كويز تفاعلي: اختبار في الدوال المثلثية المباشرة والعكسية وخصائصها

زاوية المرجع لزاوية في الربع الرابع (مثل $300^ \circ$) تُحسب بطرح الزاوية من $360^ \circ$. إذن، زاوية المرجع هي $\text{٣٦٠}^ \circ - \text{٣٠٠}^ \circ = \text{٦٠}^ \circ$.

الزاوية $\frac{5\pi}{6}$ تقع في الربع الثاني. زاوية المرجع لها هي $\pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$. وبما أن جيب الزاوية (sine) موجب في الربع الثاني، فإن $\sin \frac{5\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

قيمة جيب الزاوية ($\sin \theta$) تكون موجبة في الربع الأول والربع الثاني.

السعة هي القيمة المطلقة للمعامل (A) في الدالة y = A sin(Bx-C) + D. هنا A=3، لذا السعة هي $|3|=3$.

دورة الدالة الجيبية أو التمامية y = A cos(Bx-C) + D تُحسب بالصيغة $P = \frac{2\pi}{|B|}$. في هذه الدالة، $B = \frac{1}{3}$، لذا الدورة هي $P = \frac{2\pi}{|1/3|} = 2\pi \times 3 = 6\pi$.

إزاحة الطور لدالة على الصورة y = A cos(Bx-C) + D هي $\frac{C}{B}$. في هذه الدالة B=1 و $C = \frac{3\pi}{2}$، لذا إزاحة الطور هي $\frac{3\pi}{2}$.

الإزاحة الرأسية لدالة على الصورة y = A sin(Bx-C) + D هي قيمة D. في هذه الدالة D=4.

مدى الدالة cos x هو [-1,1]. عند ضربها في 6، يتسع المدى ليصبح [-6,6].

للدالة $y = \cot(Bx+C)$، تحدث خطوط التقارب الرأسية عندما يكون $Bx+C = n\pi$ (حيث n عدد صحيح). هنا، $\frac{x}{3} = n\pi$، إذن $x = 3n\pi$. لأقرب قيمتين للتقارب، نأخذ n=0 (فيكون x=0) و n=1 (فيكون $x=3\pi$) أو n=-1 (فيكون $x=-3\pi$). الخيار $x = 3\pi, x = 0$ يمثل قيمتين صحيحتين.

للدالة $y = \csc(Bx+C)$، تحدث خطوط التقارب الرأسية عندما يكون $Bx+C = n\pi$ (حيث n عدد صحيح). هنا، $x + \frac{\pi}{2} = n\pi$. إذن $x = n\pi - \frac{\pi}{2}$. عندما n=0, $x = -\frac{\pi}{2}$. عندما n=-1, $x = -\pi - \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2}$.

للدالة $y = \sec(Bx+C)$، تحدث خطوط التقارب الرأسية عندما يكون $Bx+C = \frac{\pi}{2} + n\pi$ (حيث n عدد صحيح). هنا، $\frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + n\pi$. إذن $x = 4(\frac{\pi}{2} + n\pi) = 2\pi + 4n\pi$. عندما n=-1, $x = 2\pi - 4\pi = -2\pi$. عندما n=1, $x = 2\pi + 4\pi = 6\pi$.

مدى الدالة العكسية لـ \sin (arc sine) هو الفترة المغلقة $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

مدى الدالة العكسية لـ \cos (arc cosine) هو الفترة المغلقة $[0, \pi]$.

مجال الدالة العكسية لـ \tan (arc tangent) هو جميع الأعداد الحقيقية R، أو الفترة $(-\infty, \infty)$.

لنفرض أن $\theta = \tan^{-1} (-\frac{1}{2})$. هذا يعني أن $\tan \theta = -\frac{1}{2}$. بما أن قيمة الظل سالبة، والمدى الرئيسي لـ tan^-1 هو $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$، فإن $\theta$ تقع في الربع الرابع. في الربع الرابع، الجيب (sin) سالب. باستخدام مثلث قائم الزاوية، إذا كان الضلع المقابل 1 والمجاور 2، فإن الوتر هو $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$. لذا، $\sin \theta = -\frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$.