كويز تفاعلي: مراجعة من هيكل وامتحان الرياضيات

لحل النظام بالحذف، اضرب المعادلة الأولى في 3 والثانية في 2: $3(4x - 2y) = 3(0) \Rightarrow 12x - 6y = 0$.
$2(10x + 3y) = 2(8) \Rightarrow 20x + 6y = 16$.
اجمع المعادلتين: $(12x - 6y) + (20x + 6y) = 0 + 16 \Rightarrow 32x = 16 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
عوض قيمة x في المعادلة الأولى: $4(\frac{1}{2}) - 2y = 0 \Rightarrow 2 - 2y = 0 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1$.
إذن، الحل هو $(\frac{1}{2}, 1)$.

لحل النظام بالحذف، اضرب المعادلة الأولى في 3 والمعادلة الثانية في 2:
$3(4x + 2y) = 3(-14) \Rightarrow 12x + 6y = -42$.
$2(5x + 3y) = 2(-17) \Rightarrow 10x + 6y = -34$.
اطرح المعادلة الثانية الجديدة من الأولى: $(12x + 6y) - (10x + 6y) = -42 - (-34) \Rightarrow 2x = -8 \Rightarrow x = -4$.
عوض قيمة x في المعادلة الأولى الأصلية: $4(-4) + 2y = -14 \Rightarrow -16 + 2y = -14 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1$.
إذن، الحل هو (-4, 1).

لنفرض أن سرعة الطائرة في الهواء الساكن هي r وسرعة الرياح هي w.
مع اتجاه الرياح: $4(r+w) = 520 \Rightarrow r+w = 130$.
ضد اتجاه الرياح: $5(r-w) = 520 \Rightarrow r-w = 104$.
بجمع المعادلتين: $2r = 234 \Rightarrow r = 117$.
إذن، سرعة الطائرة في الهواء الساكن هي 117 km/h.

لنفرض أن سرعة التجديف في المياه الراكدة هي r وسرعة التيار هي c.
مع التيار: المسافة 16 km، الزمن 2 ساعات (12:00 - 10:00). إذن، $2(r+c) = 16 \Rightarrow r+c = 8$.
ضد التيار: المسافة 16 km، الزمن 4 ساعات (5:00 - 1:00). إذن، $4(r-c) = 16 \Rightarrow r-c = 4$.
بجمع المعادلتين: $2r = 12 \Rightarrow r = 6$.
إذن، سرعة التجديف في المياه الراكدة هي 6 km/h.

لنفرض أن عدد مدونات الهوايات هو h وعدد مدونات الأحاديث المنفردة هو s.
عدد المدونات الإجمالي: h+s = 10.
إجمالي المدة: 32h + 42s = 340.
من المعادلة الأولى، s = 10-h. نعوض في المعادلة الثانية: 32h + 42(10-h) = 340.
$32h + 420 - 42h = 340 \Rightarrow -10h = -80 \Rightarrow h = 8$.
إذن، s = 10-8 = 2.
اشترك خلف في 8 مدونات هوايات و 2 مدونات أحاديث.

لنفرض أن العددين هما x و y.
المعادلة الأولى: 7x + 3y = -1.
المعادلة الثانية: $x+y = -3 \Rightarrow y = -3-x$.
بالتعويض عن y في المعادلة الأولى: $7x + 3(-3-x) = -1 \Rightarrow 7x - 9 - 3x = -1 \Rightarrow 4x - 9 = -1 \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2$.
بالتعويض عن x في المعادلة الثانية: y = -3-2 = -5.
إذن، العددان هما 2 و 5-.

لنفرض أن عدد الركلات الحرة هو f وعدد الركلات الثابتة هو e.
عدد الركلات الإجمالي: f+e = 21.
عدد النقاط الإجمالي: 3f + e = 49.
من المعادلة الأولى، e = 21-f. نعوض في المعادلة الثانية: 3f + (21-f) = 49.
$2f + 21 = 49 \Rightarrow 2f = 28 \Rightarrow f = 14$.
إذن، e = 21-14 = 7.
عدد أهداف الركلات الحرة هو 14 وعدد أهداف الركلات الثابتة هو 7.

النظام الأفضل لحله بالتعويض هو الذي تكون فيه أحد المتغيرات معزولة بالفعل أو يسهل عزلها، كما في الخيار (A) حيث x=2y-5.

النظام الأفضل لحله بالحذف بالجمع هو الذي تكون فيه معاملات أحد المتغيرات متقابلة (مجموعها صفر)، كما في الخيار (A) حيث معاملات y هي 3 و -3.

النظام الأفضل لحله بالحذف بالطرح هو الذي تكون فيه معاملات أحد المتغيرات متساوية، كما في الخيار (A) حيث معاملات y هي 4 في كلتا المعادلتين.

النظام الأفضل لحله بالتعويض لأن معامل y في المعادلة الثانية هو 1.
من $-8x + y = 19 \Rightarrow y = 8x + 19$.
بالتعويض في المعادلة الأولى: $4x - 4(8x + 19) = 8 \Rightarrow 4x - 32x - 76 = 8 \Rightarrow -28x = 84 \Rightarrow x = -3$.
بالتعويض عن x في معادلة y: y = 8(-3) + 19 = -24 + 19 = -5.
إذن، الحل هو (-3, -5).

النظام الأفضل لحله بالحذف بالضرب. اضرب المعادلة الأولى في 4 لتصبح 8x + 12y = -44.
اجمعها مع المعادلة الثانية -8x - 5y = 9: $(8x + 12y) + (-8x - 5y) = -44 + 9 \Rightarrow 7y = -35 \Rightarrow y = -5$.
بالتعويض عن y في المعادلة الأولى الأصلية: $2x + 3(-5) = -11 \Rightarrow 2x - 15 = -11 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
إذن، الحل هو (2, -5).

النظام الأفضل لحله بالتعويض لأن معامل y في المعادلة الثانية هو 1.
من $2x + y = -1 \Rightarrow y = -2x - 1$.
بالتعويض في المعادلة الأولى: $3x + 4(-2x - 1) = 11 \Rightarrow 3x - 8x - 4 = 11 \Rightarrow -5x = 15 \Rightarrow x = -3$.
بالتعويض عن x في معادلة y: y = -2(-3) - 1 = 6 - 1 = 5.
إذن، الحل هو (-3, 5).

النظام الأفضل لحله بالحذف بالجمع لأن معاملات x متقابلة (3 و -3).
اجمع المعادلتين: $(3x-4y) + (-3x+2y) = -5 + 3 \Rightarrow -2y = -2 \Rightarrow y = 1$.
بالتعويض عن y في المعادالة الأولى: $3x - 4(1) = -5 \Rightarrow 3x - 4 = -5 \Rightarrow 3x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}$.
إذن، الحل هو $(-\frac{1}{3}, 1)$.

النظام الأفضل لحله بالحذف بالجمع لأن معاملات y متقابلة (7 و -7).
اجمع المعادلتين: $(3x+7y) + (5x-7y) = 4 + (-12) \Rightarrow 8x = -8 \Rightarrow x = -1$.
بالتعويض عن x في المعادلة الأولى: $3(-1) + 7y = 4 \Rightarrow -3 + 7y = 4 \Rightarrow 7y = 7 \Rightarrow y = 1$.
إذن، الحل هو (-1, 1).

النظام الأفضل لحله بالتعويض لأن معامل y في المعادلة الأولى هو 1.
من $-3x+y=-3 \Rightarrow y = 3x-3$.
بالتعويض في المعادلة الثانية: $4x + 2(3x-3) = 14 \Rightarrow 4x + 6x - 6 = 14 \Rightarrow 10x = 20 \Rightarrow x = 2$.
بالتعويض عن x في معادلة y: y = 3(2) - 3 = 6 - 3 = 3.
إذن، الحل هو (2, 3).

النظام الأفضل لحله بالحذف بالطرح لأن معاملات y متساوية (8).
اطرح المعادلة الثانية من الأولى: $(5x+8y) - (-2x+8y) = 1 - (-6) \Rightarrow 7x = 7 \Rightarrow x = 1$.
بالتعويض عن x في المعادلة الأولى: $5(1) + 8y = 1 \Rightarrow 5 + 8y = 1 \Rightarrow 8y = -4 \Rightarrow y = -0.5$.
إذن، الحل هو (1, -0.5).

النظام الأفضل لحله بالتعويض لأن y معزولة في المعادلة الثانية.
بالتعويض عن y في المعادلة الأولى: $(-4x-1) + 4x = 3 \Rightarrow -1 = 3$.
بما أن -1 = 3 عبارة خاطئة، فهذا يعني أن النظام ليس له حل.

النظام الأفضل لحله بالحذف بالطرح لأن معاملات x متساوية (-5).
اطرح المعادلة الثانية من الأولى: $(-5x+4y) - (-5x-3y) = 7 - (-14) \Rightarrow 7y = 21 \Rightarrow y = 3$.
بالتعويض عن y في المعادلة الأولى: $-5x + 4(3) = 7 \Rightarrow -5x + 12 = 7 \Rightarrow -5x = -5 \Rightarrow x = 1$.
إذن، الحل هو (1, 3).

لحل النظام بالحذف، يمكن ضرب المعادلة الأولى في 3 والثانية في 2:
$3(4x+2y)=3(8) \Rightarrow 12x+6y=24$.
$2(3x+3y)=2(9) \Rightarrow 6x+6y=18$.
اطرح المعادلة الثانية الجديدة من الأولى: $(12x+6y) - (6x+6y) = 24 - 18 \Rightarrow 6x = 6 \Rightarrow x = 1$.
عوض قيمة x في المعادلة الأولى الأصلية: $4(1)+2y=8 \Rightarrow 4+2y=8 \Rightarrow 2y=4 \Rightarrow y=2$.
إذن، الحل هو (1, 2).

لحل النظام بالحذف، اضرب المعادلة الأولى في 5 والمعادلة الثانية في 3:
$5(5x-3y) = 5(6) \Rightarrow 25x - 15y = 30$.
$3(2x+5y) = 3(-10) \Rightarrow 6x + 15y = -30$.
اجمع المعادلتين الجديدتين: $(25x - 15y) + (6x + 15y) = 30 + (-30) \Rightarrow 31x = 0 \Rightarrow x = 0$.
عوض قيمة x في المعادلة الأولى الأصلية: $5(0) - 3y = 6 \Rightarrow -3y = 6 \Rightarrow y = -2$.
إذن، الحل هو (0, -2).

لحل النظام بالحذف، اضرب المعادلة الأولى في 3 والمعادلة الثانية في 2:
$3(6a+2b) = 3(2) \Rightarrow 18a + 6b = 6$.
$2(4a+3b) = 2(8) \Rightarrow 8a + 6b = 16$.
اطرح المعادلة الثانية الجديدة من الأولى: $(18a + 6b) - (8a + 6b) = 6 - 16 \Rightarrow 10a = -10 \Rightarrow a = -1$.
عوض قيمة a في المعادلة الأولى الأصلية: $6(-1) + 2b = 2 \Rightarrow -6 + 2b = 2 \Rightarrow 2b = 8 \Rightarrow b = 4$.
إذن، الحل هو (-1, 4).

النظام الأفضل لحله بالتعويض لأن y معزولة في المعادلة الأولى.
بالتعويض عن y في المعادلة الثانية: $-6x + 3(2x-4) = -12 \Rightarrow -6x + 6x - 12 = -12 \Rightarrow -12 = -12$.
بما أن -12 = -12 عبارة صحيحة دائمًا، فهذا يعني أن النظام له عدد لا نهائي من الحلول.

النظام الأفضل لحله بالتعويض لأن y يسهل عزلها في المعادلة الثانية.
من $y-3x=-13 \Rightarrow y = 3x-13$.
بالتعويض عن y في المعادلة الأولى: $4x + 5(3x-13) = 11 \Rightarrow 4x + 15x - 65 = 11 \Rightarrow 19x = 76 \Rightarrow x = 4$.
بالتعويض عن x في معادلة y: y = 3(4) - 13 = 12 - 13 = -1.
إذن، الحل هو (4, -1).