يتضمن الملف المرفق أدناه قواعد وأمثلة حول حل تدريبات درس عكس المشتقة والدوال الأصلية

---

1. قاعدة القوة في التكامل (Power Rule for Integration)

· الصيغة الرياضية:
\[
\int x^r \, dx = \frac{x^{r+1}}{r+1} + C \quad , \quad r
eq -1
\]

---

2. أمثلة وردت في الملف

· المثال الأول:
\[
\int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{3}}{3} + C = x^3 + C
\]

· المثال الثاني:
\[
\int x^2 \, dx = \frac{x^{3}}{3} + C
\]

· المثال الثالث:
\[
\int x^{-3} \, dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C
\]

---

3. تكامل الدالة النسبية الخاصة
\[
\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln |f(x)| + C
\]

---

4. أمثلة تطبيقية من الملف الأصلي
\[
\int \frac{2x}{x^2+1} \, dx = \ln |x^2 + 1| + C
\]
\[
\int \frac{4x}{x^2+4} \, dx = 2 \ln |x^2 + 4| + C
\]

---

5. إيجاد الدوال الأصلية باستخدام الشروط الابتدائية

· إذا كانت \( F'(x) = 4 \sin x \) وكانت \( F(0) = 3 \):
\[
F(x) = -4 \cos x + 7
\]

· إذا كانت \( F'(x) = 3e^x + x^2 \) وكانت \( F(0) = 1 \):
\[
F(x) = 3e^x + \frac{1}{3}x^3 - 2
\]

· مسألة المشتقة الثانية:
\[
f''(x) = 12x^2 + 2e^x
\]
\[
f'(0) = 2, \quad f(0) = 3
\]

الحل:
\[
f'(x) = \int (12x^2 + 2e^x) \, dx = 4x^3 + 2e^x + C_1
\]
بالتعويض \( f'(0) = 2 \):
\[
2 = 0 + 2(1) + C_1 \Rightarrow C_1 = 0
\]
\[
f'(x) = 4x^3 + 2e^x
\]
\[
f(x) = \int (4x^3 + 2e^x) \, dx = x^4 + 2e^x + C_2
\]
بالتعويض \( f(0) = 3 \):
\[
3 = 0 + 2(1) + C_2 \Rightarrow C_2 = 1
\]
\[
f(x) = x^4 + 2e^x + 1
\]

---

الملف موجه لطلبة المدارس في الإمارات، ويأتي ضمن تدريبات على التكامل وإيجاد الدوال الأصلية باستخدام الشروط الابتدائية.

اكتب وصفاً للمشكلة من فضلك: