في البرهان غير المباشر نثبت عبارة بإظهار أن إنكارها يقود إلى نتيجة مستحيلة. أشهر صوره البرهان بالتناقض: نفترض نفي المطلوب مؤقتاً، ثم نستعمل التعريفات والحقائق المعروفة حتى نصل إلى تناقض؛ وبذلك يكون الافتراض خاطئاً والمطلوب صحيحاً.
البنية المنطقية
- اكتب العبارة المطلوب إثباتها بدقة.
- افترض نفيها، لا مجرد عبارة مختلفة عنها.
- استخرج نتائج منطقية من الافتراض والمعطيات.
- حدد التناقض صراحة: مثل A و\(\neg A\)، أو عدد زوجي وفردي معاً، أو مخالفة حقيقة مثبتة.
- اختم بأن النفي مستحيل، ومن ثم تصح العبارة الأصلية.
نفي العبارات
- نفي \(x\gt 3\) هو \(x\le3\).
- نفي «كل العناصر تحقق الخاصية» هو «يوجد عنصر واحد على الأقل لا يحققها».
- نفي «يوجد عنصر» هو «لا يوجد أي عنصر».
- نفي \(P\land Q\) هو \(\neg P\lor\neg Q\)، ونفي \(P\lor Q\) هو \(\neg P\land\neg Q\).
أمثلة محلولة
مثال 1: \(\sqrt2\) غير نسبي
نفترض العكس: \(\sqrt2=a/b\) في أبسط صورة. بالتربيع a2=2b2، فيكون a2 زوجياً وبالتالي a زوجياً؛ نكتب a=2k. بالتعويض نحصل على b2=2k2، فيكون b زوجياً أيضاً. إذن يشترك a,b في العامل 2، وهذا يناقض أن الكسر في أبسط صورة.
مثال 2: عدد لا نهائي من الأعداد الأولية
نفترض أن الأوليات قائمة منتهية \(p_1,\ldots,p_n\). نكوّن \(N=p_1p_2\cdots p_n+1\). لا يقبل N القسمة على أي عنصر في القائمة، لكنه إما أولي أو له عامل أولي غير موجود فيها؛ تناقض.
مثال هندسي
لإثبات أن مستقيمين غير متوازيين، نفترض توازيهما ثم نستنتج من علاقات الزوايا نتيجة تخالف قياساً معطى.
المقابل المعاكس
لإثبات \(P\Rightarrow Q\) يمكن إثبات المقابل المعاكس \(\neg Q\Rightarrow\neg P\)، وهو مكافئ منطقياً للعبارة الأصلية. مثال: إذا كان n2 فردياً فإن n فردي؛ نثبت المقابل: إذا كان n زوجياً، فـn=2k، ومن ثم n2=4k2 زوجي.
متى نستخدم الطريقة؟
تفيد عندما يكون نفي النتيجة أكثر قابلية للاستعمال، أو عندما تتضمن العبارة استحالة أو تفرداً، أو يصعب بناء المطلوب مباشرة.
خطة الحل والتحقق
- حدد المعطيات والمطلوب، واكتب الرموز بمعناها الصحيح.
- اختر القاعدة المناسبة قبل إجراء الحساب.
- نفذ الخطوات بالتسلسل، ولا تختصر خطوة تغيّر الإشارة أو المجال.
- تحقق بالتعويض أو بالرسم أو بالتقدير، ثم اكتب الجواب بالصورة المطلوبة.
أخطاء شائعة
- افتراض المطلوب نفسه بدلاً من نفيه.
- الوصول إلى نتيجة غريبة لكنها ليست تناقضاً منطقياً.
- استخدام ما نريد إثباته ضمن خطوات البرهان، وهو استدلال دائري.
- عدم توضيح أين وقع التناقض ولماذا يرفض الافتراض.
تدريبات قصيرة مع الإجابات
- نفي \(x\le7\) هو \(x\gt 7\).
- نفي «جميع الطلاب نجحوا» هو «يوجد طالب لم ينجح».
- لإثبات «إذا كان n2 زوجياً فإن n زوجي»، ابدأ بافتراض أن n فردي.
خلاصة مركزة
الفهم الجيد لا يقوم على حفظ الصيغة وحدها، بل على معرفة سبب استخدامها، وقراءة أثر كل معامل، ومقارنة النتيجة بالسلوك المتوقع. اجعل الرسم أو التحقق العددي جزءاً ثابتاً من الحل.