مراجعة شاملة في مادة الرياضيات - الصف التاسع العام (الفصل الثالث - منهج ريفيل)
المقال يتضمن الملف المرفق مراجعة قبل الامتحان في مادة الرياضيات للصف التاسع العام، الفصل الثالث، منهج ريفيل، للعام الدراسي 2025-2026، مع حلول مفصلة للأسئلة المتوقعة في الهيكل الامتحاني.
أعزائي طلاب الصف التاسع العام، مع اقتراب موعد امتحان نهاية الفصل الدراسي الثالث، نقدم لكم هذه المراجعة الشاملة في مادة الرياضيات، والتي تغطي أهم المخرجات التعليمية المطلوبة في الهيكل الامتحاني لمنهج ريفيل.
تحتوي هذه المراجعة على حلول نموذجية لجميع أنواع الأسئلة المتوقعة، مع شرح مبسط لكل مفهوم رياضي.
تذكّروا أن "إذا مات ابن آدم انقطع عمله إلا من ثلاث: صدقة جارية، أو علم ينتفع به، أو ولد صالح يدعو له"، فانتفاعكم بهذا العلم هو صدقة جارية لنا، فاجتهدوا واستفيدوا.
المحور الأول: حل أنظمة المعادلات الخطية (الوحدة السابعة)
تُستخدم طريقة التعويض لحل نظام من معادلتين خطيتين، وذلك بعزل أحد المتغيرين في إحدى المعادلتين، ثم تعويض قيمته في المعادلة الأخرى.
القاعدة العامة:
1. اختر إحدى المعادلتين واعزل أحد المتغيرين (اجعل y = ...
أو x = ...).
2. عوّض عن هذا المتغير في المعادلة الأخرى.
3. حل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة المتغير الأول.
4. عوّض القيمة التي وجدتها في إحدى المعادلتين الأصليتين لإيجاد قيمة المتغير الثاني.
مثال تطبيقي:
\[
\begin{cases}
3x - y = -7 \\
y = 4x + 11
\end{cases}
\]
الحل:
- بما أن y = 4x + 11، نعوض في المعادلة الأولى:
\[
3x - (4x + 11) = -7
\]
\[
3x - 4x - 11 = -7
\]
\[
-x = 4 \Rightarrow x = -4
\]
- نعوض قيمة x في المعادلة y = 4x + 11:
\[
y = 4(-4) + 11 = -16 + 11 = -5
\]
- إذن الحل هو: \((-4, -5)\)، والإجابة الصحيحة هي B.
مثال آخر:
\[
\begin{cases}
y = 5x + 1 \\
4x + y = 10
\end{cases}
\]
الحل:
- نعوض y = 5x + 1 في المعادلة الثانية:
\[
4x + (5x + 1) = 10
\]
\[
9x = 9 \Rightarrow x = 1
\]
- نعوض في y = 5x + 1:
\[
y = 5(1) + 1 = 6
\]
- الحل: \((1, 6)\)، والإجابة الصحيحة هي A.
حالة خاصة - عدد لا نهائي من الحلول أو لا حل:
\[
\begin{cases}
x = y - 1 \\
-x + y = -1
\end{cases}
\]
الحل:
- نعوض x = y - 1 في المعادلة الثانية:
\[
-(y - 1) + y = -1
\]
\[
-y + 1 + y = -1
\]
\[
1 = -1 \quad \text{(وهذا غير صحيح)}
\]
- إذن النظام لا يوجد له حل (No Solution)، والإجابة الصحيحة هي C.
تُستخدم طريقة الحذف للتخلص من أحد المتغيرين عن طريق جمع المعادلتين أو طرحهما، بعد التأكد من أن معاملات أحد المتغيرين متساوية أو متعاكسة.
مثال بالجمع:
\[
\begin{cases}
-v + w = 7 \\
v + w = 1
\end{cases}
\]
- نجمع المعادلتين:
\[
(-v + v) + (w + w) = 7 + 1
\]
\[
2w = 8 \Rightarrow w = 4
\]
- نعوض في المعادلة الثانية:
\[
v + 4 = 1 \Rightarrow v = -3
\]
- الحل: \((-3, 4)\)، والإجابة الصحيحة هي C.
مثال بالطرح:
\[
\begin{cases}
a + 4b = -4 \\
a + 10b = -16
\end{cases}
\]
- نطرح المعادلة الأولى من الثانية:
\[
(a + 10b) - (a + 4b) = -16 - (-4)
\]
\[
6b = -12 \Rightarrow b = -2
\]
- نعوض في a + 4b = -4:
\[
a + 4(-2) = -4 \Rightarrow a - 8 = -4 \Rightarrow a = 4
\]
- الحل: \((4, -2)\)، والإجابة الصحيحة هي A.
تُستخدم هذه الطريقة عندما لا تكون معاملات أي من المتغيرين متساوية أو متعاكسة، فنضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما في عدد مناسب لجعل المعاملات متساوية أو متعاكسة.
مثال:
\[
\begin{cases}
10x + 5y = 30 \\
5x - 3y = -7
\end{cases}
\]
- نضرب المعادلة الثانية في 2:
\[
10x - 6y = -14
\]
- نطرح المعادلة الجديدة من الأولى:
\[
(10x + 5y) - (10x - 6y) = 30 - (-14)
\]
\[
11y = 44 \Rightarrow y = 4
\]
- نعوض في 5x - 3y = -7:
\[
5x - 3(4) = -7 \Rightarrow 5x - 12 = -7 \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x = 1
\]
- الحل: \((1, 4)\)، والإجابة الصحيحة هي D.
مثال:
"سبعة أضعاف عدد x ناقص أربعة أضعاف عدد آخر y يساوي 13.
وسالب سبعة أضعاف العدد x زائد سبعة أضعاف العدد y يساوي 14.
أوجد العددين."
الحل:
\[
\begin{cases}
7x - 4y = 13 \\
-7x + 7y = 14
\end{cases}
\]
- نجمع المعادلتين:
\[
(7x - 7x) + (-4y + 7y) = 13 + 14
\]
\[
3y = 27 \Rightarrow y = 9
\]
- نعوض في 7x - 4y = 13:
\[
7x - 4(9) = 13 \Rightarrow 7x - 36 = 13 \Rightarrow 7x = 49 \Rightarrow x = 7
\]
- الحل: \((7, 9)\)،
