التكامل بالتعويض (Integration by Substitution) هو أحد التقنيات الأساسية في الرياضيات لحل التكاملات المعقدة. تعتمد الفكرة الجوهرية لهذه الطريقة على البحث عن دالة ومشتقتها داخل التكامل، ومن ثم فرض متغير جديد (u) لتبسيط التعبير الرياضي. يشمل هذا الدليل مفاهيم أساسية وتطبيقات متنوعة على تكامل الدوال المثلثية، والأسية، والكسرية، مع التركيز على أهمية تغيير حدود التكامل في حالة التكامل المحدد لضمان دقة الحل.
🏆 انضم إلى التحدي واحصل على ترتيبك
اختبار شهادة تدريبي مؤقت للصف والمادة والفصل نفسه.
اختر إجابة واحدة لكل سؤال. عند الاختيار ستظهر النتيجة فورًا: الأخضر صحيح، والأحمر خطأ، وسيظهر تفسير الإجابة مباشرة إن كان متوفرًا. وبعد آخر سؤال ستظهر الدرجة النهائية تلقائيًا.
احسب قيمة التكامل المحدد: \(\int_{0}^{1} \frac{t}{(t^2 + 1)^2} dt\)
تفسير الإجابة
باستخدام التعويض u = t2 + 1، نجد أن du = 2t dt، وبالتالي فإن التكامل يصبح \(\frac{1}{2} \int u^{-2} du = -\frac{1}{2u}\). وبالعودة للمتغير الأصلي نحصل على التعبير الموجود في الخيار الرابع.
السؤال 2
النقاط: 1
احسب قيمة التكامل المحدد: \(\int_{1}^{2} t^2 e^{t^3} dt\)
تفسير الإجابة
باستخدام التعويض u = t3، تكون المشتقة هي 3t2. التكامل يتطلب وجود المعامل \(\frac{1}{3}\) لموازنة المشتقة، مما ينتج عنه \(\frac{1}{3} e^{t^3}\).
السؤال 3
النقاط: 1
احسب قيمة التكامل المحدد: \(\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^{2x}} dx\)
تفسير الإجابة
هذا التكامل على صورة \(\int \frac{du}{1 + u^2}\) حيث u = e^x. ناتج هذا النوع من التكاملات هو دالة الظل العكسية tan-1(u).
السؤال 4
النقاط: 1
احسب قيمة التكامل غير المحدد: \(\int (x^3 + 5)^{100} (3x^2) dx\)
تفسير الإجابة
بما أن 3x2 هي مشتقة ما بداخل القوس x3 + 5، نطبق قاعدة القوة للتكامل مباشرة بزيادة الأس واحداً والقسمة على الأس الجديد.
السؤال 5
النقاط: 1
احسب قيمة التكامل غير المحدد: \(\int \sin x \cos x dx\)
تفسير الإجابة
بفرض u = sin x، تكون du = cos x dx. فيصبح التكامل \(\int u du = \frac{1}{2} u^2 + C\)، أي \(\frac{1}{2} \sin^2 x + C\).
السؤال 6
النقاط: 1
احسب قيمة التكامل غير المحدد: \(\int x \cos(x^2) dx\)
تفسير الإجابة
مشتقة الزاوية x2 هي 2x. بما أن المتوفر هو x، نضرب في 1/2 لتصحيح المعامل، فيكون الناتج \(\frac{1}{2} \sin(x^2) + C\).
السؤال 7
النقاط: 1
احسب قيمة التكامل غير المحدد: \(\int \frac{\sin x}{\sqrt{\cos x}} dx\)
تفسير الإجابة
بفرض u = cos x، تكون du = -sin x dx. التكامل يصبح \(\int -u^{-1/2} du = -2u^{1/2} + C\)، أي \(-2 \sqrt{\cos x} + C\).
السؤال 8
النقاط: 1
احسب قيمة التكامل غير المحدد: \(\int \sin^5 x \cos x dx\)
تفسير الإجابة
الدالة هي sin x ومشتقتها cos x موجودة. نطبق قاعدة القوة على الدالة المرفوعة للأس 5 لتصبح الأس 6 مقسوماً على 6.
السؤال 9
النقاط: 1
احسب قيمة التكامل غير المحدد: \(\int (3 \tan x + 4)^5 \sec^2 x dx\)
تفسير الإجابة
بفرض u = 3 tan x + 4، تكون \(du = 3 \sec^2 x dx\). نحتاج معامل 1/3 لموازنة المشتقة، وبالتكامل نحصل على \(\frac{1}{3} \cdot \frac{u^6}{6} = \frac{u^6}{18}\).
السؤال 10
النقاط: 1
احسب قيمة التكامل غير المحدد: \(\int x^2 \sec^2(x^3) dx\)
تفسير الإجابة
مشتقة الزاوية x3 هي 3x2. بضرب التكامل في 1/3 وتكامل \(\sec^2\) الذي يعطي tan، نصل للنتيجة الصحيحة.
السؤال 11
النقاط: 1
احسب قيمة التكامل غير المحدد: \(\int \frac{x^2}{x^3 + 5} dx\)
تفسير الإجابة
البسط يمثل مشتقة المقام تقريباً (نقص المعامل 3). القاعدة هي أن تكامل \(\frac{f'(x)}{f(x)}\) يعطي \(\ln |f(x)|\)، مع مراعاة ضرب الناتج في 1/3.
السؤال 12
النقاط: 1
احسب قيمة التكامل غير المحدد: \(\int \frac{\cos x}{5 + \sin x} dx\)
تفسير الإجابة
بما أن مشتقة المقام 5 + sin x هي cos x وهي موجودة تماماً في البسط، فإن ناتج التكامل هو اللوغاريتم الطبيعي للمقام.
متابعة النتيجة
تمت الإجابة0 / 12
الإجابات الصحيحة0
الإجابات الخاطئة0
النسبة الحالية0%
انتهى الاختبار
هذه نتيجتك النهائية بعد الإجابة عن جميع الأسئلة.
النتيجة النهائية
0/120%
الإجابات الصحيحة0
الإجابات الخاطئة0
الأسئلة المجابة0 / 12
إجمالي النقاط الممكنة12
يمكنك إعادة فتح الصفحة لبدء المحاولة من جديد.
يمكنك تسجيل الدخول لحفظ سجل محاولاتك، معرفة أخطائك المتكررة، والحصول على نصائح مخصصة. تسجيل الدخول باستخدام Google
إليك اختبارات إضافية لـ الصف الثاني عشر المتقدم بحسب الفصل الثالث والمادة رياضيات
لا يتم عرض هذا الجزء إلا عند النزول إليه، لتخفيف تحميل الصفحة.
...
🍪
إشعار ملفات تعريف الارتباط
يستخدم هذا الموقع ملفات تعريف الارتباط لتحسين تجربة التصفح وقياس الأداء وعرض المحتوى بشكل أفضل.
باستخدامك للموقع فإنك توافق على استخدامنا لها وفق
سياسة الخصوصية.
