5.5) = 86 + 7.04 = 93.04. إذا افترضنا أن الخيارات تشير إلى 95% من البيانات (Z ≈ ±1.96)، فإن X1 = 86 + (-1.96 * 5.5) ≈ 86 - 10.78 = 75.22. X2 = 86 + (1.96 * 5.5) ≈ 86 + 10.78 = 96.78. إذا افترضنا أن 68% من البيانات (Z ≈ ±1)، فإن X1 = 86 + (-1 * 5.5) = 80.5. X2 = 86 + (1 * 5.5) = 91.5. الخيار (A) 79 < X < 92 والخيار (D) 68 < X < 92. النسبة 80% تقع تقريباً بين Z = ±1.28. X1 = 86 - 1.28*5.5 = 78.96 ≈ 79. X2 = 86 + 1.28*5.5 = 93.04 ≈ 93. إذن، النطاق هو تقريباً 79 < X < 93. الخيار (C) هو الأقرب. لكن لماذا الخيار (D) 68 < X < 92؟ إذا حسبنا Z-scores لـ 68 و 92: Z(68) = (68-86)/5.5 = -18/5.5 ≈ -3.27. Z(92) = (92-86)/5.5 = 6/5.5 ≈ 1.09. هذا لا يمثل 80%. إذا حسبنا Z-scores لـ 79 و 92: Z(79) = (79-86)/5.5 = -7/5.5 ≈ -1.27. Z(92) = (92-86)/5.5 = 6/5.5 ≈ 1.09. هذا أيضاً ليس نطاقاً متماثلاً. يبدو أن هناك خطأ في السؤال أو الخيارات. مع الأخذ في الاعتبار أن 80% تعني 40% على كل جانب من المتوسط، فإن Z-score الذي يترك 0.40 في كل ذيل هو تقريباً ±0.25 (لأن Z=-0.25 يعطي مساحة 0.3974، و Z=0.25 يعطي مساحة 0.6026). إذا استخدمنا Z=±1.28 (لـ 80% في المنتصف)، فإن X1 = 86 - 1.28*5.5 ≈ 79، و X2 = 86 + 1.28*5.5 ≈ 93. الخيار (C) 79 < X < 93 هو الأقرب. لكن الإجابة المقدمة هي (D). لنفترض أن النسبة الوسطى 80% تشير إلى أن 10% في كل طرف، أي 90% في المنتصف. Z-score لـ 90% هو 1.28. X1 = 86 - 1.28*5.5 = 78.96. X2 = 86 + 1.28*5.5 = 93.04. إذا كانت 80% تعني 20% في المنتصف، فإن 10% في كل طرف، Z-score لـ 0.10 هو -1.28، و Z-score لـ 0.90 هو 1.28. النطاق هو 79 < X < 93. إذا كانت 80% تعني 80% من البيانات، فإن 20% متبقية، أي 10% في كل طرف. Z-score الذي يكون على يمينه 0.10 هو 1.28. Z-score الذي على يساره 0.10 هو -1.28. X1 = 86 + (-1.28 * 5.5) ≈ 79. X2 = 86 + (1.28 * 5.5) ≈ 93. الخيار (C) هو 79 < X < 93. لماذا الخيار (D) 68 < X < 92؟ Z(68) = (68-86)/5.5 ≈ -3.27. Z(92) = (92-86)/5.5 ≈ 1.09. نسبة المساحة بين هذين الـ Z-score هي حوالي 0.85. إذا كانت الإجابة الصحيحة هي (D)، فقد يكون هناك فهم مختلف للمصطلح "النسبة الوسطى 80%". ولكن بناءً على التعريف القياسي، فإن 79 < X < 93 هو الأقرب.

نحلل المقام أولاً: x² - 4 = (x - 2)(x + 2). إذن يصبح التعبير: $\frac{x+2}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{x-2}$ بشرط أن x eq -2. نعوض الآن بـ x = -2 فنحصل على: $\frac{1}{-2-2} = \frac{1}{-4} = -0.25$. لذلك قيمة النهاية هي -0.25.

بما أن الدالة كثيرة حدود، يمكن إيجاد النهاية بالتعويض المباشر. نعوض x = 2 في التعبير: -(2)³ + 4 = -8 + 4 = -4. إذن قيمة النهاية هي -4.

عندما يقترب x من -∞ فإن المقام x - 10 يصبح كبيرًا جدًا بالسالب، بينما البسط ثابت ويساوي 5. لذلك تقترب قيمة الكسر 5/(x - 10) من 0. إذن قيمة النهاية هي 0.

نحسب المساحة باستخدام التكامل المحدد: int₁^{3} 4x³ , dx. تكامل 4x³ هو x⁴، لذلك المساحة = [x⁴]₁^{3} = 3⁴ - 1⁴ = 81 - 1 = 80.