كويز تفاعلي: تكامل ريمان وخواص التكامل المحدود
🖨️
طباعة
الأسئلة الموضوعية (اختيار من متعدد) لمادة الرياضيات المتقدمة - الصف الثاني عشر.
يرجى الانتباه إلى أن المعلم قام بإعداد الأسئلة فقط، ولم يقم بإعداد الإجابات أو الشروحات المرفقة. وقد تم توليد الإجابات باستخدام تقنيات الذكاء الاصطناعي، لذلك قد تتضمن بعض الأخطاء أو عدم الدقة.
اكتب التكامل المحدد $\int_a^b f(x) dx$ على صورة نهاية مجموع ريمان.
أ
$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i)$
ب
$\lim_{n \to c} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$
ج
$\sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$
د
$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$
تفسير الإجابة
التكامل المحدود يعرف بأنه نهاية مجموع ريمان عندما يقترب عدد المستطيلات من اللانهاية.
إذا كان $\int_2^6 f(x) dx = 5$، أوجد قيمة $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$ على الفترة [2, 6] .
تفسير الإجابة
نهاية مجموع ريمان على الفترة المعطاة تساوي قيمة التكامل المحدود لنفس الدالة على نفس الفترة.
إذا كان $\int_1^4 (f(x) - 3) dx = 2$، أوجد قيمة $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$ على الفترة [1, 4] .
تفسير الإجابة
من خواص التكامل: $\int_1^4 f(x) dx - \int_1^4 3 dx = 2 \Rightarrow \int_1^4 f(x) dx - 3(4-1) = 2 \Rightarrow \int_1^4 f(x) dx - 9 = 2 \Rightarrow \int_1^4 f(x) dx = 11$.
اكتب التكامل المحدد $\int_0^1 2x dx$ على صورة نهاية مجموع ريمان.
أ
$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{2i}{n^2}$
ب
$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{2i}{n}$
ج
$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{4i}{n^2}$
د
$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n 2i$
تفسير الإجابة
هنا $\Delta x = \frac{1-0}{n} = \frac{1}{n}$ و $x_i = \frac{i}{n}$. الدالة $f(x_i) = 2(\frac{i}{n})$. المجموع هو $\sum f(x_i) \Delta x = \sum 2(\frac{i}{n}) \frac{1}{n} = \frac{2i}{n^2}$.
اكتب التكامل المحدد $\int_0^2 (x^2 - 2) dx$ على صورة نهاية مجموع ريمان.
أ
$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n (\frac{2i^2}{n^2} - 2) \frac{2}{n}$
ب
$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n (\frac{i^2}{n^2} - 2) \frac{2}{n}$
ج
$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n (\frac{4i^2}{n^2} - 2) \frac{2}{n}$
د
$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n (\frac{4i^2}{n^4})$
تفسير الإجابة
هنا $\Delta x = \frac{2}{n}$ و $x_i = \frac{2i}{n}$. الدالة $f(x_i) = (\frac{2i}{n})^2 - 2 = \frac{4i^2}{n^2} - 2$.
إذا كان $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x = 8$ على الفترة [3, 7] ، أوجد قيمة $\int_7^3 2f(x) dx$.
تفسير الإجابة
المعطى هو $\int_3^7 f(x) dx = 8$. المطلوب $\int_7^3 2f(x) dx = 2 \int_7^3 f(x) dx = 2 (- \int_3^7 f(x) dx) = 2(-8) = -16$.
أي التكالملات المحددة الآتية يمثلها نهاية مجموع ريمان $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n (5c_i + 4) \Delta x$ على الفترة [-1, 2] ؟
أ
$\int_{-1}^2 (5x - 4) dx$
ب
$\int_2^{-1} (5x + 4) dx$
ج
$\int_{-1}^2 (4x + 5) dx$
د
$\int_{-1}^2 (5x + 4) dx$
تفسير الإجابة
الدالة هي f(x) = 5x + 4 وحدود التكامل هي من -1 إلى 2 .
أي التكالملات المحددة الآتية يمثلها نهاية مجموع ريمان $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (\frac{2i^2}{n^2})$؟
أ
$\int_0^2 x^2 dx$
ب
$\int_0^2 2x dx$
ج
$\int_0^1 2x^2 dx$
د
$\int_1^0 2x^2 dx$
تفسير الإجابة
نلاحظ أن $\Delta x = 1/n$ (مما يشير لفترة طولها 1 تبدأ من 0) و x_i = i/n . الدالة هي f(x) = 2x2 .
أي التكالملات المحددة الآتية يمثلها نهاية مجموع ريمان $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sin(\frac{\pi i}{n})$؟
أ
$\int_0^1 \sin(\pi x) dx$
ب
$\int_0^\pi \sin(\pi x) dx$
ج
$\int_0^1 \cos(\pi x) dx$
د
$\int_0^\pi \sin(x) dx$
تفسير الإجابة
باعتبار $\Delta x = 1/n$ و x_i = i/n على الفترة [0,1] ، فإن الدالة تكون $\sin(\pi x)$.
بفرض أن $\int_1^3 f(x) dx = 3$ و $\int_1^3 g(x) dx = -2$، أوجد قيمة $\int_1^3 [f(x) + g(x)] dx$.
تفسير الإجابة
من خاصية الجمع: $\int (f+g) = \int f + \int g = 3 + (-2) = 1$.
بفرض أن $\int_1^3 f(x) dx = 4$ و $\int_1^3 g(x) dx = -3$، أوجد قيمة $4 \int_1^3 f(x) dx - 3 \int_1^3 g(x) dx$.
تفسير الإجابة
بتعويض القيم: 4(4) - 3(-3) = 16 + 9 = 25 .
بفرض أن $\int_1^3 f(x) dx = 4$ و $\int_1^3 g(x) dx = -3$، أوجد قيمة $\int_1^3 [2g(x) - 5f(x)] dx$.
تفسير الإجابة
بتعويض القيم: 2(-3) - 5(4) = -6 - 20 = -26 .
بفرض أن $\int_2^4 f(x) dx = -5$ و $\int_2^4 g(x) dx = 3$، أوجد قيمة $\int_2^4 [4g(x) - 3f(x)] dx$.
تفسير الإجابة
بتعويض القيم: 4(3) - 3(-5) = 12 + 15 = 27 .
بفرض أن $\int_1^4 f(x) dx = 5$ و $\int_1^4 g(x) dx = -3$، أوجد قيمة $\int_1^4 [2f(x) - g(x)] dx$.
تفسير الإجابة
بتعويض القيم: 2(5) - (-3) = 10 + 3 = 13 .
اكتب التعبير الآتي في صورة تكامل منفرد: $\int_0^5 f(x) dx - \int_2^5 f(x) dx$.
أ
$\int_5^2 f(x) dx$
ب
$\int_0^2 f(x) dx$
ج
$\int_2^5 f(x) dx$
د
$\int_0^5 f(x) dx$
تفسير الإجابة
بما أن الفترة [0,5] مقسمة إلى [0,2] و [2,5] ، فإن التكامل من 0 إلى 5 مطروحاً منه التكامل من 2 إلى 5 يترك التكامل على الفترة من 0 إلى 2.
متابعة النتيجة
تمت الإجابة
0 / 15
الإجابات الصحيحة
0
الإجابات الخاطئة
0
النسبة الحالية
0%
انتهى الاختبار
هذه نتيجتك النهائية بعد الإجابة عن جميع الأسئلة.
النتيجة النهائية
0/15
0%
الإجابات الصحيحة
0
الإجابات الخاطئة
0
الأسئلة المجابة
0 / 15
إجمالي النقاط الممكنة
15
يمكنك إعادة فتح الصفحة لبدء المحاولة من جديد.
