المنطقة محصورة بواسطة
y = x2 و
y = 4 . ما حجم المجسم الناتج عن دوران المنطقة حول المحور
x = 2 ؟
أ
$V = \int_0^4 \pi [(4 + \sqrt{y})^2 - (4 - \sqrt{y})^2] dy$
ب
$V = \int_{-2}^2 \pi (4 - x^2)^2 dx$
ج
$V = \int_0^4 \pi [(2 + \sqrt{y})^2 - (2 - \sqrt{y})^2] dy$
د
$V = \int_0^4 \pi (\sqrt{y})^2 dy$
تفسير الإجابة
باستخدام طريقة الحلقات (Washers) حول محور رأسي x=2 ، نصف القطر الخارجي هو $2 - (-\sqrt{y}) = 2 + \sqrt{y}$ ونصف القطر الداخلي هو $2 - \sqrt{y}$ على الفترة من y=0 إلى y=4 .
ضع تكامل طول المنحنى ثم قربه بطريقة عددية للمنحنى: $y = 2x - x^2, 0 \le x \le 2$
أ
$\int_0^2 \sqrt{1 + (2x)^2} dx$
ب
$\int_0^2 \sqrt{1 + (2 - 2x)^2} dx$
ج
$\int_0^2 \sqrt{1 + (2x - x^2)^2} dx$
د
$\int_0^2 (1 + 2 - 2x) dx$
تفسير الإجابة
صيغة طول القوس هي $L = \int_a^b \sqrt{1 + (y')^2} dx$. بما أن y = 2x - x2 فإن $y' = 2 - 2x$.
ضع تكامل طول المنحنى للمنحنى: $y = \tan x, 0 \le x \le \frac{\pi}{4}$
أ
$\int_0^{\pi/4} \sqrt{1 + \sec^4 x} dx$
ب
$\int_0^{\pi/4} \sqrt{1 + \tan^2 x} dx$
ج
$\int_0^{\pi/4} \sec^2 x dx$
د
$\int_0^{\pi/4} \sqrt{1 + \sec^2 x} dx$
تفسير الإجابة
بما أن y = tan x فإن $y' = \sec^2 x$ ويكون $(y')^2 = \sec^4 x$.
ضع تكامل طول المنحنى للمنحنى: $y = \cos x, 0 \le x \le \pi$
أ
$\int_0^\pi \sqrt{1 + \sin^2 x} dx$
ب
$\int_0^\pi \sqrt{1 + \cos^2 x} dx$
ج
$\int_0^\pi \sqrt{1 - \sin^2 x} dx$
د
$\int_0^\pi (1 + \sin x) dx$
تفسير الإجابة
المشتقة $y' = -\sin x$ وبتربيعها نحصل على sin2 x .
ضع تكامل طول المنحنى للمنحنى: $y = \ln x, 1 \le x \le 3$
أ
$\int_1^3 \sqrt{1 + (\ln x)^2} dx$
ب
$\int_1^3 \sqrt{1 + \frac{1}{x}} dx$
ج
$\int_1^3 \frac{1}{x} dx$
د
$\int_1^3 \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} dx$
تفسير الإجابة
المشتقة $y' = 1/x$ وبتربيعها نحصل على 1/x2 .
أوجد طول القوس لجزء من المنحنى المعطى: y = sin(2x) للفترة $0 \le x \le \pi$
أ
$S = \int_0^\pi \sqrt{1 + 4 \cos^2(2x)} dx$
ب
$S = \int_0^\pi \sqrt{1 + 4 \cos(2x)} dx$
ج
$S = \int_0^\pi \sqrt{1 + 4 \sin(2x)} dx$
د
$S = \int_0^\pi \sqrt{1 + 4 \sin^2(2x)} dx$
تفسير الإجابة
المشتقة هي $y' = 2 \cos(2x)$ وتربيعها 4 cos2 (2x) .
أوجد طول القوس لجزء من المنحنى المعطى: y = 5x + 1 للفترة $0 \le x \le 2$
أ
$s = \sqrt{26}$
ب
$s = 2\sqrt{26}$
ج
$s = \pi\sqrt{26}$
د
$s = 2\pi\sqrt{26}$
تفسير الإجابة
$y' = 5$ وطول القوس هو $\int_0^2 \sqrt{1 + 25} dx = \int_0^2 \sqrt{26} dx = 2\sqrt{26}$.
حبل يتخذ شكل السلسلة الآتية y = 10(ex/20 + e-x/20 ) . احسب طوله للفترة [-20, 20] .
أ
s = 20(e - e-1 ) m
ب
s = 20(e-1 - e) m
ج
s = 10(e - e-1 ) m
د
s = 40(e - e-1 ) m
تفسير الإجابة
هذا طول منحنى دالة الكوشاين $y = 20\cosh(x/20)$. التكامل يعطي النتيجة 20(e - e-1 ) .
أوجد طول القوس لجزء من المنحنى المعطى: $y = 3x + 2, 0 \le x \le 2$
أ
$s = \sqrt{10}$
ب
$s = 2\sqrt{10}$
ج
$s = \sqrt{5}$
د
$s = 2\sqrt{5}$
تفسير الإجابة
$y' = 3$ وطول القوس هو $\int_0^2 \sqrt{1 + 9} dx = [x\sqrt{10}]_0^2 = 2\sqrt{10}$.
حدد تكامل طول القوس لجزء من المنحنى y = tan x للفترة $0 \le x \le \frac{\pi}{4}$
أ
$S = \int_0^{\pi/4} \sqrt{1 + \sec^4 x} dx$
ب
$S = \int_0^{\pi/4} (1 + \sec^4 x) dx$
ج
$S = \int_0^{\pi/4} \sqrt{1 + \sec^2 x} dx$
د
$S = \int_0^{\pi/4} \sqrt{1 + \tan^2 x} dx$
تفسير الإجابة
المشتقة هي $y' = \sec^2 x$ وبالتعويض في قانون طول القوس نحصل على الخيار الأول.
أوجد دالة المنحنى الذي يمر بالنقطة (1,1) وطول قوسه يعطى بالتكامل: $L = \int_1^x \sqrt{1 + \frac{1}{4x}} dx$
أ
$y = \sqrt{x}, y = -\sqrt{x} + 2$
ب
$y = \sqrt{x}, y = -\sqrt{x}$
ج
$y = \sqrt{x} + 2, y = -\sqrt{x} + 2$
د
$y = \sqrt{x} + 2, y = -\sqrt{x}$
تفسير الإجابة
نستنتج أن $(y')^2 = 1/(4x)$ أي $y' = 1/(2\sqrt{x})$، وبتكاملها وإيجاد ثابت التكامل باستخدام النقطة المعطاة نحصل على الدالتين.
احسب طول القوس بدقة للمنحنى المعطى ضمن الفترة: $y = \sqrt{1 - x^2}, 0.5 \le x \le 1$
أ
$\pi/6$
ب
$\pi/3$
ج
$3\pi/4$
د
$\pi$
تفسير الإجابة
المنحنى يمثل ربع دائرة، وطول القوس من x=0.5 إلى x=1 يقابل زاوية قياسها $60^\circ$ أو $\pi/3$ راديان.
ضع التكامل لمساحة السطح الناتج من الدوران حول المحور x للمنحنى: $y = x^3 - 4x, -2 \le x \le 0$
أ
$2\pi \int_{-2}^0 |x^3 - 4x| \sqrt{1 + (3x^2 - 4)^2} dx$
ب
$\pi \int_{-2}^0 (x^3 - 4x)^2 dx$
ج
$2\pi \int_{-2}^0 (x^3 - 4x) \sqrt{1 + (x^3 - 4x)^2} dx$
د
$2\pi \int_{-2}^0 (x^3 - 4x) \sqrt{1 + (3x^2 - 4)^2} dx$
تفسير الإجابة
صيغة مساحة سطح الدوران حول المحور x هي $S = 2\pi \int |y| \sqrt{1 + (y')^2} dx$.
ضع التكامل لمساحة السطح الناتج من الدوران حول المحور x للمنحنى: $y = e^x, 0 \le x \le 1$
أ
$2\pi \int_0^1 e^x \sqrt{1 + e^{2x}} dx$
ب
$\pi \int_0^1 e^{2x} dx$
ج
$2\pi \int_0^1 e^x \sqrt{1 + e^x} dx$
د
$2\pi \int_0^1 x \sqrt{1 + e^{2x}} dx$
تفسير الإجابة
المشتقة هي e^x ومربعها e2x ، ونصف القطر هو y = e^x .
ضع التكامل لمساحة السطح الناتج من الدوران حول المحور x للمنحنى: $y = \ln x, 1 \le x \le 2$
أ
$2\pi \int_1^2 x \sqrt{1 + 1/x^2} dx$
ب
$2\pi \int_1^2 \ln x \sqrt{1 + 1/x} dx$
ج
$\pi \int_1^2 (\ln x)^2 dx$
د
$2\pi \int_1^2 \ln x \sqrt{1 + 1/x^2} dx$
تفسير الإجابة
المشتقة هي 1/x وبالتعويض في قانون مساحة السطح $2\pi \int y \sqrt{1+(y')^2} dx$.
ضع التكامل لمساحة السطح الناتج من الدوران حول المحور x للمنحنى: $y = \cos x, 0 \le x \le \pi/2$
أ
$2\pi \int_0^{\pi/2} \cos x \sqrt{1 + \cos^2 x} dx$
ب
$2\pi \int_0^{\pi/2} \sin x \sqrt{1 + \cos^2 x} dx$
ج
$\pi \int_0^{\pi/2} \cos^2 x dx$
د
$2\pi \int_0^{\pi/2} \cos x \sqrt{1 + \sin^2 x} dx$
تفسير الإجابة
المشتقة هي -sin x ومربعها sin2 x ، ونصف قطر الدوران هو y = cos x .
حدد مساحة سطح متولد من تدوير المنحنى $y = \sqrt{2x}$ حول المحور x للفترة $1 \le x \le 2$.
أ
$S = \int_1^2 \sqrt{2x} \sqrt{1 + 1/(4x)} dx$
ب
$S = \int_1^2 2\pi \sqrt{2x} \sqrt{1 + 1/(2x^2)} dx$
ج
$S = \int_1^2 2\pi \sqrt{2x} \sqrt{1 + 1/(2x)} dx$
د
$S = \int_1^2 2\pi \sqrt{4 + 1/x} dx$
تفسير الإجابة
مشتقة $y = \sqrt{2x}$ هي $y' = 1/\sqrt{2x}$ ومربعها 1/(2x) .
حدد مساحة سطح متولد من تدوير المنحنى y = ln x حول المحور x للفترة $1 \le x \le 2$.
أ
$S = \int_1^2 4\pi \ln x \sqrt{1 + 1/x^2} dx$
ب
$S = \int_1^2 2 \ln x \sqrt{1 + 1/x^2} dx$
ج
$S = \int_1^2 2\pi \ln x \sqrt{1 + 1/x^2} dx$
د
$S = \int_1^2 2\pi \sqrt{1 + (\ln x)^2} dx$
تفسير الإجابة
التعويض المباشر في قانون مساحة السطح $2\pi \int y \sqrt{1+(y')^2} dx$.
أوجد مساحة السطح المتولد من تدوير المنحنى y = sin x حول المحور x للفترة $0 \le x \le \pi$.
أ
$\int_0^\pi 4\pi \sin x \sqrt{1 + \cos^2 x} dx$
ب
$\int_0^\pi \sin x \sqrt{1 + \cos^2 x} dx$
ج
$\int_0^\pi 2\pi \sin x \sqrt{1 + \cos^2 x} dx$
د
$\int_0^\pi 2\pi \cos x \sqrt{1 + \cos^2 x} dx$
تفسير الإجابة
نصف قطر الدوران هو y = sin x والمشتقة هي cos x .
حدد مساحة السطح المتولد من تدوير المنحنى y = x2 حول المحور x للفترة $0 \le x \le 1$.
أ
$S = \int_0^1 4\pi x \sqrt{1 + 2x} dx$
ب
$S = \int_0^1 4\pi x \sqrt{1 + (2x)^2} dx$
ج
$S = \int_0^1 2\pi x^2 \sqrt{1 + (2x)^2} dx$
د
$S = \int_0^1 2\pi x^2 \sqrt{1 + 2x} dx$
تفسير الإجابة
نصف القطر هو y = x2 والمشتقة 2x .
حدد تكامل مساحة السطح المتولد من الدوران حول المحور x للدالة $y = e^x, 0 \le x \le 1$.
أ
$S = \pi \int_0^1 e^x \sqrt{1 + e^{2x}} dx$
ب
$S = 2\pi \int_0^1 e^x \sqrt{1 + e^{2x}} dx$
ج
$S = 2\pi \int_0^1 \sqrt{1 + e^{2x}} dx$
د
$S = \pi \int_0^1 e^x \sqrt{1 + e^x} dx$
تفسير الإجابة
التعويض المباشر في القانون مع y=e^x و $y'=e^x$.
يسقط غطاس من ارتفاع 30 ft فوق الماء. أوجد السرعة المتجهة لحظة الاصطدام إذا كانت الدالة s(t) = 30 - 16t2 .
أ
$-30\sqrt{8} \text{ ft/s}$
ب
$-16\sqrt{30} \text{ ft/s}$
ج
$-8\sqrt{30} \text{ ft/s}$
د
$-4\sqrt{30} \text{ ft/s}$
تفسير الإجابة
لحظة الاصطدام s(t)=0 تعطي $t = \sqrt{30/16}$. السرعة $v(t) = -32t = -32(\sqrt{30}/4) = -8\sqrt{30}$.
يسقط غطاس من ارتفاع 120 ft فوق الماء. أوجد السرعة المتجهة لحظة الاصطدام إذا كانت الدالة s(t) = 120 - 16t2 .
أ
$-32\sqrt{30} \text{ ft/s}$
ب
$-120\sqrt{2} \text{ ft/s}$
ج
$-8\sqrt{30} \text{ ft/s}$
د
$-16\sqrt{30} \text{ ft/s}$
تفسير الإجابة
لحظة الاصطدام s(t)=0 تعطي $t = \sqrt{120/16}$. السرعة $v(t) = -32t = -32(\sqrt{30}/2) = -16\sqrt{30}$.
قارن السرعات المتجهة لحظة الاصطدام للأجسام الساقطة من ارتفاعات مختلفة: إذا ضُرب الارتفاع في k ، فبأي عامل تُضرب السرعة؟
أ
k
ب
2k
ج
$1/\sqrt{k}$
د
$\sqrt{k}$
تفسير الإجابة
بما أن السرعة تتناسب مع الجذر التربيعي للارتفاع ($v = -8\sqrt{h}$)، فإن ضرب الارتفاع في k يؤدي لضرب السرعة في $\sqrt{k}$.
حدد دالة الموقع s(t) إذا كانت المعطيات هي: a(t) = t2 + 1, v(0) = 4, s(0) = 0 .
أ
s(t) = t4 /12 + t2 /2 + 4t
ب
s(t) = t4 /12 + t2 + 4t
ج
s(t) = t3 /3 + t + 4
د
s(t) = t3 /3 + 2t + 4
تفسير الإجابة
بتكامل التسارع مرتين واستخدام الشروط الابتدائية لإيجاد ثوابت التكامل.
إذا تحرك جسم بسرعة v(t) = 3t2 - 5t على الفترة [0, 2] ، أوجد الإزاحة.
تفسير الإجابة
الإزاحة هي تكامل السرعة على الفترة المعطاة: $\int_0^2 (3t^2 - 5t) dt = [t^3 - 2.5t^2]_0^2 = 8 - 10 = -2$.
يسقط غطاس من ارتفاع 64 ft . ما السرعة المتجهة لحظة الاصطدام إذا كانت s(t) = 64 - 16t2 ؟
أ
32 ft/s
ب
4 ft/s
ج
-64 ft/s
د
64 ft/s
تفسير الإجابة
زمن الاصطدام t=2 والسرعة v(t) = -32t = -64 .
أُسقط جسم من ارتفاع 90 ft . حدد الشروط الابتدائية y(0) و $y'(0)$.
أ
$y(0) = 0, y'(0) = 90$
ب
$y(0) = 0, y'(0) = -90$
ج
$y(0) = 90, y'(0) = 0$
د
$y(0) = -90, y'(0) = 0$
تفسير الإجابة
السقوط يعني سرعة ابتدائية صفر، والارتفاع هو القيمة الابتدائية للموقع.
أُطلق جسم من ارتفاع 40 ft مع سرعة متجهة 8 ft/s صعوداً. حدد y(0) و $y'(0)$.
أ
$y(0) = 40, y'(0) = 8$
ب
$y(0) = 8, y'(0) = 40$
ج
$y(0) = 0, y'(0) = 8$
د
$y(0) = 0, y'(0) = -8$
تفسير الإجابة
الموقع الابتدائي 40 والسرعة المتجهة الابتدائية 8.
يسقط غطاس من ارتفاع 120 ft . ما السرعة المتجهة لحظة الاصطدام؟ (علماً أن g = 32 ft/s2 )
أ
-32 ft/s
ب
$\sqrt{15}/2 \text{ ft/s}$
ج
$-32\sqrt{15/2} \text{ ft/s}$
د
120 ft/s
تفسير الإجابة
باستخدام قوانين الحركة وتحديد زمن الاصطدام ثم التعويض في دالة السرعة.
