دليل الطالب في تقنيات التكامل المتقدمة، يركز هذا الملف على استراتيجيات التكامل بالتعويض، والتعامل مع الدوال المثلثية العكسية، وإكمال المربع. يتضمن مجموعة واسعة من الأمثلة والأسئلة التدريبية التي تغطي تكاملات الدوال اللوغاريتمية، والدوال الأسية، وخواص التماثل للدوال الزوجية والفردية في التكامل المحدود، بالإضافة إلى حساب القيمة المتوسطة للدالة.
🏆 انضم إلى التحدي واحصل على ترتيبك
اختبار شهادة تدريبي مؤقت للصف والمادة والفصل نفسه.
اختر إجابة واحدة لكل سؤال. عند الاختيار ستظهر النتيجة فورًا: الأخضر صحيح، والأحمر خطأ، وسيظهر تفسير الإجابة مباشرة إن كان متوفرًا. وبعد آخر سؤال ستظهر الدرجة النهائية تلقائيًا.
Evaluate the integral: \(\int \frac{e^{1/x}}{x^2} dx\)
تفسير الإجابة
باستخدام التعويض \(u = \frac{1}{x}\)، يكون \(du = -\frac{1}{x^2} dx\). يصبح التكامل \(\int -e^u du = -e^u + C = -e^{1/x} + C\).
السؤال 2
النقاط: 1
Evaluate the indicated integral: \(\int \frac{x^2}{x^3 + 5} dx\)
تفسير الإجابة
نلاحظ أن مشتقة المقام هي 3x2. بضرب البسط في 3 والقسمة على 3، نحصل على صورة \(\frac{1}{3} \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx\)، والنتيجة هي اللوغاريتم الطبيعي للمقام.
السؤال 3
النقاط: 1
Evaluate the indicated integral: \(\int \frac{1}{\sqrt{u}(\sqrt{u} + 1)} du\)
تفسير الإجابة
بفرض أن \(w = \sqrt{u} + 1\)، فإن \(dw = \frac{1}{2\sqrt{u}} du\)، أي \(\frac{du}{\sqrt{u}} = 2 dw\). يصبح التكامل \(\int \frac{2}{w} dw = 2 \ln |w| + C\).
السؤال 4
النقاط: 1
Evaluate the indicated integral: \(\int \tan(2x) dx\)
تفسير الإجابة
تكامل الظل هو \(-\ln|\cos|\). وبسبب وجود المعامل 2 لـ x، نقسم على 2 وفق قاعدة تكويض الدوال الخطية.
السؤال 5
النقاط: 1
Evaluate the indicated integral: \(\int \frac{v}{v^2 + 4} dv\)
تفسير الإجابة
مشتقة المقام v2 + 4 هي 2v. التكامل يمثل نصف لوغاريتم المقام.
السؤال 6
النقاط: 1
Evaluate the indicated integral: \(\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^4}} dx\)
تفسير الإجابة
بالتعويض u = x2، يكون du = 2x dx. التكامل يصبح \(\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} du\)، وهي صورة الدالة العكسية للجيب.
السؤال 7
النقاط: 1
Evaluate the integral: \(\int \frac{3x^2}{9 + x^6} dx\)
تفسير الإجابة
بالتعويض u = x3، يصبح التكامل \(\int \frac{du}{3^2 + u^2}\). باستخدام قاعدة تكامل الـ Arctan: \(\frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a}) + C\) حيث a=3.
السؤال 8
النقاط: 1
Evaluate the integral: \(\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 16}}\)
تفسير الإجابة
هذه هي الصورة القياسية لتكامل الدالة القاطعة العكسية (Arcsec) حيث a = 4، والقاعدة هي \(\frac{1}{a} \sec^{-1}(\frac{|x|}{a}) + C\).
بإكمال المربع للمقام: x2 + 6x + 13 = (x+3)2 + 4. التكامل يصبح على صورة \(\int \frac{1}{u^2 + a^2} du\) حيث u = x+3 و a=2.
السؤال 10
النقاط: 1
Apply the given substitution: u = x2, to the integral \(\int_0^2 x f(x^2) dx\)
تفسير الإجابة
عندما u = x2، يكون du = 2x dx أو \(x dx = \frac{1}{2} du\). حدود التكامل تتغير: إذا كان x=0 فإن u=0، وإذا كان x=2 فإن u=4.
السؤال 11
النقاط: 1
Choose the correct justification: إذا كانت الدالة f زوجية، فلماذا \(\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx\)؟
تفسير الإجابة
الدالة الزوجية متماثلة حول المحور الرأسي (محور y)، مما يجعل المساحة تحت المنحنى من -a إلى 0 مساوية للمساحة من 0 إلى a.
السؤال 12
النقاط: 1
أوجد القيمة المتوسطة المطلوبة: الدالة g(x) = x f(x2 + 4) على الفترة [-1, 3]، وكان \(\int f(u) du = F(u) + C\). أوجد gavg؟
تفسير الإجابة
القيمة المتوسطة هي \(\frac{1}{3 - (-1)} \int_{-1}^3 x f(x^2 + 4) dx\). باستخدام التعويض u = x2 + 4، تصبح \(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \int_5^{13} f(u) du = \frac{1}{8} [F(13) - F(5)]\).
السؤال 13
النقاط: 1
Find the required value: إذا كان f(1) = 1, f(2) = 4 فأوجد: \(\int_1^2 3 f'(x) \sqrt{f(x)} dx\)
تفسير الإجابة
بالتعويض u = f(x)، التكامل يصبح \(\int_{f(1)}^{f(2)} 3\sqrt{u} du = [2u^{3/2}]_1^4 = 2(4^{3/2} - 1^{3/2}) = 2(8 - 1) = 14\).
متابعة النتيجة
تمت الإجابة0 / 13
الإجابات الصحيحة0
الإجابات الخاطئة0
النسبة الحالية0%
انتهى الاختبار
هذه نتيجتك النهائية بعد الإجابة عن جميع الأسئلة.
النتيجة النهائية
0/130%
الإجابات الصحيحة0
الإجابات الخاطئة0
الأسئلة المجابة0 / 13
إجمالي النقاط الممكنة13
يمكنك إعادة فتح الصفحة لبدء المحاولة من جديد.
يمكنك تسجيل الدخول لحفظ سجل محاولاتك، معرفة أخطائك المتكررة، والحصول على نصائح مخصصة. تسجيل الدخول باستخدام Google
إليك اختبارات إضافية لـ الصف الثاني عشر المتقدم بحسب الفصل الثالث والمادة رياضيات
لا يتم عرض هذا الجزء إلا عند النزول إليه، لتخفيف تحميل الصفحة.
...
🍪
إشعار ملفات تعريف الارتباط
يستخدم هذا الموقع ملفات تعريف الارتباط لتحسين تجربة التصفح وقياس الأداء وعرض المحتوى بشكل أفضل.
باستخدامك للموقع فإنك توافق على استخدامنا لها وفق
سياسة الخصوصية.
