اختبار اختيار من متعدد تفاعلي: هيكل الدوال النسبية (التقارب)

شرح: نساوي المقام بالصفر: $x - 4 = 0 \implies x = 4$.

شرح: بما أن درجتي البسط والمقام متساويتان، فإن خط التقارب الأفقي هو نسبة المعاملات الرئيسية، أي $y = \frac{2}{1} = 2$.

شرح: مجال الدالة الكسرية هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء القيم التي تجعل المقام صفراً. نساوي المقام بالصفر: $x - 3 = 0 \implies x = 3$. لذا المجال هو $\mathbb{R} \setminus \{3\}$.

شرح: نحلل البسط إلى x²-4 = (x-2)(x+2). تصبح الدالة $f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+3)}$. بما أن العامل (x-2) موجود في البسط والمقام ويمكن اختصاره، فإنه يشكل فجوة عند $x-2=0 \implies x=2$.

شرح: بما أن درجة البسط (1) أصغر من درجة المقام (2)، فإن خط التقارب الأفقي هو y = 0.

شرح: نقسم البسط على المقام قسمة مطولة: $x^2+2x+1 \div x = x+2+\frac{1}{x}$. الجزء الخطي من الناتج هو معادلة التقارب المائل، وهي y = x+2.

شرح: الدالة $f(x) = \frac{1}{x} + 3$ هي تحويل للدالة الأساسية $y = \frac{1}{x}$ بإزاحتها 3 وحدات للأعلى. خط التقارب الأفقي للدالة الأساسية هو y=0، وبعد الإزاحة يصبح y=3. المدى هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء قيمة خط التقارب الأفقي، أي $y \neq 3$.

شرح: لإيجاد المقطع السيني، نساوي البسط بالصفر: x²-x-6 = 0. نحلل المعادلة التربيعية: (x-3)(x+2) = 0. إذن، x=3 أو x=-2. يجب التأكد من أن هذه القيم لا تجعل المقام صفراً، وفي هذه الحالة، المقام x+1 لا يساوي صفراً عند x=3 أو x=-2.

شرح: لإيجاد المقطع الصادي، نضع x=0 في الدالة: $f(0) = \frac{2(0)-4}{0+2} = \frac{-4}{2} = -2$.

شرح: ليكون هناك تقارب رأسي عند x=-2, يجب أن يكون المقام صفراً عند x=-2 والبسط ليس صفراً، وهذا يتحقق في الخيار A (x+2=0). ليكون هناك تقارب أفقي عند y=0, يجب أن تكون درجة البسط أقل من درجة المقام، وهذا يتحقق أيضاً في الخيار A (درجة البسط 0 ودرجة المقام 1).

شرح: بما أن التغير عكسي فإن العلاقة هي $y = \frac{k}{x}$. باستخدام القيم المعطاة y=4, x=3: $4 = \frac{k}{3} \implies k = 12$. إذن، معادلة التغير هي $y = \frac{12}{x}$. لإيجاد y عند x=6: $y = \frac{12}{6} = 2$.

شرح: بما أن التغير مشترك، فإن العلاقة هي z = kxy. باستخدام القيم المعطاة z=20, x=5, y=2: $20 = k(5)(2) \implies 20 = 10k \implies k = 2$. إذن، معادلة التغير هي z = 2xy. لإيجاد z عند x=4, y=3: z = 2(4)(3) = 24.

شرح: التغير يكون على الصورة $y = \frac{kz}{x}$. باستخدام القيم المعطاة y = 5, x = 4, z = 10: $5 = \frac{k \cdot 10}{4} \implies 20 = 10k \implies k = 2$. إذن المعادلة هي $y = \frac{2z}{x}$. عند x = 1, z = 2: $y = \frac{2 \cdot 2}{1} = 4$.

شرح: نفرض سرعة التيار c. سرعة السفينة ضد التيار هي (10-c) وسرعتها مع التيار هي (10+c). بما أن الزمن متساوٍ، فإن $\frac{\text{المسافة ضد التيار}}{\text{السرعة ضد التيار}} = \frac{\text{المسافة مع التيار}}{\text{السرعة مع التيار}}$. إذن: $\frac{20}{10-c} = \frac{30}{10+c}$. بالضرب التبادلي: $20(10+c) = 30(10-c) \implies 200+20c = 300-30c \implies 50c = 100 \implies c = 2$ كم/ساعة.

شرح: سلوك طرفي الدالة الكسرية يُحدد بواسطة خط التقارب الأفقي. بما أن درجة البسط (2) تساوي درجة المقام (2)، فإن خط التقارب الأفقي هو نسبة المعاملات الرئيسية لأعلى حد في البسط والمقام: $y = \frac{3}{1} = 3$. لذا، عندما $x \to \pm \infty$, فإن $f(x) \to 3$.

شرح: نحلل البسط والمقام: $f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{(x+3)(x-2)}$. بما أن العامل (x-2) يُلغى من البسط والمقام، فهناك فجوة عند $x-2=0 \implies x=2$. بما أن العامل (x+3) يبقى في المقام، فهناك تقارب رأسي عند $x+3=0 \implies x=-3$.

شرح: عند جمع الكسور ذات المقامات الموحدة، نجمع البسطين ونحتفظ بالمقام نفسه.

شرح: نحلل البسط باستخدام قانون فرق المربعين: x²-y² = (x-y)(x+y). ثم نختصر العامل المتشابه في البسط والمقام: $\frac{(x-y)(x+y)}{x-y} = x+y$ (مع افتراض أن $x \neq y$).

شرح: كمية الحمض الأصلية = 10 × 0.20 = 2 لتر. نفرض أننا أضفنا x لتراً من الحمض النقي. إذن الكمية الجديدة من الحمض = 2+x. الحجم الكلي الجديد = 10+x. النسبة المئوية الجديدة المطلوبة هي 50%، لذا: $\frac{2+x}{10+x} = 0.5$. بضرب الطرفين في 10+x: $2+x = 0.5(10+x) \implies 2+x = 5+0.5x \implies 0.5x = 3 \implies x = 6$ لتر.

شرح: المعادلة الكسرية تساوي صفراً إذا كان البسط يساوي صفراً والمقام لا يساوي صفراً. في هذه المعادلة، البسط هو 1، وهو لا يمكن أن يكون صفراً أبداً. لذا، لا يوجد حل لهذه المعادلة.