يتضمن الملف المرفق أدناه حل تمارين على موضوع "عكس المشتقة وإيجاد الدوال الأصلية" (التكامل غير المحدد) في مادة الرياضيات، حيث يقدم أمثلة تطبيقية على إيجاد الدالة \(F(x)\) بمعلومية مشتقتها أو المشتقة الثانية مع شروط ابتدائية.

يبدأ الملف بتذكير بقاعدة التكامل الأساسية \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln |f(x)| + c\)، ثم يعرض أمثلة على تطبيقها مثل \(\int \frac{2x}{x^2+1} dx\) و \(\int \frac{4x}{x^2+4} dx\).

بعد ذلك، يتناول الملف إيجاد الدالة الأصلية عند إعطاء المشتقة الأولى أو الثانية مع شروط حدية، ومن الأمثلة الواردة:

- إيجاد \(F(x)\) إذا كانت \(F'(x) = 4 \sin x\) وكانت \(F(0) = 3\)، فيكون \(F(x) = -4 \cos x + 7\).
- إيجاد \(F(x)\) إذا كانت \(F'(x) = 3e^x + x^2\) وكانت \(F(0) = 1\)، فيكون \(F(x) = 3e^x + \frac{1}{3}x^3 + c\).
- مسألة بمشتقة ثانية: \(f''(x) = 12x^2 + 2e^x\)، مع الشرطين \(f'(0) = 2\) و \(f(0) = 3\)، حيث يتم التكامل مرتين ثم تعويض الشروط لإيجاد الثوابت.

الملف موجه لطلبة المدارس في الإمارات، ويأتي ضمن تدريبات على التكامل وإيجاد الدوال الأصلية باستخدام الشروط الابتدائية.

اكتب وصفاً للمشكلة من فضلك: