تمثيل الدوال التربيعية بيانيا – الدرس الأول من الوحدة الثانية

يتضمن الملف المرفق ملزمة تعليمية متخصصة في الوحدة الثانية بعنوان "العلاقات والدوال التربيعية"، مخصصة لطلاب الصف العاشر المتقدم. يركز الملف على الدرس الأول من هذه الوحدة، وهو "تمثيل الدوال التربيعية بيانيًا"، حيث يقدم شرحًا مفاهيميًا للقطع المكافئ وخصائص الدالة التربيعية، بالإضافة إلى مجموعة من الأسئلة التدريبية التطبيقية.

مفاهيم القطع المكافئ والدالة التربيعية

يُعرف القطع المكافئ بأنه التمثيل البياني للدالة التربيعية التي تأخذ الصيغة العامة f(x) = ax² + bx + c، بشرط أن a لا تساوي صفراً. يوضح الملف تأثير معامل الحد التربيعي (a) على شكل القطع؛ فإذا كانت a > 0، يكون اتجاه فتحة القطع للأعلى، وإذا كانت a < 0، يكون اتجاه الفتحة للأسفل.

يستعرض الملف الخصائص الأساسية للدالة التربيعية كالتالي: المقطع الصادي (y): يتم الحصول عليه عند تعويض x = 0، وتكون قيمته هي c. معادلة محور التماثل: تُحسب باستخدام الصيغة x = -b / 2a. نقطة رأس القطع: تقع عند الإحداثي ( -b/2a , f(-b/2a) ). المجال والمدى: مجال الدالة التربيعية هو مجموعة الأعداد الحقيقية R، بينما يعتمد المدى على إشارة a وقيمة الإحداثي y لنقطة الرأس، حيث يمثل الإحداثي y قيمة صغرى إذا كانت a > 0، وقيمة عظمى إذا كانت a < 0. كما يشير الملف إلى أن النقاط التي يقطع فيها المنحنى المحور الأفقي x تُسمى أصفار الدالة أو جذور المعادلة f(x) = 0.

أسئلة وتدريبات تطبيقية

يحتوي الملف على مجموعة من الأسئلة التي تهدف إلى قياس فهم الطالب وتطبيقه للقواعد السابقة:

السؤال الأول والثاني: يطلب من الطالب تحليل دوال تربيعية محددة مثل f(x) = -5x² - 10x + 6 و f(x) = 4x² - 8x + 1، وذلك من خلال تحديد قيم المعاملات a و b و c، وإيجاد المقطع y، ومعادلة محور التماثل، وإحداثيات نقطة الرأس، وتحديد المجال والمدى، والقيمة العظمى أو الصغرى، بالإضافة إلى تكوين جدول قيم للتمثيل البياني.

السؤال الثالث: مسألة تطبيقية حول تكلفة إنتاج إطارات الدراجات، حيث تُعطى التكلفة بدلالة عدد الإطارات x عبر الدالة C(x) = 0.000025x² - 0.04x + 40. يُطلب من الطالب إيجاد عدد الإطارات التي تقلل التكلفة إلى أدنى حد، وحساب إجمالي التكلفة عند ذلك العدد.

السؤال الرابع والخامس: تدريبات إضافية تتضمن تحديد نوع القيمة (عظمى أو صغرى) للدالة g(x) = 2x² - 16x - 42، وإيجادها، وتحديد المجال والمدى. كما يتناول السؤال الخامس دالة ارتفاع كرة h(t) = -16t² + 30t + 5، حيث يُطلب تحديد المجال والمدى لهذه الحالة الفيزيائية، وإيجاد أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة.

ملاحظة: قد يتضمن الملف المرفق محتويات تعليمية وتدريبات وموضوعات إضافية متنوعة لم تُذكر في هذا المقال.