المتسلسلة الهندسية هي مجموع حدود متتابعة هندسية، بحيث ينتج كل حد من ضرب السابق في نسبة ثابتة r. صورتها اللانهائية \(a+ar+ar^2+\cdots\)، حيث a الحد الأول.
التقارب والتباعد
يتقارب المجموع اللانهائي فقط عندما \(|r|\lt 1\)، لأن القوى r^n تقترب حينها من الصفر. ويكون المجموع \(S_\infty=\frac{a}{1-r}\). إذا \(|r|\ge1\)، فلا يوجد مجموع نهائي.
اشتقاق القانون
إذا \(S=a+ar+ar^2+\cdots\)، فإن \(rS=ar+ar^2+\cdots\). بالطرح: S-rS=a، ومنه S(1-r)=a، لذا S=a/(1-r).
أمثلة محلولة
مثال 1
\(12+6+3+\cdots\): لدينا a=12، وr=1/2، إذن S=12/(1-1/2)=24.
مثال 2: نسبة سالبة
\(9-3+1-1/3+\cdots\): r=-1/3، لذلك S=9/(1+1/3)=27/4.
مثال 3: تباعد
\(2+6+18+\cdots\) له r=3، ومن ثم يتباعد ولا يجوز تطبيق قانون المجموع النهائي.
العشري الدوري
\(0.\overline{3}=0.3+0.03+0.003+\cdots\)، حيث a=0.3، وr=0.1، فيكون المجموع 0.3/0.9=1/3.
تطبيق الكرة المرتدة
إذا أسقطت كرة من ارتفاع 10 m وارتدت كل مرة إلى 60%، فالمسافة الكلية هي النزول الأول 10، ثم صعوداً وهبوطاً: \(10+2(6+3.6+\cdots)=10+2\cdot6/(1-0.6)=40\) m.
خطة الحل والتحقق
- حدد المعطيات والمطلوب، واكتب الرموز بمعناها الصحيح.
- اختر القاعدة المناسبة قبل إجراء الحساب.
- نفذ الخطوات بالتسلسل، ولا تختصر خطوة تغيّر الإشارة أو المجال.
- تحقق بالتعويض أو بالرسم أو بالتقدير، ثم اكتب الجواب بالصورة المطلوبة.
أخطاء شائعة
- عدم فحص \(|r|\lt 1\) قبل استعمال القانون.
- اعتبار r فرقاً بدلاً من نسبة.
- إغفال تكرار الصعود والهبوط في مسائل الارتداد.
- الخلط بين S_n=a(1-r^n)/(1-r) والمجموع اللانهائي.
تدريبات قصيرة مع الإجابات
- \(5+2.5+\cdots=10\).
- \(4-2+1-\cdots=8/3\).
- \(1+2+4+\cdots\) متباعدة.
خلاصة مركزة
الفهم الجيد لا يقوم على حفظ الصيغة وحدها، بل على معرفة سبب استخدامها، وقراءة أثر كل معامل، ومقارنة النتيجة بالسلوك المتوقع. اجعل الرسم أو التحقق العددي جزءاً ثابتاً من الحل.