نظرية ذات الحدين ومثلث باسكال
الفكرة العامة
نظرية ذات الحدين تساعدنا على توسيع تعبيرات مثل (a+b)^n دون ضرب طويل وممل. عندما يكون الأس صغيرًا، يمكن الضرب يدويًا، لكن عند (x+2)7 مثلًا يصبح الضرب اليدوي وصفة ممتازة لإضاعة الوقت. هنا تأتي نظرية ذات الحدين ومثلث باسكال.
مثلث باسكال
مثلث باسكال يبدأ بالعدد 1 في القمة، وكل صف جديد يبدأ وينتهي بـ 1، وكل عدد داخلي يساوي مجموع العددين فوقه مباشرة. الصفوف الأولى هي: 1، ثم 1 1، ثم 1 2 1، ثم 1 3 3 1، ثم 1 4 6 4 1. هذه الأعداد هي معاملات التوسع في (a+b)^n.
الصيغة العامة
نظرية ذات الحدين تكتب بالشكل: \((a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k}b^k\). الرمز \(\binom{n}{k}\) يمثل المعامل الثنائي، ويحسب غالبًا من العلاقة \(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\).
مثال محلول 1
وسع (x+3)4. معاملات الصف الرابع في مثلث باسكال هي: 1، 4، 6، 4، 1. إذن: (x+3)4=x4+4x3(3)+6x2(32)+4x(33)+34. بالتبسيط: x4+12x3+54x2+108x+81.
مثال محلول 2
أوجد الحد الذي يحتوي على x3 في توسع (2x-1)5. الحد العام هو \(\binom{5}{k}(2x)^{5-k}(-1)^k\). نريد أس x أن يكون 3، إذن 5-k=3 ومنه k=2. الحد المطلوب: \(\binom{5}{2}(2x)^3(-1)^2=10\cdot8x^3=80x^3\).
استخدامات مهمة
تستخدم نظرية ذات الحدين في الجبر، الاحتمالات، المتتاليات، وبعض مسائل التفاضل والتكامل. في الاختبارات، تظهر غالبًا بصيغتين: توسيع مقدار كامل، أو إيجاد حد معين دون كتابة التوسع كله. الصيغة الثانية أهم؛ لأنها تختبر الفهم لا القدرة على كتابة سبعة حدود بملل نبيل.
تنبيهات
إذا كان الحد الثاني سالبًا مثل (a-b)^n، فالإشارات تتناوب. لا تنس رفع كل حد للقوة المناسبة، ولا تخلط بين رقم الصف في مثلث باسكال وقيمة الأس: الأس n يقابله الصف الذي يبدأ من n=0.