كويز تفاعلي: أسئلة وفق الهيكل متعلق بالتكامل باستخدام الكسور الجزئية وحل المعادلات التفاضلية

لحل التكامل، نقوم بتفكيك الكسر إلى كسور جزئية: $\frac{x-5}{x^2-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$. بعد إيجاد قيم الثوابت A=-2 و B=3، يصبح التكامل $\\int (\frac{-2}{x-1} + \frac{3}{x+1}) dx = -2 \ln|x-1| + 3 \ln|x+1| + C$.

لحل التكامل، نقوم بتفكيك الكسر إلى كسور جزئية: $\frac{1}{x(x^2+4)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+4}$. بعد إيجاد قيم الثوابت $A=\frac{1}{4}$ و $B=-\frac{1}{4}$ و C=0، يصبح التكامل $\\int (\frac{1/4}{x} - \frac{1/4 x}{x^2+4}) dx = \frac{1}{4} \ln|x| - \frac{1}{8} \ln(x^2+4) + C$.

لحل التكامل، نقوم بتفكيك الكسر إلى كسور جزئية: $\frac{x-1}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}$. بعد إيجاد قيم الثوابت $A=\frac{2}{3}$ و $B=\frac{1}{3}$، يصبح التكامل $\\int (\frac{2/3}{x+1} + \frac{1/3}{x-2}) dx = \frac{2}{3} \ln|x+1| + \frac{1}{3} \ln|x-2| + C$.

بما أن المقام (x²+1)² هو عامل تربيعي مكرر، فإن التفكيك يكون على الصورة $\frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{(x^2+1)^2}$. بعد توحيد المقامات والمقارنة، نجد A=0, B=4, C=0, D=-2. وبالتالي التفكيك هو $\frac{4}{x^2+1} - \frac{2}{(x^2+1)^2}$.

بما أن المقام (x²+1)² هو عامل تربيعي مكرر، فإن التفكيك يكون على الصورة $\frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{(x^2+1)^2}$. بعد توحيد المقامات والمقارنة، نجد A=1, B=0, C=-1, D=2. وبالتالي التفكيك هو $\frac{x}{x^2+1} + \frac{2-x}{(x^2+1)^2}$.

بما أن المقام (x²+x+1)² هو عامل تربيعي غير قابل للاختزال ومكرر، فإن التفكيك يكون على الصورة $\frac{Ax+B}{x^2+x+1} + \frac{Cx+D}{(x^2+x+1)^2}$. بعد توحيد المقامات والمقارنة، نجد A=0, B=4, C=-4, D=-1. وبالتالي التفكيك هو $\frac{4}{x^2+x+1} - \frac{4x+1}{(x^2+x+1)^2}$.

بما أن درجة البسط تساوي درجة المقام، نقوم أولاً بالقسمة المطولة. ينتج لدينا $1 + \frac{x^3 - 8x^2 - 16}{(x^2+4)^2}$. بعد ذلك، نفكك الكسر المتبقي إلى كسور جزئية على الصورة $\frac{Ax+B}{x^2+4} + \frac{Cx+D}{(x^2+4)^2}$. بعد إيجاد قيم الثوابت A=1, B=-8, C=-4, D=16، يكون التفكيك النهائي $1 + \frac{x-8}{x^2+4} + \frac{16-4x}{(x^2+4)^2}$.

المعادلة التفاضلية $y' = 4y$ هي معادلة قابلة للفصل. حلها العام هو y = Ce^4x. باستخدام الشرط الابتدائي y(0)=2، نعوض x=0 و y=2 لنجد C: $2 = Ce^{4(0)} \\implies C=2$. وبالتالي الحل هو y = 2e^4x.

المعادلة التفاضلية $y' = 3y$ حلها العام y = Ce^3x. باستخدام الشرط الابتدائي y(0)=-2، نعوض x=0 و y=-2 لنجد C: $-2 = Ce^{3(0)} \\implies C=-2$. وبالتالي الحل هو y = -2e^3x.

المعادلة التفاضلية $y' = -3y$ حلها العام y = Ce^-3x. باستخدام الشرط الابتدائي y(0)=5، نعوض x=0 و y=5 لنجد C: $5 = Ce^{-3(0)} \\implies C=5$. وبالتالي الحل هو y = 5e^-3x.

المعادلة التفاضلية $y' = -2y$ حلها العام y = Ce^-2x. باستخدام الشرط الابتدائي y(0)=-6، نعوض x=0 و y=-6 لنجد C: $-6 = Ce^{-2(0)} \\implies C=-6$. وبالتالي الحل هو y = -6e^-2x.

المعادلة التفاضلية $y' = 2y$ حلها العام y = Ce^2x. باستخدام الشرط الابتدائي y(1)=2، نعوض x=1 و y=2 لنجد C: $2 = Ce^{2(1)} \\implies C = \frac{2}{e^2} = 2e^{-2}$. وبالتالي الحل هو y = 2e^-2e^2x = 2e^2x-2.

المعادلة التفاضلية $y' = -y$ حلها العام y = Ce^-x. باستخدام الشرط الابتدائي y(1)=2، نعوض x=1 و y=2 لنجد C: $2 = Ce^{-1} \\implies C = 2e$. وبالتالي الحل هو $y = 2e \\cdot e^{-x} = 2e^{1-x}$.

المعادلة التفاضلية $y' = \frac{\sqrt{1-y^2}}{x \ln x}$ هي معادلة قابلة للفصل. بفصل المتغيرات نحصل على $\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = \frac{dx}{x \ln x}$. بتكامل الطرفين، يكون $\\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = \sin^{-1} y$ و $\\int \frac{dx}{x \ln x} = \ln|\ln x|$. وبالتالي الحل العام هو $\sin^{-1} y = \ln|\ln x| + C$.

المعادلة التفاضلية $y' = \frac{\cos x}{\sin y}$ هي معادلة قابلة للفصل. بفصل المتغيرات نحصل على sin y dy = cos x dx. بتكامل الطرفين، يكون $\\int \sin y dy = -\cos y$ و $\\int \cos x dx = \sin x$. وبالتالي الحل العام هو -cos y = sin x + C.

المعادلة التفاضلية $y' = x \cos^2 y$ هي معادلة قابلة للفصل. بفصل المتغيرات نحصل على $\frac{dy}{\cos^2 y} = x dx$ أي $\\sec^2 y dy = x dx$. بتكامل الطرفين، يكون $\\int \\sec^2 y dy = \tan y$ و $\\int x dx = \frac{x^2}{2}$. وبالتالي الحل العام هو $\tan y = \frac{x^2}{2} + C$.

المعادلة التفاضلية $y' = \frac{xy}{1+x^2}$ هي معادلة قابلة للفصل. بفصل المتغيرات نحصل على $\frac{dy}{y} = \frac{x}{1+x^2} dx$. بتكامل الطرفين، يكون $\ln|y| = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$. بتحويلها إلى صيغة أسية، نحصل على $y = C\sqrt{1+x^2}$.

المعادلة التفاضلية $y' = \frac{2}{xy+y} = \frac{2}{y(x+1)}$ هي معادلة قابلة للفصل. بفصل المتغيرات نحصل على $y dy = \frac{2}{x+1} dx$. بتكامل الطرفين، يكون $\frac{y^2}{2} = 2 \ln|x+1| + C_1$. بضرب الطرفين في 2، نحصل على $y^2 = 4 \ln|x+1| + C$.

المعادلة التفاضلية تكون قابلة للفصل إذا أمكن كتابتها على الصورة g(y) dy = f(x) dx. في الخيار (B)، لا يمكن فصل المتغيرين x و y لأن الحد 2 cos y لا يحتوي على x ليمكن سحبه عامل مشترك مع xy³.

المعادلة التفاضلية $y' = -xy$ هي معادلة قابلة للفصل. بفصل المتغيرات نحصل على $\frac{dy}{y} = -x dx$. بتكامل الطرفين، يكون $\ln|y| = -\frac{x^2}{2} + C_1$. بتحويلها إلى صيغة أسية، نحصل على y = Ce^-x2/2. الخيار (B) يمثل حلًا خاصًا حيث C=1.

المعادلة التفاضلية $y' = \frac{3x}{4y+1}$ هي معادلة قابلة للفصل. بفصل المتغيرات نحصل على (4y+1) dy = 3x dx. بتكامل الطرفين، نحصل على $2y^2+y = \frac{3x^2}{2}+C$. باستخدام الشرط الابتدائي y(1)=4، نجد $C = \frac{69}{2}$. نعوض قيمة C ونعيد ترتيب المعادلة لتصبح 4y²+2y-(3x²+69)=0. باستخدام القانون العام لحل المعادلات التربيعية لـ y، نحصل على $y = \frac{-1 \\pm \sqrt{12x^2+277}}{4}$. بتعويض الشرط الابتدائي مرة أخرى لتحديد الإشارة الصحيحة، نجد أن الحل هو $y = \frac{-1 + \sqrt{12x^2+277}}{4}$.

المعادلة التفاضلية تكون قابلة للفصل إذا أمكن كتابتها على الصورة g(y) dy = f(x) dx. في الخيار (A)، يمكن فصل المتغيرين x و y لتصبح $\frac{dy}{\sin y} = (5x-2) dx$.

المعادلة التفاضلية $y' = \frac{\sqrt{1-y^2}}{x \ln x}$ قابلة للفصل. بتكامل الطرفين بعد الفصل، نحصل على $\sin^{-1} y = \ln|\ln x| + C$. لحل y بصورة صريحة، نأخذ دالة الجيب (sine) للطرفين: $y = \sin(\ln|\ln x| + C)$.

المعادلة التفاضلية $y' = y-50$ يمكن حلها بالتعويض u = y-50 فتصبح $u' = u$, وحلها العام u = Ce^x. بالتعويض مرة أخرى، y = Ce^x + 50. باستخدام الشرط الابتدائي y(0)=70: $70 = Ce^0 + 50 \\implies C = 20$. وبالتالي الحل هو y = 20e^x + 50.

المعادلة التفاضلية $y' = \frac{xy}{1+x^2}$ هي معادلة قابلة للفصل. بفصل المتغيرات نحصل على $\frac{dy}{y} = \frac{x}{1+x^2} dx$. بتكامل الطرفين، يكون $\ln|y| = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C_1$. بتحويلها إلى صيغة أسية، نحصل على $y = C\sqrt{1+x^2}$.

المعادلة التفاضلية $y' = 2y$ حلها العام y = Ce^2x. باستخدام الشرط الابتدائي y(1)=2، نعوض x=1 و y=2 لنجد C: $2 = Ce^{2(1)} \\implies C = \frac{2}{e^2} = 2e^{-2}$. وبالتالي الحل هو y = 2e^-2e^2x = 2e^2x-2 = 2e^2(x-1).

المعادلة التفاضلية $y' = -y$ حلها العام y = Ce^-x. باستخدام الشرط الابتدائي y(1)=2، نعوض x=1 و y=2 لنجد C: $2 = Ce^{-1} \\implies C = 2e$. وبالتالي الحل هو $y = 2e \\cdot e^{-x} = 2e^{1-x}$.

المعادلة التفاضلية $y' = 3y$ حلها العام y = Ce^3x. باستخدام الشرط الابتدائي y(0)=-2، نعوض x=0 و y=-2 لنجد C: $-2 = Ce^{3(0)} \\implies C=-2$. وبالتالي الحل هو y = -2e^3x.

المعادلة التفاضلية تكون قابلة للفصل إذا أمكن كتابتها على الصورة g(y) dy = f(x) dx. في الخيار (A)، لا يمكن فصل المتغيرين x و y لأن المعادلة تكتب $y' = \frac{y-x}{y}$ حيث لا يمكن فصل x عن y في البسط.

المعادلة التفاضلية $y' = -y$ حلها العام y = Ce^-x. باستخدام الشرط الابتدائي y(1)=2، نعوض x=1 و y=2 لنجد C: $2 = Ce^{-1} \\implies C = 2e$. وبالتالي الحل هو $y = 2e \\cdot e^{-x} = 2e^{1-x}$. هذا الحل يضمن أن y(x) > 0.