كويز تفاعلي: الدوال المثلثية

الدالة المثلثية $\sec \theta$ هي مقلوب الدالة $\cos \theta$، أي $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$.

في المثلث القائم الزاوية، $\cot \theta = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الضلع المقابل}}$. من الشكل، الضلع المجاور لـ $\theta$ هو 15 والضلع المقابل هو 8. إذن، $\cot \theta = \frac{15}{8}$.

باستخدام المتطابقة المثلثية $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$:
$(\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \theta = 1$
$\frac{1}{4} + \cos^2 \theta = 1$
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
بما أن الخيارات المعطاة لا تتضمن القيمة السالبة، فإننا نختار القيمة الموجبة.

في المثلث القائم الزاوية، $\sin 42^\circ = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}}$.
إذن، $\sin 42^\circ = \frac{x}{18}$.
$x = 18 \times \sin 42^\circ \approx 18 \times 0.6691 \approx 12.04$.
أقرب قيمة من الخيارات هي 12.5.

من الشكل، الزاوية المقابلة للضلع 75 قدم هي $48^\circ$. المسافة المطلوب حسابها (x) هي الوتر.
لذلك، نستخدم دالة الجيب: $\sin 48^\circ = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}}$.
$\sin 48^\circ = \frac{75}{x}$
$x = \frac{75}{\sin 48^\circ} \approx \frac{75}{0.7431} \approx 100.92$.
أقرب قيمة من الخيارات هي 105.

في المثلث القائم الزاوية، $\cos \theta = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}}$.
إذن، $\cos \theta = \frac{11}{26} \approx 0.42307$.
$\theta = \arccos(0.42307) \approx 64.97^\circ$.
بالتقريب لأقرب درجة تكون $65^\circ$. أقرب خيار هو $67^\circ$.

في المثلث القائم الزاوية، زاوية الانخفاض من قمة الجبل إلى المخيم تساوي زاوية الارتفاع من المخيم إلى قمة الجبل، وهي $36^\circ$. ارتفاع الجبل هو الضلع المقابل للزاوية (1500 قدم)، والمسافة الأفقية بين المخيم والمجموعة (x) هي الضلع المجاور للزاوية.
نستخدم دالة الظل: $\tan 36^\circ = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}}$
$\tan 36^\circ = \frac{1500}{x}$
$x = \frac{1500}{\tan 36^\circ} \approx \frac{1500}{0.7265} \approx 2064.6$ قدم.
أقرب قيمة من الخيارات هي 2065.

في المثلث القائم الزاوية، إذا افترضنا أن x هو الضلع المجاور للزاوية $35^\circ$ والوتر هو 10، نستخدم دالة جيب التمام:
$\cos 35^\circ = \frac{x}{10}$
$x = 10 \times \cos 35^\circ \approx 10 \times 0.8191 \approx 8.19$.
أقرب قيمة من الخيارات هي 8.
ملاحظة: إذا كان x هو الضلع المقابل، فإن $\sin 35^\circ = \frac{x}{10}$، $x \approx 5.73$، وهو غير موجود ضمن الخيارات بشكل قريب.

في المثلث القائم الزاوية، الضلع z هو الضلع المجاور للزاوية $35^\circ$ والوتر هو 10. نستخدم دالة جيب التمام:
$\cos 35^\circ = \frac{z}{10}$
$z = 10 \times \cos 35^\circ \approx 10 \times 0.8191 \approx 8.19$.
أقرب قيمة من الخيارات هي 8.7.

للتحويل من الدرجات إلى الراديان، نضرب قيمة الزاوية بالدرجات في معامل التحويل $\frac{\pi}{180}$.
$45^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{45\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$ راديان.

للتحويل من الراديان إلى الدرجات، نضرب قيمة الزاوية بالراديان في معامل التحويل $\frac{180}{\pi}$.
$\frac{5\pi}{6} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{5 \times 180^\circ}{6} = 5 \times 30^\circ = 150^\circ$.

طول القوس L يُحسب بالصيغة $L = r \theta$ حيث r هو نصف القطر و$\theta$ هي الزاوية المركزية بالراديان. من الشكل، نصف القطر r=5 سم، والزاوية المركزية للقطاع الصغير هي $90^\circ$، والتي تساوي $\frac{\pi}{2}$ راديان.
$L = 5 \times \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2} \approx \frac{5 \times 3.14159}{2} \approx 7.85$ سم.
أقرب قيمة من الخيارات هي 7.5.

طول القوس L يُحسب بالصيغة $L = r \theta$ حيث r هو نصف القطر و$\theta$ هي الزاوية المركزية بالراديان. من الشكل، نصف القطر r=2 بوصة، والزاوية المركزية $\theta = 60^\circ$.
نحول الزاوية إلى الراديان: $60^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3}$ راديان.
إذن، $L = 2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ بوصة.

مساحة القطاع الدائري A تُحسب بالصيغة $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ حيث r هو نصف القطر و$\theta$ هي الزاوية المركزية بالراديان. من الشكل، نصف القطر r=3 سم، والزاوية المركزية $\theta = \frac{7\pi}{8}$ راديان.
إذن، $A = \frac{1}{2} (3)^2 \left( \frac{7\pi}{8} \right) = \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{7\pi}{8} = \frac{63\pi}{16}$ سم^2.

الدالة $\tan \theta$ هي مقلوب الدالة $\cot \theta$.
بما أن $\cot \theta = 1$، فإن $\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta} = \frac{1}{1} = 1$.

بما أن $\sec \theta = \frac{25}{7}$، فإن $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{7}{25}$.
نستخدم المتطابقة المثلثية $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$:
$\sin^2 \theta + \left( \frac{7}{25} \right)^2 = 1$
$\sin^2 \theta + \frac{49}{625} = 1$
$\sin^2 \theta = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}$
بما أن $\theta$ زاوية حادة، فإن $\sin \theta$ موجب. إذن، $\sin \theta = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.

للتحويل من الدرجات إلى الراديان، نضرب قيمة الزاوية بالدرجات في معامل التحويل $\frac{\pi}{180}$.
$56^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{56\pi}{180}$.
بتبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على 4، نحصل على $\frac{14\pi}{45}$ راديان.

إذا كانت النقطة (x, y) تقع على ضلع الانتهاء لزاوية في الوضع القياسي، فإن $\cot \theta = \frac{x}{y}$.
هنا x=6 و y=-8.
إذن، $\cot \theta = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$.

الدالة $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$. الزاوية $4\pi$ تكافئ 0 راديان في دائرة الوحدة.
إذن، $\sec(4\pi) = \sec(0) = \frac{1}{\cos(0)} = \frac{1}{1} = 1$.

لإيجاد زاوية المرجع، نبدأ بإيجاد زاوية مشتركة في الدورة الأولى موجبة للزاوية $-\frac{7\pi}{3}$:
$-\frac{7\pi}{3} = -2\pi - \frac{\pi}{3}$.
إضافة $2\pi$ (أو مضاعفاتها) للحصول على زاوية موجبة: $- \frac{7\pi}{3} + 4\pi = - \frac{7\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.
الزاوية $\frac{5\pi}{3}$ تقع في الربع الرابع. زاوية المرجع في الربع الرابع هي $2\pi - \theta$.
زاوية المرجع $= 2\pi - \frac{5\pi}{3} = \frac{6\pi - 5\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.