اختبار اختيار من متعدد تفاعلي: هيكل الرياضيات - التكامل بالتعويض، التعويض المثلثي
مراجعة شاملة لأسئلة الهيكل الوزاري في مادة الرياضيات للصف الثاني عشر المتقدم للفصل الدراسي الثالث. تتضمن المجموعة تمارين مكثفة على طرق التكامل المختلفة مثل التكامل بالتعويض، التعويض المثلثي، وتفكيك الكسور الجزئية. تهدف هذه الأسئلة إلى تعزيز مهارات الحل السريع والدقيق في موضوعات التكامل المحددة وغير المحددة.
🏆 انضم إلى التحدي واحصل على ترتيبك
اختبار شهادة تدريبي مؤقت للصف والمادة والفصل نفسه.
اختر إجابة واحدة لكل سؤال. عند الاختيار ستظهر النتيجة فورًا: الأخضر صحيح، والأحمر خطأ، وسيظهر تفسير الإجابة مباشرة إن كان متوفرًا. وبعد آخر سؤال ستظهر الدرجة النهائية تلقائيًا.
جد قيمة التكامل: $\int_0^{\pi/2} \cos^2 x \sin x dx$
تفسير الإجابة
باستخدام التعويض u = cos x يكون du = -sin x dx. عند x=0 فإن u=1 وعند $x=\pi/2$ فإن u=0. التكامل يصبح $-\int_1^0 u^2 du = \int_0^1 u^2 du = [\frac{u^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{3}$.
السؤال 2
النقاط: 1
جد قيمة التكامل: $\int_{-\pi/2}^0 \cos^3 x \sin x dx$
تفسير الإجابة
بالتعويض u = cos x فإن du = -sin x dx. حدود التكامل تصبح من 0 إلى 1. التكامل هو $-\int_0^1 u^3 du = -[\frac{u^4}{4}]_0^1 = -1/4$.
السؤال 3
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل المثلثي المحدد: $\int_0^{\pi/4} (\sin x - \cos x) dx$
تفسير الإجابة
تكامل sin x هو -cos x وتكامل -cos x هو -sin x. بالتعويض في الحدود: $(-\cos(\pi/4) - \sin(\pi/4)) - (-\cos(0) - \sin(0)) = (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) - (-1 - 0) = -\sqrt{2} + 1$.
السؤال 4
النقاط: 1
أوجد قيمة a إذا كان: $\int_0^a \tan^4 x \sec^2 x dx = \frac{1}{5}$
تفسير الإجابة
تكامل الدالة هو $\frac{\tan^5 x}{5}$. بالتعويض بالحدود: $\frac{\tan^5 a}{5} = \frac{1}{5}$ مما يعني tan5 a = 1 أي tan a = 1 ومنه $a = \pi/4$.
السؤال 5
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل: $\int \cos^4 x \sin x dx$
تفسير الإجابة
باستخدام التعويض u = cos x يكون du = -sin x dx. التكامل يصبح $-\int u^4 du = -\frac{u^5}{5} + c = -\frac{\cos^5 x}{5} + c$.
السؤال 6
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل: $\int \tan x \sec^5 x dx$
تفسير الإجابة
نعيد كتابة التكامل كـ $\int \sec^4 x (\sec x \tan x) dx$. بفرض $u = \sec x$ فإن $du = \sec x \tan x dx$. التكامل يصبح $\int u^4 du = \frac{u^5}{5} + c = \frac{\sec^5 x}{5} + c$.
السؤال 7
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل غير المحدود: $\int (\sin^2 x + \cos^2 x + 1) dx$
تفسير الإجابة
بما أن sin2 x + cos2 x = 1 فإن التكامل يصبح $\int (1 + 1) dx = \int 2 dx = 2x + c$.
السؤال 8
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل: $\int \frac{1}{1 + 4x^2} dx$
تفسير الإجابة
التكامل على صورة $\int \frac{1}{1 + (2x)^2} dx$. بفرض u = 2x فإن du = 2 dx. التكامل يصبح $\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + u^2} du = \frac{1}{2} \tan^{-1}(u) + c = \frac{1}{2} \tan^{-1}(2x) + c$.
السؤال 9
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل: $\int \frac{2}{4 + 4x^2} dx$
تفسير الإجابة
بإخراج 4 عامل مشترك من المقام: $\int \frac{2}{4(1 + x^2)} dx = \frac{2}{4} \int \frac{1}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \tan^{-1} x + c$.
السؤال 10
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل حيث a > 0: $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$
تفسير الإجابة
هذه هي الصيغة القياسية لتكامل الدالة التي تعطي دالة الجيب العكسية $\sin^{-1}(\frac{x}{a}) + c$.
السؤال 11
النقاط: 1
أوجد قيمة الثابت a الذي يحقق المعادلة التالية: $\int \tan x \sec^a x dx = \frac{1}{3} \sec^3 x + c$
تفسير الإجابة
باشتقاق الطرف الأيمن: $\frac{d}{dx}(\frac{1}{3} \sec^3 x) = \frac{1}{3} \cdot 3 \sec^2 x \cdot (\sec x \tan x) = \sec^3 x \tan x$. وبمقارنتها بالدالة داخل التكامل نجد أن a = 3.
السؤال 12
النقاط: 1
أوجد قيمة التكامل حيث $m \neq 0$: $\int m \sin(mx) dx$
تفسير الإجابة
تكامل sin(mx) هو $-\frac{1}{m} \cos(mx)$. بضربه في الثابت m الموجود خارج الدالة المثلثية نحصل على -cos(mx) + c.
السؤال 13
النقاط: 1
ما التعويض الذي يمكن استخدامه لإيجاد قيمة التكامل: $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 25}} dx$؟
تفسير الإجابة
للتخلص من الجدار الذي يكون على صورة $\sqrt{x^2 - a^2}$ نستخدم التعويض المثلثي $x = a \sec \theta$. هنا a2 = 25 أي a = 5.
السؤال 14
النقاط: 1
جد قيمة التكامل المحدود باستخدام التعويض المثلثي: $\int_0^2 \sqrt{4 - x^2} dx$
تفسير الإجابة
هذا التكامل يمثل مساحة ربع دائرة نصف قطرها r=2. المساحة = $\frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi (2)^2 = \pi$.
إليك اختبارات إضافية لـ الصف الثاني عشر المتقدم بحسب الفصل الثالث والمادة رياضيات
لا يتم عرض هذا الجزء إلا عند النزول إليه، لتخفيف تحميل الصفحة.
...
🍪
إشعار ملفات تعريف الارتباط
يستخدم هذا الموقع ملفات تعريف الارتباط لتحسين تجربة التصفح وقياس الأداء وعرض المحتوى بشكل أفضل.
باستخدامك للموقع فإنك توافق على استخدامنا لها وفق
سياسة الخصوصية.
