كويز تفاعلي: الأسئلة الموضوعية لهيكل الرياضيات 12 متقدم - الفصل الثالث 2025-2026
🖨️
طباعة
مجموعة من الأسئلة الموضوعية المختارة من هيكل مادة الرياضيات للصف الثاني عشر المتقدم، تتناول موضوعات التكامل غير المحدد والتكامل المحدود وحساب المساحات بين المنحنيات.
يرجى الانتباه إلى أن المعلم قام بإعداد الأسئلة فقط، ولم يقم بإعداد الإجابات أو الشروحات المرفقة. وقد تم توليد الإجابات باستخدام تقنيات الذكاء الاصطناعي، لذلك قد تتضمن بعض الأخطاء أو عدم الدقة.
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int \sin x (\cos x + 3)^{\frac{3}{4}} dx$
أ
$-\frac{2}{7}(\cos x + 3)^{\frac{7}{2}} + c$
ب
$\frac{4}{7}(\cos x + 3)^{\frac{7}{4}} + c$
ج
$-\frac{4}{7}(\cos x + 3)^{\frac{7}{4}} + c$
د
$-\frac{7}{4}(\cos x + 3)^{\frac{7}{4}} + c$
تفسير الإجابة
نستخدم التعويض بوضع u = cos x + 3 ومنه du = -sin x dx ، فيصبح التكامل $\int -u^{3/4} du = -\frac{u^{7/4}}{7/4} + c = -\frac{4}{7}(\cos x + 3)^{\frac{7}{4}} + c$.
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int x e^{x^2+1} dx$
أ
$\frac{1}{2} e^{x^2+1} + c$
ب
$\frac{1}{2} x e^{x^2+1} + c$
ج
$\frac{3}{2} e^{x^2+1} + c$
د
2 ex2 +1 + c
تفسير الإجابة
نستخدم التعويض بوضع u = x2 +1 ومنه du = 2x dx ، فيصبح التكامل $\frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + c = \frac{1}{2} e^{x^2+1} + c$.
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int e^x \sqrt{e^x + 1} dx$
أ
$\frac{1}{2}(e^x + 1)^{\frac{3}{2}} + c$
ب
$\frac{2}{3}(e^x + 1)^{\frac{3}{2}} + c$
ج
$\frac{3}{2}(e^x + 1)^{\frac{3}{2}} + c$
د
$\frac{2}{3}(e^x + 1)^{\frac{2}{3}} + c$
تفسير الإجابة
بوضع u = e^x + 1 يكون du = e^x dx . التكامل يصبح $\int u^{1/2} du = \frac{2}{3} u^{3/2} + c = \frac{2}{3}(e^x + 1)^{\frac{3}{2}} + c$.
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx$
أ
$\frac{1}{2 e^{\sqrt{x}}} + c$
ب
$\frac{1}{2} e^{\sqrt{x}} + c$
ج
$\frac{2}{e^{\sqrt{x}}} + c$
د
$2 e^{\sqrt{x}} + c$
تفسير الإجابة
بوضع $u = \sqrt{x}$ يكون $du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$، أي $2 du = \frac{1}{\sqrt{x}} dx$. التكامل يصبح $\int 2 e^u du = 2 e^u + c = 2 e^{\sqrt{x}} + c$.
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int \frac{\cos(1/x)}{x^2} dx$
أ
$-\sin \frac{1}{x^2} + c$
ب
$-\sin \frac{1}{x} + c$
ج
$\sin \frac{1}{x} + c$
د
$\sin \frac{1}{x^2} + c$
تفسير الإجابة
بوضع u = 1/x يكون du = -1/x2 dx . التكامل يصبح $-\int \cos(u) du = -\sin(u) + c = -\sin(1/x) + c$.
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int \sin^5 x \cos x dx$
أ
$-\frac{\sin^6 x}{6} + c$
ب
$\frac{\sin^6 x}{6} + c$
ج
$-\frac{\cos^6 x}{6} + c$
د
6 sin5 x cos x + c
تفسير الإجابة
بما أن cos x هي مشتقة sin x ، فإن التكامل هو على صورة $\int u^5 du$ حيث u = sin x . النتيجة هي $\frac{u^6}{6} + c$.
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$
أ
$-2 \sin \sqrt{x} + c$
ب
$-2 \cos \sqrt{x} + c$
ج
$2 \sin \sqrt{x} + c$
د
$2 \cos \sqrt{x} + c$
تفسير الإجابة
بالتعويض $u = \sqrt{x}$، يكون $du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$. التكامل يصبح $\int 2 \sin u du = -2 \cos u + c = -2 \cos \sqrt{x} + c$.
أوجد قيمة التكامل $\int \frac{x^5}{1 + x^6} dx$
أ
$\ln |\frac{x^5}{1 + x^6}| + c$
ب
$\frac{1}{5} \ln |1 + x^5| + c$
ج
$\ln |1 + x^6|^{\frac{1}{6}} + c$
د
$\frac{1}{6} x^6 \ln |x| + c$
تفسير الإجابة
مشتقة المقام هي 6x5 . نوفر الثابت 6 في البسط، فتكون النتيجة $\frac{1}{6} \ln |1+x^6| + c$ وهي تكافئ $\ln |1+x^6|^{1/6} + c$ حسب قوانين اللوغاريتمات.
أوجد قيمة التكامل $\int \frac{x^2}{1 + x^6} dx$
أ
tan-1 x3 + c
ب
$\tan^{-1} \frac{x^3}{3} + c$
ج
$\frac{1}{3} \tan^{-1} x^3 + c$
د
tan-1 x + c
تفسير الإجابة
نكتب المقام على شكل 1 + (x3 )2 . بالتعويض u = x3 يكون du = 3x2 dx ، فيصبح التكامل $\frac{1}{3} \int \frac{du}{1+u^2} = \frac{1}{3} \tan^{-1} u + c$.
أوجد قيمة التكامل $\int \frac{3\sqrt{x}}{1 + x^3} dx$
أ
$\tan^{-1} x^{\frac{3}{2}} + c$
ب
$\frac{1}{2} \tan^{-1} x^{\frac{2}{3}} + c$
ج
$\frac{1}{2} \tan^{-1} x^{\frac{3}{2}} + c$
د
$2 \tan^{-1} x^{\frac{3}{2}} + c$
تفسير الإجابة
نكتب المقام 1 + (x3/2 )2 . بوضع u = x3/2 يكون $du = \frac{3}{2} x^{1/2} dx = \frac{3}{2} \sqrt{x} dx$، أي $2 du = 3\sqrt{x} dx$. التكامل هو $2 \int \frac{du}{1+u^2} = 2 \tan^{-1} x^{3/2} + c$.
أوجد قيمة التكامل $\int \frac{x\sqrt{x}}{1 + x^5} dx$
أ
$\frac{2}{5} \tan^{-1} x^{\frac{5}{2}} + c$
ب
$\frac{5}{2} \tan^{-1} x^{\frac{5}{2}} + c$
ج
$\frac{1}{5} \tan^{-1} x^{\frac{5}{2}} + c$
د
$\frac{1}{2} \tan^{-1} x^{\frac{5}{2}} + c$
تفسير الإجابة
نلاحظ أن $x\sqrt{x} = x^{3/2}$ والمقام 1 + (x5/2 )2 . بالتعويض u = x5/2 يكون $du = \frac{5}{2} x^{3/2} dx$. النتيجة هي $\frac{2}{5} \tan^{-1} x^{5/2} + c$.
أوجد قيمة التكامل المحدود $\int_0^2 \frac{e^x}{1 + e^{2x}} dx$
أ
$\tan^{-1} e^2 - \frac{\pi}{2}$
ب
$\frac{\pi}{4} \tan^{-1} e^2$
ج
$\frac{1}{5} \tan^{-1} e^2 - \frac{\pi}{4}$
د
$\tan^{-1} e^2 - \frac{\pi}{4}$
تفسير الإجابة
نستخدم التعويض u = e^x . حدود التكامل تصبح من e0 =1 إلى e2 . التكامل هو $[\tan^{-1} u]_1^{e^2} = \tan^{-1} e^2 - \tan^{-1} 1 = \tan^{-1} e^2 - \pi/4$.
أوجد قيمة التكامل غير المحدد $\int \frac{36x + 18}{1 + 9x + 9x^2} dx$
أ
$\ln |9x^2 + 9x + 1| + c$
ب
$2 \ln |9x^2 + 9x + 1| + c$
ج
$2 \ln |36x + 18| + c$
د
2 (9x2 + 9x + 1) + c
تفسير الإجابة
مشتقة المقام هي 18x + 9 . البسط هو 2(18x + 9) . التكامل هو $2 \ln |\text{المقام}| + c$.
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيات
y = x2 - 1 و
y = 7 - x2
أ
$A = \frac{1}{3}$
ب
$A = \frac{64}{3}$
ج
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3}$
د
$A = \frac{27}{4}$
تفسير الإجابة
نقاط التقاطع عند $x^2-1 = 7-x^2 \Rightarrow 2x^2=8 \Rightarrow x=\pm 2$. المساحة هي $\int_{-2}^2 (7-x^2 - (x^2-1)) dx = \int_{-2}^2 (8-2x^2) dx = [8x - \frac{2}{3}x^3]_{-2}^2 = 64/3$.
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيات
y = x2 - 1 و $y = \frac{1}{2} x^2$
أ
$A = \frac{1}{3}$
ب
$A = \frac{64}{3}$
ج
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3}$
د
$A = \frac{27}{4}$
تفسير الإجابة
نقاط التقاطع عند $x^2-1 = 0.5x^2 \Rightarrow 0.5x^2=1 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$. المساحة هي $\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (0.5x^2 - (x^2-1)) dx = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (1 - 0.5x^2) dx = \frac{4\sqrt{2}}{3}$.
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيات
y = x3 و
y = 3x + 2
أ
$A = \frac{1}{3}$
ب
$A = \frac{64}{3}$
ج
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3}$
د
$A = \frac{27}{4}$
تفسير الإجابة
نقاط التقاطع عند x3 = 3x+2 هي x=-1 و x=2 . المساحة هي $\int_{-1}^2 (3x+2-x^3) dx = 27/4$.
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيات
y = x2 و $y = \sqrt{x}$
أ
$A = \frac{1}{3}$
ب
$A = \frac{64}{3}$
ج
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3}$
د
$A = \frac{27}{4}$
تفسير الإجابة
نقاط التقاطع عند x=0, 1 . المساحة هي $\int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) dx = [\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^3]_0^1 = 1/3$.
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيات
y = x2 و
y = 2 - x2
أ
$A = \int_0^1 (2 - 2x^2) dx + \int_1^2 (2x^2 - 2) dx$
ب
$A = \int_0^1 (2x^2 - 1) dx + \int_1^2 (2 - 2x^2) dx$
ج
$A = \int_0^1 x^2 dx + \int_1^2 (2x^2 - 2) dx$
د
$A = \int_0^2 (2 - 2x^2) dx$
تفسير الإجابة
حسب التمثيل البياني الموضح، تتقاطع المنحنيات عند x=1 . من 0 إلى 1 يكون 2-x2 هو الأعلى، ومن 1 إلى 2 يكون x2 هو الأعلى. المساحة هي مجموع التكاملين الموضحين في الخيار الأول.
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيات
y = x و
y = x2
أ
$A = \int_{-1}^1 (x - x^2) dx$
ب
$A = \int_0^1 (x^2 - x) dx$
ج
$A = \int_0^1 (x - x^2) dx$
د
$A = \int_{-1}^1 (x^2 - x) dx$
تفسير الإجابة
المنطقة المظللة محصورة بين x=0 و x=1 حيث المنحنى y=x يقع فوق y=x2 .
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيات
x = 5y و
x = 4 + y2
أ
$A = \int_1^4 (5y - (4 + y^2)) dy$
ب
$A = \int_5^{20} ((4 + y^2) - 5y) dy$
ج
$A = \int_5^{20} (5x - (4 + x^2)) dx$
د
$A = \int_1^4 ((4 + x^2) - 5x) dx$
تفسير الإجابة
بالتكامل بالنسبة لـ y ، تتقاطع المنحنيات عند y=1, 4 . المساحة هي تكامل الفرق بين المنحنى الأيمن (الأكبر x ) والمنحنى الأيسر (الأصغر x )، أي 5y - (4+y2 ) .
متابعة النتيجة
تمت الإجابة
0 / 20
الإجابات الصحيحة
0
الإجابات الخاطئة
0
النسبة الحالية
0%
انتهى الاختبار
هذه نتيجتك النهائية بعد الإجابة عن جميع الأسئلة.
النتيجة النهائية
0/20
0%
الإجابات الصحيحة
0
الإجابات الخاطئة
0
الأسئلة المجابة
0 / 20
إجمالي النقاط الممكنة
20
يمكنك إعادة فتح الصفحة لبدء المحاولة من جديد.
