القيمة المطلقة \(|x|\) هي المسافة بين العدد والصفر، ولذلك لا تكون سالبة. ودالة القيمة المطلقة الأساسية \(f(x)=|x|\) رسمها على شكل V، رأسه (0,0)، ومجالها جميع الأعداد الحقيقية ومداها \(y\ge0\).
الصورة متعددة التعريف
\(|x|=\begin{cases}x,&x\ge0\-x,&x\lt 0\end{cases}\). والصيغة المحولة \(f(x)=a|x-h|+k\) رأسها (h,k)، ومحور تماثلها x=h. إذا \(a\gt 0\) تفتح لأعلى، وإذا \(a\lt 0\) تفتح لأسفل، ويحدد \(|a|\) مقدار التضييق أو التوسيع.
المعادلات
- \(|u|=c\) مع \(c\gt 0\) تعطي u=c أو u=-c.
- إذا c=0، فالحل u=0.
- إذا \(c\lt 0\)، فلا حل لأن القيمة المطلقة غير سالبة.
أمثلة محلولة
مثال 1
\(|2x-3|=7\): إما 2x-3=7 فنحصل على x=5، أو 2x-3=-7 فنحصل على x=-2.
مثال 2
\(3|x+1|-6=0\Rightarrow|x+1|=2\)، ومنه x=1 أو x=-3.
مثال 3: الرسم
\(y=-2|x-3|+4\) رأسها (3,4)، تفتح لأسفل، ومحور تماثلها x=3، ومداها \(y\le4\).
المتباينات
لـ\(c\gt 0\): \(|u|\lt c\) تعني \(-c\lt u\lt c\) (داخل مسافة)، بينما \(|u|\gt c\) تعني \(u\lt -c\) أو \(u\gt c\) (خارج المسافة). مثال: \(|x-2|\le3\Rightarrow-1\leq x\le5\). ومثال: \(|2x+1|\gt 5\Rightarrow x\lt -3\) أو \(x\gt 2\).
خطة الحل والتحقق
- حدد المعطيات والمطلوب، واكتب الرموز بمعناها الصحيح.
- اختر القاعدة المناسبة قبل إجراء الحساب.
- نفذ الخطوات بالتسلسل، ولا تختصر خطوة تغيّر الإشارة أو المجال.
- تحقق بالتعويض أو بالرسم أو بالتقدير، ثم اكتب الجواب بالصورة المطلوبة.
أخطاء شائعة
- نسيان الفرع السالب في المعادلة.
- محاولة مساواة قيمة مطلقة بعدد سالب.
- الخلط بين «و» في حالة أصغر و«أو» في حالة أكبر.
- قراءة الرأس (-h,k) بدلاً من (h,k).
تدريبات قصيرة مع الإجابات
- \(|x|=6\): \(x=\pm6\).
- \(|x+4|\lt 2\): \(-6\lt x\lt -2\).
- رأس \(2|x+3|-1\) هو (-3,-1).
خلاصة مركزة
الفهم الجيد لا يقوم على حفظ الصيغة وحدها، بل على معرفة سبب استخدامها، وقراءة أثر كل معامل، ومقارنة النتيجة بالسلوك المتوقع. اجعل الرسم أو التحقق العددي جزءاً ثابتاً من الحل.