معادلة محور التماثل للدالة: \( د(س) = ٣س^٢ - ٦س + ٢ \)
أ
س = ١
ب
س = -١
ج
س = ٢
د
س = ٣
تفسير الإجابة
باستخدام قانون محور التماثل \( س = \frac{-ب}{٢أ} \)، حيث \( أ = ٣ \) و \( ب = -٦ \)، فإن \( س = \frac{-(-٦)}{٢(٣)} = \frac{٦}{٦} = ١ \).
الدالة \( د(س) = -س^٢ - ٢س - ٢ \) توجد لها:
أ
قيمة عظمى
ب
قيمة صغرى
ج
قيمة متوسطة
د
غير ذلك
تفسير الإجابة
بما أن معامل \( س^٢ \) سالباً (\( أ = -١ \))، فإن القطع المكافئ يفتح للأسفل، وبالتالي للدالة قيمة عظمى عند الرأس.
مجال الدالة \( د(س) = -س^٢ - ٢س - ٢ \) مجموعة الأعداد:
أ
الكلية
ب
الصحيحة
ج
النسبية
د
الحقيقية
تفسير الإجابة
مجال أي دالة تربيعية (كثيرة حدود) هو دائماً مجموعة الأعداد الحقيقية (ح).
المقطع الصادي للدالة \( د(س) = -س^٢ + ٥س - ٢ \)
تفسير الإجابة
المقطع الصادي هو قيمة الدالة عندما \( س = ٠ \)، وبالتعويض نجد أن \( د(٠) = -٢ \).
رأس القطع المكافئ الذي معادلته \( ص = ٢س^٢ + ١٢س + ١٠ \) هو:
أ
( -٣ ، -٨ )
ب
( ٣- ، ٨ )
ج
( ١- ، ١ )
د
( ٣- ، ٥- )
تفسير الإجابة
الإحداثي السيني للرأس هو \( س = \frac{-١٢}{٢(٢)} = -٣ \). وبالتعويض في المعادلة: \( ص = ٢(-٣)^٢ + ١٢(-٣) + ١٠ = ١٨ - ٣٦ + ١٠ = -٨ \).
لا يوجد حلول حقيقية للمعادلة التربيعية الآتية:
أ
\( س^٢ = -٢٥ \)
ب
\( س^٢ = ١ \)
ج
\( س^٢ - ٢٥ = ٠ \)
د
\( س^٢ = ١٠٠ \)
تفسير الإجابة
لا يوجد عدد حقيقي مربعه يساوي عدداً سالباً، لذا المعادلة \( س^٢ = -٢٥ \) ليس لها حلول حقيقية.
حل المعادلة التربيعية \( س^٢ - ٥س + ٤ = ٠ \)
أ
( -٥ ، -٤ )
ب
( ١ ، ٤ )
ج
( -٥ ، -١ )
د
( -٢ ، -٥ )
تفسير الإجابة
بتحليل المعادلة إلى \( (س-٤)(س-١) = ٠ \)، نجد أن الحلول هي س=٤ و س=١.
تكتب المعادلة \( س^٢ + ٢٥ = ١٠س \) بالصورة القياسية كالآتي:
أ
\( س^٢ + ٢٥س + ١٠ = ٠ \)
ب
\( س^٢ - ١٠س - ٢٥ = ٠ \)
ج
\( س^٢ - ١٠س + ٢٥ = ٠ \)
د
\( س^٢ - ١٠س + ٢٥ = ٠ \)
تفسير الإجابة
لنقل 10س إلى الطرف الآخر، نطرح 10س من الطرفين فتصبح المعادلة \( س^٢ - ١٠س + ٢٥ = ٠ \).
تحليل المعادلة التربيعية \( س^٢ - ١٦ = ٠ \)
أ
\( (س + ٤)^٢ \)
ب
\( (س - ٤)^٢ \)
ج
\( (س - ٤) (س + ٤) \)
د
( أولية ) لا يمكن تحليلها
تفسير الإجابة
المعادلة تمثل فرقاً بين مربعين وتحلل إلى حاصل ضرب مجموع الجذرين في الفرق بينهما.
قيمة جـ التي تجعل ثلاثية الحدود \( س^٢ - ٨س + جـ \) مربعاً كاملاً هي:
تفسير الإجابة
لإيجاد جـ نأخذ نصف معامل س ونربعه: \( (\frac{-٨}{٢})^٢ = (-٤)^٢ = ١٦ \).
أول خطوة لحل المعادلة \( -٣س^٢ + ٣٦س - ١٨ = ٢٤ \) بإكمال المربع هي قسمة الطرفين على:
تفسير الإجابة
عند الحل بإكمال المربع، يجب أن يكون معامل \( س^٢ \) مساوياً لـ ١، لذا نقسم كامل المعادلة على معامل \( س^٢ \) وهو -٣.
قيمة جـ التي تجعل ثلاثية الحدود \( س^٢ - جـ س + ١٠٠ \) مربعاً كاملاً هي:
تفسير الإجابة
في المربع الكامل، الحد الأوسط يساوي \( ٢ imes \sqrt{الحد الأول} imes \sqrt{الحد الثالث} \)، أي \( ٢ imes ١ imes ١٠ = ٢٠ \).
المقدار الذي يجب إضافته لطرفي المعادلة \( ٣س^٢ - ١٢س - ٣ = ٢١ \) للحل بإكمال المربع هو:
تفسير الإجابة
بعد القسمة على ٣ تصبح المعادلة \( س^٢ - ٤س - ١ = ٧ \). المقدار المضاف هو \( (\frac{-٤}{٢})^٢ = ٤ \).
حل المعادلة التربيعية \( س^٢ - ٦س - ٧ = ٠ \)
أ
( ١ ، ٧ )
ب
( -١ ، ٧ )
ج
( ١ ، -٧ )
د
Φ
تفسير الإجابة
بالتحليل إلى \( (س-٧)(س+١) = ٠ \)، تكون الجذور هي ٧ و -١.
قيمة المميز في المعادلة \( س^٢ + ٣س + ١٢ = ٠ \)
تفسير الإجابة
المميز \( = ب^٢ - ٤أجـ = (٣)^٢ - ٤(١)(١٢) = ٩ - ٤٨ = -٣٩ \).
إذا كانت قيمة المميز عدداً موجباً في المعادلة التربيعية فلها:
أ
حل وحيد
ب
عدد لا نهائي من الحلول
ج
لا يوجد حل
د
حلين
تفسير الإجابة
عندما يكون المميز أكبر من صفر، فإن للمعادلة حلان حقيقيان مختلفان.
الطريقة الأفضل لحل المعادلة \( س^٢ = ١٠٠ \) هي:
أ
القانون العام
ب
الجذور التربيعية
ج
التمثيل البياني
د
إكمال المربع
تفسير الإجابة
بما أن المعادلة في صورة مربع متغير يساوي ثابتاً، فإن أسرع وأفضل طريقة هي أخذ الجذر التربيعي للطرفين.
حل المعادلة \( ٩س^٢ + ٣٠س + ٢٥ = ٠ \) مقرباً إلى أقرب جزء من عشرة:
تفسير الإجابة
بما أن المميز صفر، يوجد حل وحيد هو \( س = \frac{-٣٠}{١٨} = -١.٦٦... \) وبالتقريب يكون ١.٧ (مع تجاهل الإشارة في الخيارات المتاحة).
حل المعادلة التربيعية \( س^٢ - ٢س = ٣٥ \)
أ
( -٤ ، ٥ )
ب
( ٩- ، ٣ )
ج
( ٧ ، -٥ )
د
Φ
تفسير الإجابة
المعادلة تصبح \( س^٢ - ٢س - ٣٥ = ٠ \)، وبالتحليل \( (س-٧)(س+٥) = ٠ \) الحلول هي ٧ و -٥.
التمثيل البياني للدالة \( ص = -٢س^٢ - ٨س - ٥ \) يكون:
أ
خطاً مستقيماً
ب
مفتوحاً لأعلى
ج
مفتوحاً لأسفل
د
مغلقاً
تفسير الإجابة
لأن معامل \( س^٢ \) سالب (أ = -٢)، فإن القطع المكافئ يفتح نحو الأسفل.
نوع القيمة في الدالة \( ص = س^٢ - ٥س + ٦ \)
أ
لا يوجد
ب
قيمة عظمى
ج
قيمة متوسطة
د
قيمة صغرى
تفسير الإجابة
لأن معامل \( س^٢ \) موجب (أ = ١)، فإن القطع يفتح للأعلى ويكون للرأس قيمة صغرى.
مدى الدالة التربيعية التي إحداثي رأسها (٥ ، ٧) و \( أ > ٠ \) هو:
أ
{ ص | ص < ٥ }
ب
{ ص | ص ≥ ٧ }
ج
{ ص | ص > ٥ }
د
{ ص | ص > ٧ }
تفسير الإجابة
بما أن \( أ > ٠ \)، القطع يفتح للأعلى، لذا المدى يبدأ من الإحداثي الصادي للرأس ص=٧ فما فوق.
إذا لم يوجد مقطع سيني للدالة فإن مجموعة الحل تكون:
أ
Φ
ب
حل حقيقي واحد
ج
حلان حقيقيان
د
عدد لا نهائي من الحلول
تفسير الإجابة
عدم وجود مقاطع سينية يعني أن المنحنى لا يقطع محور السينات، وبالتالي لا توجد جذور حقيقية للمعادلة (مجموعة الحل خالية).
مجموعة الحل للمعادلة \( س^٢ - ٢٥ = ٠ \) هي:
أ
{ ٥- ، ٥ }
ب
{ ٥٠- ، ٥٠ }
ج
{ ١٠- ، ١٠ }
د
Φ
تفسير الإجابة
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين: \( س = ± ٥ \).
لمعرفة عدد الحلول الحقيقية للمعادلات التربيعية نستخدم المميز وهو:
أ
\( ٤-أجـ \)
ب
\( ب^٢ - ٤أجـ \)
ج
\( ب^٢ + ٤أجـ \)
د
\( ب^٢ imes ٤أجـ \)
تفسير الإجابة
هذه هي الصيغة الرياضية القياسية لحساب المميز في المعادلة التربيعية.
حل المعادلة \( س^٢ - ٤س + ٦ = ٠ \) هو:
أ
{ -٢ ، ٤ }
ب
{ ٢ ، -٣ }
ج
{ -٣ ، ٣ }
د
Φ
تفسير الإجابة
المميز \( = (-٤)^٢ - ٤(١)(٦) = ١٦ - ٢٤ = -٨ \). بما أن المميز سالب، لا يوجد حلول حقيقية.
لكي تصبح ثلاثية الحدود \( س^٢ - ٢٤س + جـ \) مربعاً كاملاً، فإن قيمة جـ =
تفسير الإجابة
جـ تساوي مربع نصف معامل س: \( (\frac{-٢٤}{٢})^٢ = (-١٢)^٢ = ١٤٤ \).
لحل المعادلة \( س^٢ + ١٢س = ١٣ \) بإكمال المربع نضيف إلى الطرفين العدد:
تفسير الإجابة
نضيف مربع نصف معامل س: \( (\frac{١٢}{٢})^٢ = (٦)^٢ = ٣٦ \).
المقطع الصادي في الدالة \( ص = -س^٢ + ٢ \) هو:
تفسير الإجابة
المقطع الصادي هو الثابت في الدالة عند التعويض عن س بصفر، وهو هنا ٢.
المقدار الذي يجب إضافته لطرفي المعادلة \( ٣س^٢ - ١٨س - ٣ = ٢١ \) للحل بإكمال المربع هو:
تفسير الإجابة
بالقسمة على ٣: \( س^٢ - ٦س - ١ = ٧ \). المقدار المضاف هو \( (\frac{-٦}{٢})^٢ = ٩ \).
إحداثي نقطة الرأس في الدالة \( ص = س^٢ - ٩ \) هو:
أ
( ٩ ، ٠ )
ب
( ٠ ، -٩ )
ج
( ٠ ، ٠ )
د
( ٠ ، ٣ )
تفسير الإجابة
بما أن معامل س يساوي صفراً، فإن الإحداثي السيني للرأس هو ٠، وبالتعويض في الدالة نجد ص = -٩.
معادلة محور التماثل للدوال التربيعية هي:
أ
\( س = أ \)
ب
\( س = ب \)
ج
\( س = \frac{-ب}{٢أ} \)
د
\( س = ٢أ \)
تفسير الإجابة
هذا هو القانون الرياضي القياسي لحساب محور التماثل للقطع المكافئ.
معادلة محور التماثل للدالة \( ص = ٢س^٢ + ٢س + ٢ \) هي:
أ
\( س = -\frac{١}{٣} \)
ب
\( س = -\frac{١}{٢} \)
ج
\( س = ٢ \)
د
\( س = -٢ \)
تفسير الإجابة
\( س = \frac{-٢}{٢(٢)} = \frac{-٢}{٤} = -\frac{١}{٢} \).
قيم أ ، ب ، جـ على الترتيب في الدالة \( ص = ٢س^٢ - ٤س - ١ \) هي:
أ
{ ٢ ، ٤ ، ١- }
ب
{ ٢ ، ٤- ، ١- }
ج
{ ٢ ، ٤- ، ١ }
د
{ ٢ ، ٤ ، ١ }
تفسير الإجابة
أ هو معامل \( س^٢ \) (٢)، ب هو معامل س (-٤)، وجـ هو الثابت (-١).
