كويز تفاعلي: امتحان تدريبي شامل

بسبب انكسار الضوء عند انتقال الأشعة من الماء إلى الهواء، تبدو السمكة أقرب إلى السطح (أعلى من موقعها الحقيقي). لتصويب الرمح نحو السمكة الحقيقية، يجب التصويب أسفل الموقع الظاهري.

عندما يسقط شعاع الضوء عمودياً على السطح الفاصل، لا يغير اتجاهه (زاوية الانكسار تكون صفر). لكن سرعته تتغير (تقل عند الدخول لوسط أكثر كثافة ضوئية) وبالتالي يتغير طوله الموجي بينما يبقى التردد ثابتاً.

الزاوية الحرجة تُحسب من العلاقة $\sin(\theta_c) = \frac{n_{\text{أقل كثافة}}}{n_{\text{أكثر كثافة}}}$. بما أن الماس (2.42) مغمور في الماء (1.33)، فإن $\sin(\theta_c) = \frac{1.33}{2.42} \approx 0.5495$. إذن، $\theta_c = \arcsin(0.5495) \approx 33.3^{\circ}$.

تعتمد قوة العدسة على الفرق في معامل الانكسار بين مادة العدسة والوسط المحيط. عندما تُغمر العدسة في الماء، يقل هذا الفرق (لأن معامل انكسار الماء أقرب لمعامل انكسار الزجاج منه للهواء)، مما يقلل من قدرة العدسة على كسر الضوء. وبالتالي، يزداد بعدها البؤري وتصبح أضعف في التجميع.

في المنشور الزجاجي، ينكسر الضوء البنفسجي (الأقصر طولاً موجياً) بزاوية أكبر من الضوء الأحمر (الأطول طولاً موجياً). أما في محزوز الحيود، فإن الضوء ذو الطول الموجي الأكبر (الأحمر) ينحرف بزاوية أكبر.

لعدسة مقعرة، f = -15cm. d_o = 30cm. نستخدم معادلة العدسة: $\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$.
$\frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_o} = \frac{1}{-15} - \frac{1}{30} = \frac{-2-1}{30} = \frac{-3}{30} = \frac{-1}{10}$.
إذن d_i = -10cm.
التكبير $m = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{-10}{30} = +\frac{1}{3}$.

عند وضع جسم حقيقي عند البؤرة لعدسة محدبة، تخرج الأشعة الضوئية من العدسة متوازية، مما يعني أن الصورة تتكون في المالانهاية (أو لا تتكون).

نستخدم قانون سنيل بدلالة السرعات: $\frac{\sin(\theta_A)}{\sin(\theta_B)} = \frac{v_A}{v_B}$.
$\sin(\theta_B) = \sin(\theta_A) \times \frac{v_B}{v_A} = \sin(45^{\circ}) \times \frac{1.5 \times 10^8}{2.4 \times 10^8} \approx 0.7071 \times 0.625 \approx 0.4419$.
إذن، $\theta_B = \arcsin(0.4419) \approx 26.2^{\circ}$.

يحدث السراب الصحراوي بسبب تفاوت درجات حرارة طبقات الهواء القريبة من سطح الأرض. يؤدي هذا التفاوت إلى اختلاف في معامل انكسار الضوء، مما يتسبب في انكسار مستمر للضوء ثم انعكاس كلي داخلي، فتبدو صورة السماء كبركة ماء.

تستخدم العدسات المحدبة في أجهزة العرض لإنتاج صور حقيقية مكبرة ومقلوبة على الشاشة. يحدث ذلك عندما يوضع الجسم (الشريحة أو الفيلم) بين البؤرة (F) ومركز التكور (2F) للعدسة.

لكي يحدث تداخل منتظم، يجب أن يكون المصدران الضوئيان مترابطين، أي لهما نفس التردد (أو الطول الموجي) وفرق طور ثابت. في هذه الحالة، يمر ضوء أحمر من شق وضوء أزرق من الآخر، وهما ترددان مختلفان، لذا لن يتكون نمط تداخل منتظم.

في تجربة يانج، لكي تتكون هدبة مضيئة، يجب أن يكون فرق المسار بين الموجتين مساوياً لعدد صحيح من الأطوال الموجية ($m\lambda$). للهدبة المضيئة الثالثة، m=3، وبالتالي فإن فرق المسار يجب أن يكون $3\lambda$.

المسافة بين الهدبة المضيئة المركزية والهدبة المظلمة الثانية تُحسب من العلاقة $y = (m + 0.5) \frac{\lambda L}{d}$. للهدبة المظلمة الثانية، m=1.
$\lambda = 600 \times 10^{-9}\text{ m}$، L = 1.5 m، d = 0.03 × 10^-3 m.
$y = (1 + 0.5) \times \frac{(600 \times 10^{-9}) \times 1.5}{0.03 \times 10^{-3}} = 1.5 \times \frac{900 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-5}} = 1.5 \times 3 \times 10^{-2} = 0.045\text{ m} = 4.5\text{ cm}$.

لحدوث تداخل هدام (تقليل الانعكاس)، يجب أن يكون فرق المسار البصري مساوياً لعدد فردي من أنصاف الأطوال الموجية. يحدث انعكاس طور (انقلاب $180^{\circ}$) عند كلتا الواجهتين (الهواء-الطلاء والطلاء-السيليكون) لأن الضوء ينتقل من وسط أقل كثافة إلى وسط أكثر كثافة. وبسبب الانقلابين، يكون فرق الطور الكلي الناتج عن الانعكاس صفر. لذلك، لكي يحدث التداخل الهدام، يجب أن يكون فرق المسار البصري $2dn = (m + \frac{1}{2})\lambda_{\text{air}}$، مما يعني $2d = (m + \frac{1}{2})\frac{\lambda_{\text{air}}}{n_{\text{film}}}$.

عندما يصبح سمك فقاعة الصابون رقيقاً جداً (أقل بكثير من الأطوال الموجية للضوء المرئي)، يحدث تداخل هدام لجميع الأطوال الموجية المنعكسة. وذلك لأن انعكاس الضوء من السطح الأمامي والخلفي للفقاعة يكون مصحوباً بانقلاب طور $180^{\circ}$ فقط عند سطح واحد (الخارج)، بينما عند السطح الآخر لا يحدث انقلاب. عندما يكون السمك قريباً من الصفر، يصبح فرق المسار قريباً من الصفر، ومع الانقلاب الوحيد، تتحقق شروط التداخل الهدام لكل الألوان، فتبدو الفقاعة سوداء أو شفافة تماماً.

لحساب أقل سمك (d) لطلاء مضاد للانعكاس (تداخل هدام) مع وجود انعكاسين طوريين، نستخدم العلاقة $d = \frac{\lambda}{4n_{\text{film}}}$ (حيث m=0).
$\lambda = 580\text{ nm}$، n_film = 1.45.
$d = \frac{580\text{ nm}}{4 \times 1.45} = \frac{580}{5.8} = 100\text{ nm}$.

تتناسب المسافة الفاصلة بين الهدب $(\Delta x)$ في تجربة شقي يانج عكسياً مع المسافة بين الشقين (d) وفق العلاقة $\Delta x = \frac{\lambda L}{d}$. عند تقليل المسافة بين الشقين (d)، تزداد المسافة الفاصلة بين الهدب $(\Delta x)$، أي تتباعد الهدب.

يحدث انعكاس طور ($180^{\circ}$) عند واجهة الهواء-الزيت لأن n_زيت > n_هواء. ولا يحدث انعكاس طور عند واجهة الزيت-الماء لأن n_زيت > n_ماء. إذن، يوجد انقلاب طور واحد.
للتداخل البناء (تعزيز الانعكاس)، يجب أن يكون فرق المسار البصري $2dn = (m + \frac{1}{2})\lambda_{\text{air}}$. لأقل سمك، نأخذ m=0.
$2dn = \frac{1}{2}\lambda_{\text{air}} \implies d = \frac{\lambda_{\text{air}}}{4n_{\text{oil}}}$.
$d = \frac{560\text{ nm}}{4 \times 1.40} = \frac{560}{5.6} = 100\text{ nm}$.

الألوان المتقزحة في أجنحة فراشة المورفو تنتج عن تراكيب مجهرية دقيقة تتكون من طبقات رقيقة متعددة، مما يؤدي إلى تداخل بناء للضوء عند أطوال موجية معينة وانعكاسها بقوة، وهي ظاهرة تُعرف بالتداخل في الأغشية الرقيقة.

يعتبر الليزر مثالياً لتجربة شقي يانج لأنه يوفر ضوءاً أحادي اللون (طول موجي واحد) ومترابطاً (موجات متزامنة مع فرق طور ثابت). هاتان الخاصيتان ضروريتان لإنتاج نمط تداخل واضح ومستقر يمكن ملاحظته ودراسته، على عكس مصباح التنجستن الذي يصدر ضوءاً غير مترابط ومتعدد الأطوال الموجية.

المسافة من المركز إلى الهدبة المضيئة الثانية هي y₂ = 8.0 mm. بما أن $y_m = m \Delta x$ حيث $\Delta x$ هي المسافة بين هدبتين متتاليتين، فإن $y_2 = 2\Delta x$. إذن، $2\Delta x = 8.0\text{ mm}$، وبالتالي $\Delta x = 4.0\text{ mm}$. المسافة بين الهدبة المضيئة الأولى (m=1) والهدبة المضيئة الثالثة (m=3) هي $(3-1)\Delta x = 2\Delta x = 2 \times 4.0\text{ mm} = 8.0\text{ mm}$.

المسافة الفاصلة بين الهدب في تجربة يانج تعطى بالعلاقة $\Delta x = \frac{\lambda L}{d}$. إذا تضاعف الطول الموجي مرتين ($2\lambda$) وقلت المسافة بين الشقين إلى النصف (d/2)، فإن المسافة الجديدة بين الهدب ستكون:
$\Delta x' = \frac{(2\lambda) L}{(d/2)} = \frac{4\lambda L}{d} = 4\Delta x$.
إذن، تتضاعف المسافة الفاصلة بين الهدب أربع مرات.

في نمط حيود الشق المفرد، تتكون الهدب المظلمة عندما يكون فرق المسار بين الأشعة الصادرة من حافتي الشق (أو بين أي نقطتين تفصلهما مسافة a/2) يساوي مضاعفات صحيحة للطول الموجي. للهدبة المظلمة الأولى، يكون فرق المسار بين الأشعة الصادرة من الحافتين هو طول موجي كامل واحد $(\lambda)$.

محزوز الحيود ينتج نمط تداخل وحيود يتميز بخطوط مضيئة حادة ورفيعة جداً، تفصل بينها مناطق معتمة واسعة. هذا النمط أكثر وضوحاً وحدة من نمط الشق المزدوج أو الشق المفرد بسبب العدد الكبير من الشقوق التي تساهم في التداخل البناء.

العرض الكلي للحزمة المركزية المضيئة في حيود الشق المفرد هو $2y_1 = 2\frac{\lambda L}{a}$.
نحول الوحدات: $\lambda = 500\text{ nm} = 500 \times 10^{-9}\text{ m}$، a = 2.5 × 10^-5 m (بافتراض أن الوحدة في السؤال كانت خطأ وأن القيمة المعطاة هي بالمتر وليس بالسم)، L = 1.5 m.
$2y_1 = 2 \times \frac{(500 \times 10^{-9}) \times 1.5}{2.5 \times 10^{-5}} = 2 \times \frac{750 \times 10^{-9}}{2.5 \times 10^{-5}} = 2 \times 300 \times 10^{-4}\text{ m} = 2 \times 0.03\text{ m} = 0.06\text{ m} = 6.0\text{ cm}$.

تعمل الأقراص المدمجة (CD/DVD) كمحزوزات حيود انعكاسية. تتكون الأقراص من مسارات حلزونية دقيقة جداً (أخاديد) محفورة على سطحها، وعندما يسقط الضوء عليها، يحدث حيود وانعكاس للألوان المختلفة بزوايا مختلفة، مما يفسر رؤية ألوان الطيف.

تعتمد ظاهرة الحيود بشكل كبير على نسبة الطول الموجي للموجة إلى أبعاد الفتحة أو الحاجز. الأطوال الموجية للصوت (مترية) قابلة للمقارنة بأبعاد الأجسام اليومية مثل الأبواب والجدران، لذلك يحيّد الصوت بوضوح. أما الأطوال الموجية للضوء (نانومترية) فهي أصغر بكثير من هذه الأبعاد، مما يجعل حيود الضوء غير ملحوظ في الظروف العادية.

في محزوز الحيود، العلاقة بين زاوية الحيود $(\theta)$ والمسافة بين الشقوق (d) هي $d \sin(\theta) = m\lambda$. لزيادة زاوية الحيود $(\theta)$ (أي تباعد الخطوط المضيئة أكثر)، يجب تقليل المسافة بين الشقوق (d). تقليل المسافة بين الشقوق يعني زيادة عدد الشقوق لكل وحدة طول (مثل لكل سنتيمتر).

لحساب زاوية انحراف الهدبة المضيئة، نستخدم قانون محزوز الحيود: $d \sin(\theta) = m\lambda$.
أولاً، نحسب المسافة بين الشقوق (d): $d = \frac{1\text{ mm}}{500\text{ line}} = \frac{1 \times 10^{-3}\text{ m}}{500} = 2 \times 10^{-6}\text{ m}$.
الطول الموجي $\lambda = 400\text{ nm} = 400 \times 10^{-9}\text{ m}$.
للرتبة الأولى (m=1): $\sin(\theta) = \frac{m\lambda}{d} = \frac{1 \times (400 \times 10^{-9})}{2 \times 10^{-6}} = \frac{4 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{-6}} = 0.2$.
إذن، $\theta = \arcsin(0.2) \approx 11.5^{\circ}$.

يتناسب عرض الحزمة المركزية المضيئة في حيود الشق المفرد عكسياً مع عرض الشق. عندما يزداد عرض الشق (w) بشكل كبير جداً، يقل عرض الحزمة المركزية المضيئة بشكل ملحوظ لدرجة أن ظاهرة الحيود تصبح غير مرئية. في هذه الحالة، يسلك الضوء مساراً مستقيماً تقريباً، وكأن الشق غير موجود.

بالنسبة للمراقب داخل القطار، تتحرك الكرة في خط مستقيم عمودي. لكن بالنسبة للمراقب الساكن خارج القطار، تمتلك الكرة سرعة أفقية (سرعة القطار) بالإضافة إلى حركتها الرأسية. وبتجميع هاتين الحركتين، تبدو الكرة وكأنها تتبع مساراً مكافئاً (قطع مكافئ) يتقدم في اتجاه حركة القطار.

نعتبر اتجاه الشرق موجباً. سرعة القطار بالنسبة للأرض v_PE = 15.0 m/s. سرعة الطفل بالنسبة للقطار v_CP = -2.0 m/s (لأنه يركض نحو مؤخرة القطار، عكس اتجاه حركة القطار).
السرعة المتجهة للطفل بالنسبة للأرض v_CE = v_CP + v_PE = -2.0 + 15.0 = 13.0 m/s.
بما أن النتيجة موجبة، فإن اتجاه السرعة هو الشرق.

لتحديد السرعة المتجهة للطائرة بالنسبة للأرض، نجمع متجهات السرعة. سرعة الطائرة بالنسبة للهواء (v_HA) هي 80 km/h شمالاً، وسرعة الهواء بالنسبة للأرض (v_AG) هي 60 km/h شرقاً. بما أن الاتجاهين متعامدان، نحسب المحصلة باستخدام نظرية فيثاغورس:
$|v_{HG}| = \sqrt{v_{HA}^2 + v_{AG}^2} = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100\text{ km/h}$.

لحساب السرعة المتجهة للقارب بالنسبة للأرض (v_b/e)، نجمع متجه سرعة القارب بالنسبة للماء (v_b/w) مع متجه سرعة الماء بالنسبة للأرض (v_w/e). هذه هي القاعدة الأساسية لجمع السرعات النسبية: $\vec{v}_{b/e} = \vec{v}_{b/w} + \vec{v}_{w/e}$.