كويز تفاعلي: اختبار في مفاهيم الزوايا والمثلثات

مجموع زوايا المثلث $180^{\circ}$. بما أن المثلث قائم الزاوية، فإن مجموع الزاويتين الحادتين يساوي $90^{\circ}$. إذن $6x + 3x = 90 \Rightarrow 9x = 90 \Rightarrow x = 10$.

بما أن WX = YX، فالمثلث متطابق الضلعين. الزوايا المقابلة للأضلاع المتساوية متساوية، لذا $m\angle Y = m\angle W = 60^{\circ}$. وبما أن كل الزوايا $60^{\circ}$، فالمثلث متطابق الأضلاع، وعليه WY = 7 in.

الزاويتان 9 و 10 تشكلان زوجاً خطياً، لذا فهما متكاملتان ومجموعهما $180^{\circ}$.
(3x + 12) + (x - 24) = 180
4x - 12 = 180
4x = 192
x = 48
إذن $m\angle 9 = 3(48) + 12 = 144 + 12 = 156^{\circ}$
و $m\angle 10 = 48 - 24 = 24^{\circ}$.

الزاويتان 3 و 4 متقابلتان بالرأس، لذا فهما متساويتان.
2x + 23 = 5x - 112
135 = 3x
x = 45
إذن $m\angle 3 = 2(45) + 23 = 90 + 23 = 113^{\circ}$
و $m\angle 4 = 5(45) - 112 = 225 - 112 = 113^{\circ}$.

بما أن AB = BC، فالمثلث متطابق الضلعين. الزوايا المقابلة للأضلاع المتساوية متساوية، لذا $m\angle A = m\angle C = 60^{\circ}$. وبما أن كل الزوايا $60^{\circ}$، فالمثلث متطابق الأضلاع، وعليه AC = 3 m.

بما أن الزاويتين $m\angle ABD$ و $m\angle DBC$ متجاورتان، فإن $m\angle ABC = m\angle ABD + m\angle DBC$.
$m\angle ABC = 70^{\circ} + 43^{\circ} = 113^{\circ}$.

من الرسم، $m\angle EBC = m\angle EBD + m\angle DBC$. الزاوية $m\angle DBC$ هي التي يرمز لها بالرقم 2.
إذن $55^{\circ} = 20^{\circ} + m\angle 2$
$m\angle 2 = 55^{\circ} - 20^{\circ} = 35^{\circ}$.

من الرسم، $m\angle ABC = m\angle ABD + m\angle DBC$. الزاوية $m\angle DBC$ هي التي يرمز لها بالرقم 2.
إذن $110^{\circ} = m\angle ABD + 36^{\circ}$
$m\angle ABD = 110^{\circ} - 36^{\circ} = 74^{\circ}$.

الزاويتان 6 و 7 داخليتان متتاليتان على نفس الجانب من القاطع، لذا فهما متكاملتان: $m\angle 6 + m\angle 7 = 180^{\circ}$.
الزاويتان 7 و 8 تشكلان زوجاً خطياً، لذا فهما متكاملتان: $m\angle 7 + m\angle 8 = 180^{\circ}$.
من هاتين العلاقتين، نستنتج أن $m\angle 6 = m\angle 8$.
إذن: (2x - 21) + (3x - 34) = 180
5x - 55 = 180
5x = 235
x = 47
نعوض قيمة x:
$m\angle 6 = 2(47) - 21 = 94 - 21 = 73^{\circ}$
$m\angle 7 = 3(47) - 34 = 141 - 34 = 107^{\circ}$
$m\angle 8 = 73^{\circ}$.

بما أن $\angle 2$ و $\angle 4$ متكاملتان، فإن $m\angle 2 + m\angle 4 = 180^{\circ}$.
بما أن $m\angle 4 = 105^{\circ}$، فإن $m\angle 2 = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$.
وبما أن $\angle 4$ و $\angle 5$ متكاملتان، فإن $m\angle 4 + m\angle 5 = 180^{\circ}$.
إذن $m\angle 5 = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$.
من الرسم، الزوايا 2، 3، 4، 5 متجاورة حول نقطة، لذا مجموعها $360^{\circ}$.
إذن $m\angle 2 + m\angle 3 + m\angle 4 + m\angle 5 = 360^{\circ}$.
$75^{\circ} + m\angle 3 + 105^{\circ} + 75^{\circ} = 360^{\circ}$.
$255^{\circ} + m\angle 3 = 360^{\circ}$.
$m\angle 3 = 360^{\circ} - 255^{\circ} = 105^{\circ}$.